निश्चित बिंदु, कंप्यूटर विज्ञान की दुनिया में इसका क्या मतलब है

Question

मैं स्टैकएक्सचेंज पर प्रश्नों और उत्तरों में निश्चित बिंदु के संदर्भ में आता रहता हूं और मैं वेब पर अर्थ को स्पष्ट रूप से विकिपीडिया जैसी साइटों पर संदर्भ ढूंढ रहा हूं। हालाँकि संदर्भों में से कोई भी वास्तव में मेरे सवाल का जवाब नहीं देता है कि एक निश्चित बिंदु क्या है और कंप्यूटर विज्ञान की दुनिया में इसका क्या मतलब है।

Comments

भले ही निश्चित-बिंदु की धारणा आमतौर पर कुछ जोड़ी जैसे कि f ( x ) = x से उपजी हो , बहुत सारे अलग-अलग फ्रेमवर्क होते हैं, जहां इस शब्द का उपयोग विभिन्न अर्थों और परिणामों के साथ किया जाता है। $f,x$$f(x)=x$

— राफेल

इससे मुझे मदद मिली है। मुफ्त के लिए पुनरावर्ती प्रकार!

— गाय कोडर

Answer 1

कंप्यूटर विज्ञान में, निश्चित-बिंदुओं का सबसे प्रमुख उपयोग जाली सिद्धांत argu में है। एक जाली एक आंशिक रूप से आदेश दिया सेट है अतिरिक्त संपत्ति को किसी भी दो तत्वों दिया साथ x , y ∈ एस , सेट { x , y } (दोनों में एक supremum और infimum है एस )।$(S, \leq)$$x,y \in S$$\{x,y\}$$S$

अब आप अक्सर विचार करना एक लय कार्यों इस जाली जो "एकाग्र", के लिए कुछ है कि पर एक्स ∈ एस आप च ( एक्स ) = एक्स । इस क्षेत्र में महत्वपूर्ण परिणाम क्लेन के निश्चित-बिंदु प्रमेय और नस्टर-टार्स्की प्रमेय हैं ।$f$$x \in S$$f(x)=x$

एक प्रमुख उदाहरण जाली है के लिए एक कुछ सेट, और च एक आगमनात्मक परिभाषा से प्रेरित। उदाहरण के लिए, चलो एक = { एक , ख } * और हम एक भाषा को परिभाषित एल ∈ 2 { एक , ख } * द्वारा$(2^A,\subseteq)$$A$$f$$A = \{a,b\}^*$$L \in 2^{\{a,b\}^*}$

$\qquad \begin{align} \phantom{w \in L} &\phantom{\implies} \varepsilon, a \in L \\ aw \in L &\implies baw \in L \\ bw \in L &\implies abw, bbw \in L \end{align}$

यह आगमनात्मक परिभाषा मोनोटोन फ़ंक्शन से मेल खाती है

$\qquad \displaystyle f(A) = \{\varepsilon, a\} \cup A \cup \{baw \mid aw \in L\} \cup \{abw, bbw \mid bw \in L\}$

Knaster-Tarski प्रमेय द्वारा, हम जानते हैं कि का एक छोटा-सा निर्धारण है, जो सभी छोटे "मध्यवर्ती परिणामों" का एक वर्चस्व है (जो अक्सर प्रेरक परिभाषा के निर्माणकर्ताओं को लागू करने के लिए अनुरूप होता है), और वह सबसे छोटा निर्धारण वास्तव में L है ।$f$$L$

वैसे, सबसे बड़ी फ़िक्सपॉइंट का भी उपयोग होता है; एक उदाहरण के लिए यहां देखें ।

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पुनरावर्तन सिद्धांत में, क्लेने के कारण एक और निश्चित-बिंदु प्रमेय भी है। यह कहता है ²

चलो एक गोडेल नंबर ³ और आर : एन → एन कुल गणनीय समारोह (अंतर्ज्ञान: एक संकलक)। तो फिर वहाँ है मैं ∈ एन ऐसी है कि φ आर ( मैं ) = φ मैं ।$\varphi$$r :\mathbb{N} \to \mathbb{N}$$i \in \mathbb{N}$$\varphi_{r(i)}=\varphi_i$

वास्तव में, वहाँ भी असीम रूप से कई ऐसे हैं ; अगर वहाँ जहाँ केवल बहुत से, हम r (तालिका-लुकअप द्वारा) निर्धारित-अंक नहीं कर सकते हैं, प्रमेय का खंडन कर सकते हैं।$i$$r$

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1. हर कोई हर दिन इसका उपयोग करता है, भले ही आपको इसका एहसास न हो।
2. मुझे वह विकिपीडिया लेख पसंद नहीं है; आप शायद एक शैली की किताब की जाँच कर रहे हैं।
3. एक विशेष प्रकार का फंक्शन नंबरिंग। अंतर्ज्ञान के लिए, इसे एक (ट्यूरिंग-पूर्ण) प्रोग्रामिंग भाषा के रूप में सोचें।

Answer 2

मुझे मिस्टरलुक के उत्तर के बारे में थोड़ा विस्तार से बताएं: कल्पना करें कि हम फैक्टरियल फंक्शन को परिभाषित करने की कोशिश कर रहे हैं: फैक्टोरियल फंक्शन की परिभाषा याद रखें:

fact 0     = 1
fact (n+1) = n*(fact n)

अब कुछ PL फ्रेमवर्क (अर्थात् -calculus$\lambda$ ) में, यह तुरंत स्पष्ट नहीं है कि इस तरह के फ़ंक्शन को कैसे परिभाषित किया जाए। हालांकि, निम्न उच्च-क्रम फ़ंक्शन को परिभाषित करना आसान हो सकता है , तथाकथित क्योंकि यह इनपुट दूसरे फ़ंक्शन और एक प्राकृतिक संख्या के रूप में लेता है

Fact f 0     = 1
Fact f (n+1) = n * (f n)

इस फ़ंक्शन परिभाषा में पुनरावर्तन का कोई उपयोग नहीं है। हालांकि, अगर पाने की किसी तरह था ठीक सूत्री की Fact, यह है कि, एक समारोह ऐसी है कि तथ्य φ n = φ n हर के लिए n , तो यह जाँच करने के लिए है कि आसान है φ वास्तव में भाज्य समारोह के एक कार्यान्वयन है।$\phi$

$$\mbox{Fact}\ \phi\ n ~=~ \phi\ n$$ $n$$\phi$

अब -calculus जैसे ढांचे में , कोई यह दिखा सकता है कि इस प्रकृति के सभी निश्चित बिंदु वास्तव में मौजूद हैं, जो यह स्पष्ट करता है कि आप इसे सामान्य प्रोग्रामिंग भाषा के रूप में उपयोग कर सकते हैं।$\lambda$

कंप्यूटर विज्ञान में निश्चित-बिंदुओं की धारणा के लिए कई अन्य उपयोग हैं, लेकिन सबसे ऊपर जो मैंने दिखाया है, उसके लिए नीचे उबालें, यानी साबित करें कि कुछ निश्चित-बिंदु मौजूद हैं जो यह दिखाने में सक्षम हैं कि कुछ कार्य या निर्माण अच्छी तरह से परिभाषित हैं आपकी रूपरेखा (यहां हमने दिखाया है कि फैक्टरियल फ़ंक्शन मौजूद है)।

Answer 3

$f: A \to A$$x$$f(x)$$x$$x^2$$0$$1$$x^3$

अब, जिस गणितीय संरचना के साथ आप काम कर रहे हैं, उसके आधार पर, कई अलग-अलग कारण हैं जो निश्चित बिंदुओं में रुचि रखते हैं। उदाहरण के लिए, यदि आप एक गतिशील प्रणाली पर विचार करते हैं जो दुनिया की स्थिति को देखता है और इसे बदलता है (थर्मोस्टैट की तरह) तो एक निश्चित बिंदु एक स्थिर कॉन्फ़िगरेशन से मेल खाता है। यदि आप गेम के गणितीय अर्थ में गेम थ्योरी के बारे में सोचते हैं, तो निश्चित बिंदु समतुल्यता के अनुरूप होते हैं, यदि आप एक अनुकूलन दिनचर्या के व्यवहार के बारे में सोचते हैं कि पुनरावृत्ति इसके समाधान में सुधार करती है, तो एक निश्चित बिंदु एक इष्टतम समाधान से मेल खाती है। तो एक निश्चित बिंदु की गणितीय धारणा में बहुत सारे अलग-अलग संदर्भों में बहुत सारे अनुप्रयोग हैं।

कंप्यूटर विज्ञान में निश्चित बिंदुओं का एक बहुत ही सामान्य और मौलिक अनुप्रयोग गणितीय रूप से लूप और पुनरावर्ती कार्यक्रमों को मॉडल करना है। यदि हम एक प्रोग्राम को गणितीय फ़ंक्शन के रूप में मॉडल करने का प्रयास करते हैं, तो लूप और पुनरावृत्ति दोनों मॉडल के लिए स्पष्ट नहीं हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि लूप का शरीर एक कार्यक्रम है और इसे गणितीय कार्य के रूप में दर्शाया जा सकता है। हम लूप के व्यवहार का प्रतिनिधित्व करने वाले फ़ंक्शन को कैसे प्राप्त करते हैं? यह लूप बॉडी को बार-बार लागू करने से मेल खाता है, लूप गार्ड के साथ मिलकर, जब तक कि आगे कोई बदलाव संभव न हो। इसी तरह, यदि हम गणितीय कार्यक्रमों को गणितीय रूप से मॉडल करते हैं, तो हमें फ़ंक्शन को स्वयं लागू करने के लिए इसका क्या अर्थ है, इसकी गणितीय धारणा की आवश्यकता है। यह उत्तर निश्चित बिंदुओं द्वारा प्रदान किया गया है।

Answer 4

गणित में एक फ़ंक्शन इनपुट और आउटपुट मानों के बीच का एक मानचित्र है। निश्चित बिंदु इनपुट मान हैं (एक फ़ंक्शन के लिए) जो इनपुट के साथ समानता को संतुष्ट करने वाले आउटपुट मानों के लिए मैप करते हैं।

$f(x) = x$$f(x) = x^2$$\{0, 1\}$

जहां तक ​​कंप्यूटर विज्ञान का संबंध है, हम आंशिक कार्यों के बारे में बहुत कुछ कह रहे हैं , लेकिन यह हमारे लिए निश्चित बिंदुओं की परिभाषा को नहीं बदलता है।

आप एक पूरी तरह से अलग विषय के बारे में भी भ्रमित हो सकते हैं: फिक्स्ड-पॉइंट अंकगणित एक अवधारणा है कि मेमोरी में वास्तविक संख्याओं का प्रतिनिधित्व कैसे करें। लेकिन "निश्चित अंक" नाम सामान्य रूप से इस विषय का संदर्भ नहीं देता है (क्योंकि केवल 1 बिंदु है)।

Answer 5

गेम थ्योरी सीएस का एक प्रमुख उपश्रेणी है और एक महत्वपूर्ण अवधारणा नैश संतुलन है जो एक निश्चित बिंदु प्रमेय है। यह इष्टतम खेल रणनीतियों की पहचान करने का एक साधन देता है जो अन्य खिलाड़ियों को एक-दूसरे की रणनीतियों के बारे में जानते हैं। यह के माध्यम से साबित किया जा सकता Kakutani निश्चित बिंदु प्रमेय या Brower बिंदु प्रमेय तय । नैश ने इस सिद्धांत को विकसित करने के लिए अर्थशास्त्र में नोबेल पुरस्कार जीता।