एक "एक दिशात्मक" संगीत कार्यक्रम में खो गया

आप और एक मित्र एक दूसरे को एक संगीत कार्यक्रम के लिए लाइन में खो गए, और न ही यह सुनिश्चित है कि आप में से कौन आगे है। औपचारिक रूप से, प्रत्येक कुछ पूर्णांक समन्वय पर होता है और केवल एक उच्च समन्वय की दिशा में चल सकता है या जगह में रह सकता है।

यह मानते हुए कि आप और आपका मित्र एक ही एल्गोरिथम का अनुसरण कर रहे हैं (और नहीं, आप शायद नहीं कहेंगे "अगर (नाम ==" R B ") कुछ करें :)), और आप दोनों के बीच की प्रारंभिक दूरी $x$ (जो नहीं है आपको पता है)।

वह एल्गोरिथम क्या है जो आपके और आपके मित्र के मिलने तक चलने की अपेक्षित दूरी को कम करता है?

आप अपने दोस्त और अपने आप को मान सकते हैं कि दोनों एक ही गति में चल रहे हैं।

एक उदाहरण सरल एल्गोरिथ्म कुछ इस तरह होगा:

स्टेज $n$ ( से शुरू $0$ ):

दाहिने wp लिए $3^n$ कदम चलें $\frac{1}{2}$ या प्रतीक्षा करें $3^n$ समय इकाइयों अन्यथा।

इस एल्गोरिथ्म को देखने के लिए दोस्तों को संभावना के साथ मिलते हैं 1 विचार करें कि मंच पर क्या होता है $(\log_3 x+1)$ । यहां तक कि अगर वह दोस्त जो $x$ कदम आगे था हमेशा चला गया और दूसरा हमेशा जगह में रहा, तो दोनों के बीच की दूरी होगी:

x + 1 + 3 + 9 + \dots + 3^{\log_{3} x} = 2 x + \frac{x - 1}{2} \leq 3 x

$x+1+3+9+\ldots+3^{\log_3 x}=2x+\frac{x-1}{2}\leq 3x$

इसलिए, $\log_3 x+1$ पुनरावृत्ति पर, जो मित्र चलना चाहता है वह दूरी को कवर करेगा $3^{\log_3 x+1}=3x$ , इसलिए संभावना साथ $\frac{1}{4}$ , जो दोस्त पीछे है वह पकड़ लेगा और वे मिलेंगे।

एक साधारण अनुकूलन (पैदल दूरी कम करने के लिए) होगा, $3^x$ चरणों के बजाय , $c^x$ चरणों पर चलना , जहाँ $c$ : द्वारा दिया जाता है

2 + \frac{1}{c - 1} = c

$2+\frac{1}{c-1}=c$

इसलिए इष्टतम इस एल्गोरिथ्म के लिए है $c$ $c=\frac{3+\sqrt 5}{2}\approx 2.618$

दुर्भाग्य से, जबकि यह एल्गोरिथ्म गारंटी देता है कि दोस्त संभावना 1 के साथ मिलेंगे, अपेक्षित पैदल दूरी अनंत है, जो कि संभव है कि मैं संभव से बचना चाहता हूं।

क्या अधिक कुशल एल्गोरिथ्म है?

algorithms randomized-algorithms

— आरबी
स्रोत

जब आप "चलने की उम्मीद दूरी" कहते हैं - तो क्या आप सबसे खराब स्थिति में हैं, जहां एल्गोरिथ्म संभावित है, या क्या आप इनपुट पर कुछ वितरण भी मानते हैं? भी - क्या आपको अपने एल्गोरिथ्म को हमेशा सही करने की आवश्यकता है, या सही wp 1 होने की? (या इससे कम?) - ध्यान दें कि आपके द्वारा यहां दिया गया एल्गोरिथम कभी भी बंद नहीं हो सकता है (लेकिन wp 0)

— Shaull

यह रैखिक खोज समस्या ( en.wikipedia.org/wiki/Linear_search_problem ) के समान है।

— युवल फिल्मस

@ शाऊल - चूँकि दोनों मित्र एक ही एल्गोरिथम का अनुसरण कर रहे हैं, इसलिए इसे संभाव्य होना चाहिए या वे कभी नहीं मिलेंगे। एल्गोरिथ्म के यादृच्छिककरण पर प्रत्याशा अधिक है।

— आरबी

अपने एल्गोरिथ्म में क्या आपका मतलब है निरंतर गति

साथ दाईं ओर

यूनिट समय चलना ?

कदम चलने से

^ n समय बात नहीं हो सकती है।

2^{n}

$2^n$

C

$C$

2^{n}

$2^n$

— ō 吖 Y ARCHY SHU

@ 0a-archy - हम मानते हैं कि दोनों एक ही गति से आगे बढ़ रहे हैं (इसे 1

होने दें

इस मामले के लिए

इकाई)। मेरे द्वारा दिए गए एल्गोरिदम में विचार यह है कि आप या तो

कदमचलते हैंया समकक्ष समय प्रतीक्षा करते हैं, इसलिए प्रत्येक पुनरावृत्ति दोनों खिलाड़ियों के लिए एक ही समय में शुरू होती है।

\frac{step}{time unit}

$\frac{\text{step}}{\text{time unit}}$

2^{n}

$2^n$

— आरबी

चरण , , और बीच समान रूप से एक यादृच्छिक संख्या खींचें । $k$ $q$ $1$ $2$ $3$

अगर , , , चलें $q = 1$ $2^{k-1}$ $2^{k+1}$ $2^{k-1}$

यदि , प्रतीक्षा , चलना , प्रतीक्षा , चलना , प्रतीक्षा $q = 2$ $2^{k-1}$ $2^{k-1}$ $2^{k}$ $2^{k-1}$ $2^{k-1}$

यदि , प्रतीक्षा , चलना , प्रतीक्षा $q = 3$ $2^k$ $2^k$ $2^k$

$k$ $2^k$ $k < \log_2(x) + 1$ $k >= \log_2(x) + 1$ $1/3$

इसलिए अपेक्षित पैदल दूरी (ऊपर से घिरा हुआ) है:

2 (\sum_{k = 0}^{⌈ \log_{2} (x) ⌉} 2^{k} + 3^{⌈ \log_{2} (x) ⌉} \sum_{k = ⌈ \log_{2} (x) ⌉ + 1}^{\infty} {(\frac{2}{3})}^{k})

$2\left(\sum_{k=0}^{\lceil\log_2(x)\rceil}2^k+3^{\lceil\log_2(x)\rceil}\sum_{k=\lceil\log_2(x)\rceil+1}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^k\right)$

$2^{\lceil\log_2(x)\rceil+3}-2 \le 16x$

$d$ $\forall D>0, \mathrm{P}(d>D) > 0$ $\sum_{D=0}^{\infty}\mathrm{P}(d=D)\cdot D = \mathbb{E}[d]$ $d$ एक बहुत मजबूत संपत्ति है और मुझे लगता है कि इसे संतुष्ट करने वाला समाधान खोजना संभव नहीं है।

— डेविड डुरलमैन
स्रोत