बाराबासी-अल्बर्ट का उपयोग करते हुए पावर-लॉ डिग्री वितरण के साथ स्केल-फ्री नेटवर्क तैयार करें

Question

मैं कुछ कागजों में वर्णित सिंथेटिक नेटवर्क (रेखांकन) को पुन: पेश करने की कोशिश कर रहा हूं।

ऐसा कहा जाता है कि बाराबासी-अल्बर्ट मॉडल का उपयोग "पॉवर-लॉ डिग्री वितरण, $P_A(k) ∝ k^{-λ}$ " के साथ स्केल-फ्री नेटवर्क बनाने के लिए किया गया था ।

$P_A$ एक प्रायिकता वितरण है जो नोड की डिग्री k की संभावना देता है $k$। उदाहरण के लिए, $P_A(2)$ नेटवर्क से नोड चुनने और डिग्री 2 के साथ नोड प्राप्त करने की संभावना को इंगित करता है।

औसत डिग्री $k$ स्ट्रोक एक पेपर में 4 लगता है, जिसमें न्यूनतम $k$ संख्या 2. अधिकतम k के बारे में कोई शब्द नहीं है $k$। अन्य पेपर में यह निर्दिष्ट नहीं है। नेटवर्क को परिभाषित करने के लिए यह महत्वपूर्ण नहीं लगता है।

लैम्ब्डा λ मान दिए गए हैं, क्योंकि नोड्स की संख्या $n$ । संयोजन हैं

1. n = 50000, λ = 3, 2.7, 2.3, एक पेपर के साथ
2. दूसरे पेपर में n = 4000 और λ = 2.5, या n = 6000 और λ = 3

मैंने बारबासी-अल्बर्ट एल्गोरिथ्म को लागू करने वाले पुस्तकालयों की तलाश की और उन्हें लैम्बडा और औसत डिग्री की तुलना में विभिन्न मापदंडों की आवश्यकता प्रतीत होती है। एक है NetworkX , दूसरा है GraphStream ( यहाँ कार्यान्वयन )। वे इसी तरह से काम करते हैं और पूछते हैं:

• n : int - नोड्स की संख्या
• m : int - किनारों की संख्या एक नए नोड से मौजूदा नोड्स में संलग्न करने के लिए; प्रत्येक चरण पर जोड़े जाने वाले किनारों की संख्या

तुलनीय ग्राफ बनाने के लिए मैं सेटिंग्स मी की गणना कैसे कर सकता हूं?

यहाँ कुछ संदर्भ हैं:

• अन्योन्याश्रित नेटवर्क में विफलताओं का भयावह कैस्केड, बुलड्रेव एट अल। 2010, एक अलग से प्रदान की गई पूरक सूचना के साथ
• साइबर फिजिकल सिस्टम्स में छोटा क्लस्टर, हुआंग एट अल। 2014
• अन्योन्याश्रित नेटवर्क में विफलताओं का भयावह कैस्केड, हैवलिन एट अल। 2010, यह Arxiv पर है और कुछ हद तक पहले स्पष्ट करता है

ध्यान दें कि ये पेपर "रेखांकन कार्यों" का उपयोग उन रेखांकन के कुछ गुणों का विश्लेषणात्मक अध्ययन करने के लिए करते हैं। हालांकि, वे उन मॉडलों पर सिमुलेशन भी चलाते हैं, इसलिए उन्होंने किसी तरह उन नेटवर्क को उत्पन्न किया होगा।

धन्यवाद।

Comments

वैसे, गणितज्ञ भी ऐसा करते हैं ।

— जुहो

Answer 1

संक्षिप्त उत्तर यह है कि आप उस सॉफ़्टवेयर का उपयोग नहीं कर सकते, जैसा कि आप चाहते हैं। एक निश्चित , Barabasi-Albert मॉडल में हमेशा डिग्री वितरण , चाहे वह ही क्यों न हो । सॉफ्टवेयर के उन टुकड़ों को लागू करने की संभाव्यता डिग्री का सटीक सूत्र (जो कि बीए मॉडल है)P k ∼ k - 3$m$$P_k \sim k^{-3}$$m$

$$P_k = \frac{2m(m+1)}{k(k+1)(k+2)}$$

कागजात ( ) शायद किसी तरह के सामान्यीकृत बीए मॉडल के बारे में बात कर रहे हैं, मुझे लगता है। यह उन पर अधिक विवरण (पूर्ण उद्धरण) देने में मदद करेगा।$\lambda \neq 3$

संपादित करें: ठीक है, मैं उन रेफरी पर नजर डालूंगा। इस बीच, मुझे पता चला कि igraph नामक आर पैकेज है जो आप चाहते हैं वह कर सकते हैं। संबंधित थ्योरी पेपर / उद्धृत का उपयोग किया जाता है:

• " फैन चुंग, लिनयुआन लू द्वारा दी गई उम्मीद के साथ यादृच्छिक रेखांकन में जुड़े घटक" ।

Google विद्वान में इसके कुछ 400 उद्धरण हैं, इसलिए यह संभवतः एक व्यापक रूप से उपयोग की जाने वाली विधि है। बाद में, 2009 के उस आर पैकेज पेज पर उद्धृत पेपर में स्पष्ट रूप से कहा गया है कि "एसएफ नेटवर्क में विषम डिग्री होती है, और उनका वितरण एक पावर लॉ, अनुसरण करता है । कृत्रिम एसएफ नेटवर्क, एक स्टोकेस्टिक का निर्माण करने के लिए। चुंग और लू (सीएल) मॉडल नामक मॉडल का उपयोग किया जाता है। "$P_d(k) \sim k^{-\lambda}$

EDIT2: मुझे लगता है कि आपने हुआंग एट अल को गलत समझा है। "हम क्रमशः एर्डोस-रेनी मॉडल, बाराबासी-अल्बर्ट मॉडल और वाट्स और स्ट्रॉग्ट्ज मॉडल [9] का उपयोग करके सिंथेटिक यादृच्छिक, स्केल-फ्री और छोटे-विश्व नेटवर्क का निर्माण करते हैं।" यह कहीं भी नहीं कहता है कि उन्हें बीए के अलावा अन्य कोई भी पावर करने के लिए 3 मिला है। एक आंकड़ा कैप्शन है जो कहता है कि "हम दो सिंथेटिक स्केल-फ्री नेटवर्क और को पावर लॉ 2.5 और 3 के साथ जोड़े जाने के लिए" k-n 'अन्योन्याश्रय मॉडल का उपयोग करते हैं। क्रमशः। " लेकिन इसका मतलब यह नहीं है कि उन्होंने उन 2.5-डिग्री ग्राफ के लिए बीए का उपयोग किया। एक बाद का आंकड़ा है जो केवल कहता है "पावर लॉ एक्सपोर्टर के साथ स्केल-फ्री नेटवर्क उत्पन्न करने के लिए बारबासी-अल्बर्ट मॉडल का उपयोग किया जाता है।"जी $G_p$$G_c$

EDIT3: बुल्ड्रेव एट अल द्वारा पेपर। वे किसी भी बीए रेखांकन का इस्तेमाल किया है कहीं भी नहीं कहते हैं। "सिमुलेशन परिणाम पी 8 के लिए एसएफ नेटवर्क के लिए पी के एक फ़ंक्शन के रूप में = 3, 2.7, 2.3 के साथ"। वे यह नहीं कहते कि उन्हें वे रेखांकन कैसे मिले। डू बीए पेपर का हवाला देता है, लेकिन विभिन्न यादृच्छिक नेटवर्क मॉडल के बारे में केवल 10 पत्रों की लंबी सूची में। हेवलिन एट अल द्वारा इस समूह का दूसरा पेपर । वास्तव में पी पर देता है। 5 बीए मॉडल के रूप में एक अनिश्चित / अनिर्दिष्ट , 1999 बीए पेपर का हवाला देते हुए। मैं वास्तव में इस पेपर को गलत नहीं कहना चाहता, लेकिन इसका एकमात्र सही रीडिंग । फिर से यह नहीं कहा गया है कि उन्होंने अपना कैसे उत्पन्न कियाλ λ = 3 λ = $\lambda$$\lambda$$\lambda = 3$$\lambda = 2.7$उनके चित्र 8 से रेखांकन। मैं देख सकता हूँ कि इस पत्र को पढ़कर आप यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि बीए ऐसे ग्राफ़ उत्पन्न कर सकता है ... लेकिन यह नहीं हो सकता।

EDIT4: हाँ, मुझे यह अब प्रकृति में प्रकाशित वास्तविक संस्करण में मिला " पावर-लॉ डिग्री वितरण के साथ दो अन्योन्याश्रित पैमाने पर मुक्त नेटवर्क ² के लिए, , हम पाते हैं कि विशाल घटक के लिए अस्तित्व मानदंड एक एकल नेटवर्क में उन लोगों से काफी अलग हैं। " हैल्विन एट अल। के रूप में प्रशस्ति पत्र वास्तव में उसी तरह से भ्रामक है, लेकिन वे यह नहीं कहते कि उन्होंने रेखांकन बनाने के लिए बीए प्रक्रिया का उपयोग किया है। इस पैठ की व्याख्या केवल 1999 के संदर्भ के रूप में की जा सकती है, जिसके लिए पैमाना-मुक्त नेटवर्क का अर्थ है और / या जिसने अवधारणा को जन्म दिया है। किसी भी मामले में, गणित पर भरोसा करें ... आप बीए के स्वयं के पेपर या अधिक विवरण सहित कई स्थानों पर बीए की डिग्री के फार्मूले के लिए व्युत्पत्ति पा सकते हैं। λ λ = 3 $P_A(k) \sim P_B(k) / k^{-\lambda}$बाद की पुस्तक में [जाने दो] । बीए ने स्पष्ट रूप से देखा कि वे क्या देखते थे, इसलिए उन्होंने एक ऐसा कानून बताया जो उनके निर्माण से अधिक सामान्य (मनमाना ) है, जो उनके निर्माण को प्रदान करता है, अर्थात । जैसा कि मैंने पहले कहा था, अलग-अलग प्राप्त करने के लिए अन्य विधियाँ (जैसे दूसरों द्वारा प्रकाशित की जाती हैं, जैसे चुंग और लू) , लेकिन वे बीए निर्माण का उपयोग नहीं कर रहे हैं, भले ही उनके रेखांकन को स्केल-फ्री भी कहा जाता है।$\lambda$$\lambda = 3$$\lambda$

Comments

पकड़ने के लिए धन्यवाद। वे इससे बहुत स्पष्ट हो सकते थे, हालाँकि। वास्तव में, मैं अभी भी एम पैरामीटर को याद कर रहा हूँ, वहाँ सिर्फ अंजीर पर एक औसत डिग्री है। 2.

— अगस्टिनो

पहला पेपर बीए को भी सही बताता है, ठीक उसी समय जब वे बोलते हैं कि कैसे उन्होंने "दो परस्पर निर्भर पैमाने पर मुक्त नेटवर्क के लिए पावर-लॉ डिग्री वितरण के साथ स्केल-फ्री ग्राफ बनाया "। 2 1999 बीए पेपर का एक संदर्भ है। $^{2}$

— अगस्टिनो

उसी कागज की बात कर रहे हैं? मैं arxiv.org/pdf/0907.1182v1.pdf

— Fizz

नहीं, मैं जिस पहले पेपर की बात कर रहा हूं, वह बुलडिएर वगैरह ने लिखा है, उसका शीर्षक एक ही है, लेकिन 2010 में प्रकाशित हुआ था और दुर्भाग्यवश आरएक्सिव पर नहीं था। यदि आप Google पर खोज करते हैं तो यह एक टन के उद्धरणों वाला है।

— अगस्टिनो

@ एगोस्टिनो: हां, मैंने इसे ढूंढ लिया और अब इसे पढ़ता हूं; EDIT4 देखें।

— फिज़ा