क्लेने स्टार ऑपरेटर को क्लेन 'क्लोजर' ऑपरेटर भी क्यों कहा जाता है?

Question

मैंने पाया है कि अगर मैं सीएस / प्रोग्रामिंग शब्द के पीछे व्युत्पत्ति को नहीं समझता हूं, तो आमतौर पर इसका मतलब है कि मैंने कुछ महत्वपूर्ण अंतर्निहित अवधारणा को याद किया या गलत समझा है।

मुझे समझ नहीं आता कि क्लेने स्टार को क्लेने क्लोजर क्यों कहा जाता है। क्या यह प्रोग्रामिंग में बंद होने से संबंधित है, बाध्य गैर-स्थानीय चर के साथ एक फ़ंक्शन?

... प्रतिबिंब पर, शायद यह इसलिए है क्योंकि यह एक खुले अंत सेट को बंद अभिव्यक्ति के रूप में लिखने की अनुमति देता है?

... अच्छी तरह से पुराने रबर-बत्तख-समझा फैशन में, मैं अब अनुमान लगा रहा हूं कि यह है, लेकिन अभी भी एक आधिकारिक जवाब का स्वागत करेंगे।

Comments

क्या आपका उपयोगकर्ता नाम है कि आप अच्छे पुराने रबर-बत्तख-समझा फैशन क्यों चाहते हैं ?

— बबौ

@ बब्बू हां। लेकिन इसने मुझे आज असफल कर दिया :(

— मलार्दज़

आपकी टिप्पणी कि मेरे जवाब में (और @ रिविडबी के जवाब में, inplicitly स्पष्ट रूप से उन्होंने किसी भी स्ट्रिंग ऑपरेशन का स्पष्ट रूप से उल्लेख नहीं किया है, एक टिप्पणी के अलावा) खाली शब्द the काफी सटीक शामिल नहीं होगा। धन्यवाद। एक परिणाम के रूप में क्लेन स्टार ऑपरेटर को संघनन के तहत बंद करने का प्रतिनिधित्व नहीं किया जा सकता है: क्लेन + ऑपरेटर करता है। हालांकि क्लेने स्टार ऑपरेटर संघनन से प्राप्त शक्ति संचालन के तहत बंद का प्रतिनिधित्व कर सकता है। मैं इस पहलू को कवर करने के लिए अपने जवाब के पूरक हूं। यह अपेक्षा से अधिक सूक्ष्म था।

— बबौ

क्या उत्तर पर्याप्त रूप से पढ़ने योग्य है, या क्या मुझे नरम रबर में एक खंड जोड़ना चाहिए?

— बबौ

Answer 1

सेट में कुछ चीजों के लिए ऑपरेटर को लागू करने का परिणाम हमेशा सेट में होता है, तो कुछ ऑपरेटर के तहत एक सेट को बंद कर दिया जाता है। उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याएँ इसके अतिरिक्त बंद हैं, क्योंकि जब भी और m प्राकृतिक संख्याएँ हैं, n + m एक प्राकृतिक संख्या है। दूसरी ओर, उपप्रकार को घटाव के तहत बंद नहीं किया जाता है, उदाहरण के लिए, 3 - 5 एक प्राकृतिक संख्या नहीं है।$n$$m$$n+m$$3-5$

बंद एक सेट के कुछ ऑपरेटर के तहत युक्त छोटी से छोटी सेट है एस है कि ऑपरेटर के तहत बंद कर दिया है। उदाहरण के लिए, घटाव के तहत प्राकृतिक संख्याओं का समापन पूर्णांक है; इसके अलावा प्राकृतिक संख्याओं का बंद होना सिर्फ प्राकृतिक संख्याएं हैं, क्योंकि सेट पहले से ही बंद है।$S$$S$

तो, "क्लेन बंद" "क्लेन स्टार" के लिए एक वैकल्पिक नाम नहीं है। क्लेन स्टार ऑपरेटर है; एक सेट के क्लीने को बंद करना ऑपरेटर के तहत उस सेट का बंद होना है।

Comments

ठीक है धन्यवाद, एक सेट के बंद होने की आपकी व्याख्या को समझना बहुत आसान है। लेकिन क्या आपका मतलब है कि क्लेन स्टार एक ऑपरेटर है (जैसे प्लस एक ऑपरेटर है) और क्लेन बंद करना एक ऑपरेशन है (जैसे जोड़)? इसके अलावा, बाबू का जवाब है कि नाम इस तथ्य से आता है कि ऑपरेशन अनिवार्य रूप से सहमति के तहत सेट को बंद करने का प्रतिनिधित्व करता है, बहुत मायने रखता है। हालाँकि एप्सिलॉन चीजों को थोड़ा गड़बड़ नहीं करता है! ...

— मलार्दज़

@mallardz ठीक ही बोल रहा है, बंद सेट है; क्लोजर बनाने के संचालन को आम तौर पर "क्लोजिंग" कहा जाता है।

— डेविड रिचेर्बी

@DavidRicherby: यदि आप एक के रूप में घटाव के तहत प्राकृतिक संख्याओं के समूह कह सकते हैं बंद आप कहना है कि जब से नियमित अभिव्यक्ति के सेट ऑपरेटर के तहत बंद का मतलब क्या है? क्लीन * एक रेगुलर एक्सप्रेशन हम इसे एक बंद फोन उत्पादन होता है?

— जस्टिन

@justin परिभाषा के अनुसार, किसी ऑपरेशन के तहत किसी भी सेट को बंद करना खुद को उस ऑपरेशन के तहत बंद करना होगा। चूंकि न्यूट्रल को घटाव के तहत बंद नहीं किया जाता है, इसलिए वे घटाव के तहत कुछ भी बंद नहीं कर सकते हैं। नियमित अभिव्यक्तियों के सेट को क्लेन स्टार के तहत पहले से ही बंद कर दिया गया है और कुछ ऑपरेशनों के तहत नियमित अभिव्यक्तियों के सेट को बंद करना, परिभाषा के अनुसार, चीजों का एक सेट है, न कि एक नियमित अभिव्यक्ति। इसलिए मैं वास्तव में आपके सवालों को नहीं समझता।

— डेविड रिचेर्बी

@DavidRicherby: हाँ, यह वास्तव में सही है। लेकिन मेरी गलती है कि मैंने एक संपूर्ण प्राकृतिक संख्या के रूप में घटाव के तहत प्राकृतिक संख्याओं का सेट लिया। मैं क्लेन स्टार से संबंधित या ऑटोमेटा या दोनों को परिमित करने के लिए संबंधित हूं?

— जस्टिन

Answer 2

संक्षेप में

क्लेने क्लोजर नाम का अर्थ स्पष्ट रूप से कुछ स्ट्रिंग ऑपरेशन के तहत बंद करना है ।

हालांकि, सावधानीपूर्वक विश्लेषण (ओपी मॉलार्ड्ज़ द्वारा एक महत्वपूर्ण टिप्पणी के लिए धन्यवाद) से पता चलता है कि क्लेन स्टार को संघनन के तहत बंद नहीं किया जा सकता है, जो कि क्लेन प्लस ऑपरेटर से मेल खाती है।

क्लेन स्टार ऑपरेटर वास्तव में संघनन से प्राप्त शक्ति संचालन के तहत एक बंद से मेल खाती है।

क्लेने स्टार नाम एक स्टार के साथ ऑपरेशन के सिंटैक्टिक प्रतिनिधित्व से आता है *, जबकि क्लोजर यह क्या करता है।

यह आगे बताया गया है।
याद है कि सामान्य रूप से बंद, और विशेष रूप से क्लेन स्टार, सेट पर एक ऑपरेशन है, यहाँ स्ट्रिंग्स के सेट पर, भाषाओं पर। इसका उपयोग स्पष्टीकरण में किया जाएगा।

एक ऑपरेशन के तहत एक सबसेट को बंद करना हमेशा परिभाषित होता है

एक सेट कुछ के तहत बंद कर दिया है n -ary आपरेशन च iff च हमेशा किसी के लिए परिभाषित किया गया है n में तर्कों की -tuple सी और सी = { च ( ग 1 , ... , सी एन ) | ∀ सी 1 , ... , सी एन ∈ सी } ।$C$$n$$f$$f$$n$$C$$C=\{f(c_1,\ldots,c_n)\mid \forall c_1,\ldots,c_n \in C\}$

विस्तार करके हमेशा की तरह मान के सेट करने के लिए, यानी च ( एस 1 , ... , एस एन ) = { च ( रों 1 , ... , एस एन ) | ∀ रों मैं ∈ एस मैं । 1 ≤ मैं ≤ n } हम एक सेट समीकरण के रूप में हालत पुनर्लेखन कर सकते हैं: सी = च ( सी , ... , सी $f$

$$f(S_1,\ldots,S_n)=\{f(s_1,\ldots,s_n)\mid \forall s_i\in S_i. 1\leq i\leq n\}$$

$$C=f(C,\ldots,C)$$

एक डोमेन (या सेट) के लिए के लिए एक ऑपरेशन के साथ च कि हमेशा पर परिभाषित किया गया है डी , और एक सेट एस ⊂ डी , के बंद होने एस के तहत च है सबसे छोटी सेट एस एफ युक्त एस : कि संतुष्ट समीकरण एस च = { च ( रों 1 , ... , एस एन ) | ∀ रहा है 1 , ... , एस एन ∈ एस च } ।$D$$f$$D$$S\subset D$$S$$f$$S_f$$S$$S_f=\{f(s_1,\ldots,s_n)\mid \forall s_1,\ldots,s_n \in S_f\}$

एक निर्धारित समीकरण के साथ और अधिक, तहत बंद एफ के द्वारा परिभाषित किया जा सकता है:$S$$f$

$$S_f \text{ is the smallest set such that } S\subset S_f \text{ and } S_f=f(S_f,\ldots,S_f)$$

यह कम से कम निश्चित-बिंदु परिभाषा का एक उदाहरण है, जिसका उपयोग अक्सर शब्दार्थ में किया जाता है, और औपचारिक भाषाओं में भी इसका उपयोग किया जाता है। एक संदर्भ-मुक्त व्याकरण को भाषा समीकरणों (यानी स्ट्रिंग सेट समीकरणों) की एक प्रणाली के रूप में देखा जा सकता है, जहां भाषा चर के लिए गैर-टर्मिनल स्टैंड है। कम से कम फिक्स्ड-पॉइंट सॉल्यूशन प्रत्येक चर के लिए एक भाषा को जोड़ता है, और इस प्रकार इंटियल सिंबल से जुड़ी भाषा CF व्याकरण द्वारा परिभाषित एक है।

अवधारणा का विस्तार

$S$$S_f$$f$

$\epsilon$$S_f$$S$+*

दरअसल, बंद करने के विचार को बढ़ाया जा सकता है, या विभिन्न तरीकों से माना जा सकता है।

1. अन्य बीजीय गुणों के लिए विस्तार

   $S_f$$f$

   $S_f$$S$$f$$\epsilon$

2. एक व्युत्पन्न ऑपरेशन के माध्यम से विस्तार

   $S\subset D$$D$

   $f$$D$$S_{f,1}$$S$

   $$S_{f,1}=\{f(s_1,s_2)\mid \forall s_1\in S_{f,1}\wedge\forall s_2\in D\}$$

   या सेट समीकरणों के साथ:

   $$S_{f,1} \text{ is the smallest set such that } S\subset S_{f,1} \text{ and } S_{f,1}=f(S_{f,1},D)$$

   यह भी समझ में आता है जब तर्क एक ही सेट के नहीं होते हैं। तब आप एक सेट में कुछ तर्कों के संबंध में बंद हो सकते हैं, जबकि अन्य तर्कों के लिए सभी संभावित मूल्यों पर विचार कर सकते हैं (कई विविधताएं संभव हैं)।

   $(M,f,\epsilon)$ $-$$-$$f$$M$$\epsilon$$u\in M$

   $$\forall u\in M.\; u^0=\epsilon\; \text{ and }\; \forall n\in\mathbb N\; u^n=f(u,u^{n-1})$$

   $u^n$$M$$\mathbb N_0$

   $M$$n$$U^n=\{u^n\mid u\in U\}$$u^n$$f$

   $$\left\{ \begin{array}{l} U^0=\{u^0\mid u\in U\}=\{\epsilon\}\\ \forall n\in\mathbb N,\; U^n=f(U,U^{n-1}) \end{array} \right.$$ $f$$M$

   $U_{\wedge,1}$$U\subset M$

   $$U_{\wedge,1} \text{ is the smallest set such that } U\subset U_{\wedge,1} \text{ and } U_{\wedge,1}=f(U_{\wedge,1},\mathbb N_0)$$

   और यह हमें क्लेन स्टार ऑपरेशन देता है जब निर्माण को स्ट्रिंग्स के मुक्त मोनोइड के संघनन ऑपरेशन पर लागू किया जाता है।

   पूरी तरह से ईमानदार होने के लिए, मुझे यकीन नहीं है कि मैं धोखा नहीं दे रहा हूं। लेकिन एक परिभाषा केवल यह है कि आप इसे क्या बनाते हैं, और यह एकमात्र तरीका था जो मुझे वास्तव में क्लीने स्टार को बंद करने में मिला। मैं बहुत कोशिश कर रहा हो सकता है।
   _{टिप्पणियों का स्वागत है।}

एक ऑपरेशन के तहत एक सेट को बंद करना जो हमेशा परिभाषित नहीं होता है

यह बंद करने की अवधारणा का थोड़ा अलग दृश्य और उपयोग है। यह दृश्य वास्तव में सवाल का जवाब नहीं दे रहा है, लेकिन कुछ संभावित भ्रमों से बचने के लिए इसे ध्यान में रखना अच्छा लगता है।

$f$$D$

• $D$$f$

• $D'$$D$$f'$

• $D$$D'$$f$$f'$

$D'$$f'$$D$$f$

इस तरह से पूर्णांक संबंध के आधार पर प्राकृतिक संख्याओं के युग्मों के समुच्चय पर विचार करते हुए पूर्णांक प्राकृतिक संख्याओं से निर्मित होते हैं (दो जोड़े समान हैं यदि दोनों तत्व समान क्रम में हैं और समान अंतर है)।

यह भी है कि पूर्णांकों से कैसे तर्कसंगत बनाया जा सकता है।

और यह इस तरह से है कि शास्त्रीय वास्तविक को तर्कसंगत से बनाया जा सकता है, हालांकि निर्माण अधिक जटिल है।

Comments

हे धन्यवाद, संघनन स्पष्टीकरण के तहत बंद होने से बहुत कुछ समझ में आता है, लेकिन क्या एप्सिलॉन संघटन के तहत बंद में मौजूद है?

— मलार्दज़

$\epsilon$

@DavidRicherby वास्तव में मेरा क्या मतलब था यदि आपके पास एक सेट S = {m} है तो क्या S के एप्सिलॉन के समाप्ती के तहत बंद होता है? क्योंकि m * सही करता है? अगर नहीं तो मुझे लगता है कि क्लीने क्लोजर कॉन्टेक्टेशन के तहत क्लोजर के बराबर नहीं है, हालांकि मैं अभी भी देख सकता हूं कि नाम की उत्पत्ति कैसे हुई। मुझे यह भी याद है कि कहीं न कहीं यह याद है कि शुरू में क्लेनेन स्टार एक बाइनरी ऑपरेटर थे और एप्सिलॉन के उत्पादन से बचते थे?

— मल्लार्दज

@DavidRicherby मैंने @ mallardz निष्पक्ष आपत्ति को पूरा करने के प्रयास में अपना उत्तर पूरा किया।

— बबौ

Answer 3

$\ast\colon X \to X$$X$

1. $x \leq x^\ast$
2. $x \leq y \longrightarrow x^\ast \leq y^\ast$
3. $(x^\ast)^\ast = x^\ast$

$\bot^* = \bot$$(x \lor y)^* = x^* \lor y^*$

$X=2^{\Sigma^*}$$x,y \subseteq \Sigma^*$$x \leq y$$x \subseteq y$

1. $L \subseteq L^\ast$
2. $L_1 \subseteq L_2 \longrightarrow L_1^* \subseteq L_2^*$
3. $(L^*)^* = L^*$

क्लेन प्लस ऑपरेटर भी इन स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है, इसलिए इस परिभाषा के तहत एक क्लोजर ऑपरेटर भी है।

Comments

क्या यह न्यूनतम आवश्यकता को दूर नहीं कर रहा है? मेरा मतलब है, यदि आप इस आवश्यकता को हटा देते हैं, तो डेविड रिचर्जी के उत्तर और क्लीने स्टार के लिए मेरे प्रारंभिक उत्तर दोनों ठीक हैं।

— Babou

मेरी अपनी टिप्पणी का जवाब देना। न्यूनतमता रखी जाती है, लेकिन बंद सेट के सेट के संबंध में परिभाषित की जाती है। संघनन जैसे तारों पर एक ऑपरेशन से कोई सीधा संबंध नहीं है। क्लेन स्टार और प्लस दोनों क्लोजर ऑपरेशन हैं, लेकिन बंद सेटों के विभिन्न सेटों के संबंध में न्यूनतमता का उपयोग करके परिभाषित किया गया है। यह बहुत अधिक सार दृश्य है। (कम से कम मुझे सेट स्तर पर उस तर्क को देखने की संतुष्टि है क्योंकि मैंने आखिरकार :) जाने का सही तरीका था। दिलचस्प। धन्यवाद।

— बबौ