मिन-कट से अधिकतम-प्रवाह की गणना करें

हम जानते हैं कि अधिकतम प्रवाह की गणना करना। क्षमता के साथ एक नेटवर्क का न्यूनतम कटौती बराबर है; सीएफ अधिकतम प्रवाह मिनट कट प्रमेय ।

हमारे पास अधिकतम प्रवाह की गणना के लिए (कम या अधिक कुशल) एल्गोरिदम हैं, और अधिकतम प्रवाह को देखते हुए न्यूनतम कटौती की गणना करना न तो कठिन है और न ही महंगा है।

लेकिन इसका उल्टा क्या हुआ? न्यूनतम कटौती को देखते हुए, हम अधिकतम प्रवाह कैसे निर्धारित कर सकते हैं? खरोंच से मैक्स-फ्लो को हल करने के बिना, ज़ाहिर है, और अधिमानतः उससे भी तेज ।

कुछ विचार:

न्यूनतम कटौती से, हम अधिकतम प्रवाह मूल्य को जानते हैं। मैं यह नहीं देखता कि यह जानकारी कैसे मानक दृष्टिकोण को बढ़ाने में मदद करती है-पथ और पुश-रिलेबेल, हालांकि बाद वाले को आदत डालना थोड़ा अधिक प्रशंसनीय लगता है।
हम नेटवर्क को दो भागों में विभाजित करने के लिए न्यूनतम कटौती का उपयोग नहीं कर सकते हैं और तब से पुनरावृत्ति कर सकते हैं क्योंकि यह सबसे खराब स्थिति में समस्या को कम नहीं करेगा (यदि एक विभाजन एक सिंगलटन है); इसके अलावा, हम छोटे उदाहरणों का न्यूनतम कटौती नहीं करेंगे।
क्या अधिकतम प्रवाह एलपी को हल करने में अधिकतम प्रवाह गति के मूल्य को जानना, शायद पूरक सुस्त परिस्थितियों के माध्यम से हो सकता है?

algorithms graphs network-flow

— राफेल
स्रोत

संबंधित प्रश्न: क्या हम कंप्यूटिंग में कटौती के लिए एल्गोरिदम जानते हैं (जो अधिकतम प्रवाह एल्गोरिदम का उपयोग नहीं करते हैं)?

— राफेल

हम निश्चित रूप से करते हैं, कार्गर का यादृच्छिक एल्गोरिदम एक बहुत लोकप्रिय है, और आपको इसके लिए अधिकतम-प्रवाह के शून्य ज्ञान की आवश्यकता है।

— जुहो ३:१४

यदि आप यादृच्छिक एल्गोरिदम नहीं चाहते हैं, तो Stoer-Wagner एल्गोरिथ्म एक बहुत ही सरल है, वह भी बिना किसी प्रवाह तकनीक के।

— जुहो

अच्छी चीज़! यहां एक और चुनौती है। मीन-कट को जानने से ही पता चलता है

प्रत्येक कट के बाद से जानकारी के बिट्स (अधिकतम),

एक सबसेट के लिए आइसोमोर्फिक है । हालाँकि, एक अधिकतम प्रवाह की आवश्यकता बहुत अधिक हो सकती है

प्रतिनिधित्व करने के लिए जानकारी के बिट्स (विशेषकर यदि क्षमता बड़ी है)। इसलिए, सूचना-सैद्धांतिक रूप से, आप एक एल्गोरिथ्म की उम्मीद नहीं कर सकते हैं जो केवल कट पर दिखता है और प्रवाह को बाहर निकालता है; इसे ग्राफ को भी देखना होगा, और कुछ अतिरिक्त गणना भी करनी होगी। (मुझे पता है यह नहीं है बहुत एक बाधा की।)

| V |

$|V|$

V

$V$

| V |

$|V|$

— DW

जवाबों:

सबसे खराब स्थिति में, न्यूनतम कटौती अधिकतम प्रवाह के बारे में अधिक जानकारी नहीं देती है। एक ग्राफ पर विचार करें जिसमें न्यूनतम -cut का मान । अगर मैं विस्तार नया शीर्ष जोड़कर और एक बढ़त वजन के साथ , एक न्यूनतम कटौती नया ग्राफ में सिर्फ बढ़त के होते हैं $G=(V,E)$ $s,t$ $w$ $G$ $s'$ $(s',s)$ $w$ $s',t$ $(s', s)$ लेकिन यह है कि कैसे प्राप्त करने के लिए बारे में कोई जानकारी नहीं दे करता है से प्रवाह की इकाइयों को । $w$ $s$ $t$

प्रभावी रूप से, न्यूनतम कटौती आपको प्रवाह का मूल्य बताता है, लेकिन उस प्रवाह को प्राप्त करने का तरीका नहीं। इसका मतलब यह है कि न्यूनतम कटौती को जानने से अधिकांश लॉगरिदमिक कारक द्वारा प्रवाह को खोजने में तेजी आ सकती है, क्योंकि हम कटौती के मूल्य को खोजने के लिए द्विआधारी खोज कर सकते हैं।

— टॉम वैन डेर ज़ैंडेन
स्रोत

लेकिन यह लघुगणक कारक संभावित प्रवाह मूल्यों के अंतराल के आकार पर होगा, इसलिए अधिकतम-प्रवाह को हल करने पर मौजूदा ऊपरी सीमा के लिए अतुलनीय है जो केवल ग्राफ आकार पर निर्भर करता है। कहा कि, यहां तक कि एक लघुगणक गति भी ब्याज की होगी। मुझे यकीन नहीं है कि अधिकतम-प्रवाह के मूल्य को जानने से बिल्कुल भी मदद नहीं मिलती है।

— राफेल

-2

निश्चित रूप से ऐसे एल्गोरिदम मौजूद हैं जो आपको अधिकतम प्रवाह की गणना करने से पहले न्यूनतम कटौती की गणना करते हैं। इस तरह के दो एल्गोरिदम पुश रिलेबेल और स्यूडोफ्लो एल्गोरिदम हैं जो निकटता से संबंधित हैं। उत्तरार्द्ध अधिक कुशल है। ये दोनों एल्गोरिदम अवशिष्ट ग्राफ के विशेष गुणों का उपयोग करते हैं जो वे न्यूनतम रूप से न्यूनतम कटौती से अधिकतम प्रवाह को प्राप्त करने के लिए सुधार करते हैं। विवरण के लिए मैं कोड और पेपर पढ़ने की अत्यधिक सलाह देता हूं।

पुश रिलेबेल मामले पर विस्तृत करने के लिए, जब एल्गोरिथ्म सिंक को और अधिक प्रवाह नहीं दे सकता है, तो उसे न्यूनतम कटौती की गारंटी दी जाती है। एल्गोरिथ्म के इस भाग को बेहतर नाम की कमी के लिए चरण 1 कहा जाता है। चरण 2 अधिक कुशल चरण है, जहां यह न्यूनतम गहराई वाली पहली खोज का उपयोग करते हुए अवशिष्ट ग्राफ में पुनरावृत्त चक्रों को अधिकतम रूप से रद्द करता है और स्रोत को अतिरिक्त वापस धकेलता है। मेरा मानना है कि चरण 2 चरण 1 की तुलना में विषम रूप से अधिक कुशल साबित हो सकता है।

— ldog
स्रोत

कृपया प्रश्न को फिर से पढ़ें; यह वह नहीं है जिसका आपने उत्तर दिया है।

— राफेल

पीआर का उदाहरण मैंने दिया है कि आपने जिस तरह से मिनिम-कट की गणना की थी, उस तरह से अन्य जानकारी की गणना की है। आपका मूल प्रश्न यह निर्दिष्ट नहीं करता है कि क्या आपको बाद में अधिकतमप्रवाह गणना को आसान बनाने के लिए न्यूनतम कटौती के साथ अन्य जानकारी बनाए रखने की अनुमति दी गई थी। क्या आपके मूल प्रश्न को "एक न्यूनतम कटौती और कोई अन्य जानकारी नहीं दी गई है" , हम अधिकतम प्रवाह कैसे निर्धारित कर सकते हैं?

— ldog

मैंने कहा, "ए दिया, कंप्यूट बी"। एकमात्र उचित धारणा यह है कि आपको केवल ए दिया जाता है , अन्यथा कम्प्यूटेशनल समस्याओं के बारे में बात करना एक बहुत ही फजी मामला होगा।

— राफेल

क्षमा करें मैं असहमत हूं। व्यावहारिक दृष्टिकोण से, आप कभी भी अतिरिक्त जानकारी की गणना किए बिना (जैसे कि पीआर एल्गोरिथ्म में।) एक सैद्धांतिक कटौती की गणना नहीं करेंगे। सैद्धांतिक दृष्टिकोण से, अलगाव में चीजों पर विचार करना अच्छा होगा जैसा कि आप कहते हैं। प्रसंग यहाँ प्रमुख है।

— ldog