नजरबंदी होने पर राज्यों की घातीय संख्या के साथ एनएफए

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मैं DFA का एक उदाहरण कैसे बना सकता हूं जिसमें राज्य हैं जहां समकक्ष NFA के पास राज्य हैं। जाहिर है डीएफए के राज्य-सेट में एनएफए के राज्य-सेट के सभी सबसेट होने चाहिए, लेकिन मुझे नहीं पता कि कैसे शुरू किया जाए। मुझे सही रास्ते पर लाने के लिए कोई सुझाव? $2^n$ $n$

automata finite-automata

— saadtaame
स्रोत

यह प्रश्न कुछ अस्पष्ट है। सामान्य तौर पर, किसी भी नियमित भाषा के लिए असीम रूप से कई समकक्ष डीएफए होते हैं, और किसी भी नियमित भाषा के लिए असीम रूप से कई समकक्ष एनएफए होते हैं। यदि आप कम से कम डीएफए चाहते हैं

2^{n}

$2^n$ राज्य, यह हमेशा संभव भी नहीं होता है, क्योंकि विभिन्न एनएफए एक ही भाषा को पहचान सकते हैं और विभिन्न राज्यों की संख्या हो सकती है, लेकिन समान न्यूनतम एचएफए के अनुरूप होते हैं। यदि, इसके अतिरिक्त, आप केवल "न्यूनतम"

— एनएफए

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पैट्रिक, मुझे लगता है कि ओपी का मतलब एक उदाहरण है जहां न्यूनतम डीएफए न्यूनतम एनएफए की तुलना में तेजी से बड़ा है।

— युवल फिल्मस

@ पैट्रिक 87 मैं एक एल्गोरिथ्म की तलाश में नहीं हूं। मैं चाहता हूं कि मशीनों की एक जोड़ी का एक उदाहरण है: DFA साथ

2^{n}

$2^n$ राज्यों और एनएफए के साथ

n

$n$ उसी भाषा को स्वीकार करने वाले राज्य।

— सादतमे

@ असद नाम: यह तुच्छ है: किसी भी डीएफए को ले लें और पहुंचने के लिए पर्याप्त राज्य जोड़ें

2^{n}

$2^n$ । दिलचस्प उदाहरण वे हैं जहां न्यूनतम समकक्ष डीएफए के रूप में कई राज्य हैं।

— राफेल

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ध्यान दें कि DFA न्यूनतमकरण पर विकिपीडिया लेख उपयुक्त उदाहरणों का संदर्भ देता है (हालाँकि आपको स्वयं छोटे एनएफए का पता लगाना होगा)।

— राफेल

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मानक उदाहरण भाषा है $L$ एक वर्णमाला के सभी शब्दों पर $A$ आकार का $n$ कि नहीं है सभी विभिन्न पत्र होते हैं। एक एनएफए स्वीकार कर रहा है $L$ साथ में $n+1$ राज्यों (या $n$ राज्य यदि आप कई प्रारंभिक राज्यों की अनुमति देते हैं): पहले एक पत्र का अनुमान लगाएं $a$ जो गायब है, तो जाओ (एक के साथ $\epsilon$ -move) के अलावा अन्य सभी अक्षरों के लिए स्व-लूप के साथ एक स्वीकार करने की स्थिति में $A$ ।

के लिए कोई भी डी.एफ.ए. $L$ कम से कम की आवश्यकता है $2^n$ राज्यों। यह Myhill-Nerode प्रमेय का उपयोग करके देखा जा सकता है। चलो $S_1,S_2$ दो अलग-अलग सबसेट हो सकते हैं $A$ , तथा $w(S_1),w(S_2)$ वे शब्द जिनमें सभी और केवल अक्षर होते हैं $S_1,S_2$ , क्रमशः। व्यापकता के नुकसान के बिना, मान लीजिए $a \in S_1 \setminus S_2$ , और जाने $w = w(A-a)$ । फिर $w(S_1)w \notin L$ जबकि $w(S_2)w \in L$ ।

— युवल फिल्मस
स्रोत

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यह मार्क वी। लॉसन हेरॉट-वाट यूनिवर्सिटी, एडिनबर्ग, पृष्ठ: "फिनाइट ऑटोमेटा" पुस्तक में एक अभ्यास है।

चलो $n \geq 1$ । वह भाषा दिखाओ $(0+1)^\ast 1(0+1)^{n−1}$ एक गैर-नियतात्मक automaton द्वारा पहचाना जा सकता है $n+1$ राज्यों। दिखाएँ कि इस भाषा को मान्यता देने वाले किसी भी निर्धारक ऑटोमोटन के पास कम से कम होना चाहिए $2^n$ राज्यों। इस उदाहरण से पता चलता है कि एक गैर-निर्धारक ऑटोमेटोन से एक संगत निर्धारण-इस्कीमिक ऑटोमेटन से गुजरने वाले राज्यों की संख्या में एक घातीय वृद्धि कभी-कभी अपरिहार्य होती है।

— एमके ददसेतानी
स्रोत

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मैं अनुमान लगाने जा रहा हूं कि आपका मतलब है कि इष्टतम डीएफए है $2^n$ राज्यों। शायद यह आपको नहीं मिलता है $2^n$ बताता है, लेकिन यह है $\Omega(2^n)$ ।

12.6 व्यायाम में कुशिलेवित्ज और निसान द्वारा "संचार जटिलता" से:

"कुछ निरंतर [गैर-नकारात्मक पूर्णांक] के लिए $c$ , (परिमित) भाषा पर विचार करें $L_c = \{ww\mid w \in \{0,1\}^c\}$ । "

और पुस्तक आपको यह साबित करने के लिए कहती रहती है कि आप सह-एनएफए को पहचान सकते हैं $L_c$ वह उपयोग करता है $O(c)$ यह बताता है कि आप इससे बेहतर नहीं कर सकते $\Omega(2^c)$ एक डीएफए के लिए राज्यों।

— टिमोथी सन
स्रोत

इसके अलावा, दूसरे भाग के प्रमाण के लिए "संचार" की आवश्यकता होती है, इसलिए यह आपके उद्देश्यों के लिए उपयुक्त नहीं हो सकता है।

— टिमोथी सन

जवाब के लिए धन्यवाद! सह-NFA से आपका क्या तात्पर्य है?

— सादतमे

मूल रूप से, एनएफए की परिभाषा में "अस्वीकार" के साथ "स्वीकार करना" स्विच करें। यही है, यदि कोई भी संभावित मार्ग अस्वीकार करने की स्थिति में नहीं जाता है, तो आप स्वीकार करते हैं, अन्यथा आप अस्वीकार कर देते हैं।

— टिमोथी सन

वास्तव में,

2^{c}

$2^c$ लोअर बाउंड माइहिल-नेरोड से काफी आसानी से पीछा करता है। (वास्तव में, आप ऐसा कुछ प्राप्त कर सकते हैं

(c + 1) 2^{c}

$(c+1)2^c$ ।) लेकिन मेरा सह-एनएफए उपयोग करता है

Θ (c^{2})

$\Theta(c^2)$ राज्यों।

— युवल फिल्मस

परिमित भाषाएं इस संबंध में कुछ उबाऊ हैं। यह भी देखें यहाँ ।

— राफेल

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यह एक देर से जवाब है, लेकिन स्पष्ट रूप से किसी ने इष्टतम समाधान नहीं दिया। लेना $A = \{a, b\}$ , $Q_n = \{0, 1, \ldots, n-1\}$ एट ${\cal A}_n = (Q_n, A, E_n, \{0\}, \{0\})$ , साथ में

E_{n} = {(i, a, i + 1) ∣ 0 ⩽ i ⩽ n - 1} \cup {(n - 1, a, 0)} \cup {(i, b, i) ∣ 1 ⩽ i \leq n - 1} \cup {(i, b, 0) ∣ 1 ⩽ i ⩽ n - 1}}

$E_n = \{(i, a, i+1) \mid 0 \leqslant i \leqslant n-1\} \cup \{(n-1, a, 0)\} \cup \{(i, b, i) \mid 1 \leqslant i \leq n-1\} \cup \{(i, b, 0) \mid 1 \leqslant i \leqslant n-1\}\}$ This NFA on a two-letter alphabet has

n

$n$ states, only one initial and one final states and its equivalent minimal DFA has

2^{n}

$2^n$ states.

— J.-E. Pin
स्रोत

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Very clever! The language accepted by this automaton is

(a^{n} + a W_{n - 1} b)^{*}

$(a^n + aW_{n-1}b)^*$ , where

W_{n - 1}

$W_{n-1}$ consists of all words containing the letter

a

$a$ at most

n - 1

$n-1$ times.

— Yuval Filmus

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@yuval-filmus This example is not mine. I wanted to give a reference, but at the moment I don't remember where I saw it.

— J.-E. Pin