में गुणा

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मैं में देख रहा था यहाँ है, और मैं दो की गुणन के लिए सबसे अच्छा क्रम देखा $n$ -bits संख्या है $O(n\cdot \log n \cdot 2^{O(\log^* n)}$ , लेकिन मैं आसानी से कि में रन एक एल्गोरिथ्म नोटिस कर सकते हैं $O(n\cdot \log n)$ ।

आखिरकार, हम जानते हैं कि रनटाइम में डिग्री से दो बहुपदों को कैसे गुणा किया जाए । लेकिन बहुपद को गुणा करना दो -बिट संख्या को गुणा करने के समान है । इसलिए हमारे पास में दो -बिट संख्या को गुणा करने के लिए एक एल्गोरिथम है । अब एकमात्र समस्या जो हो सकती है, वह है कैरी, लेकिन प्रत्येक चरण में हम इसे समय में ठीक कर सकते हैं , बस अंत तक दाहिने बिट और इसके बाएं-पड़ोसी पर जा रहे हैं। यह है कि, हमारे क्रम रहेगा $n$ $O(n \log n)$ $n$ $n$ $O(n \log n )$ $O(n)$ $O(n \cdot \log n)$ ।

तो क्या मैंने एक नई (और बहुत स्पष्ट) खोज की? या विकिपीडिया पृष्ठ पुराना है? या शायद मुझसे कुछ गलती हुई है?

runtime-analysis

— TheEmeritus
स्रोत

जिस तरह से "हम जानते हैं" "दो पोलीओमियल्स को डिग्री

n

$n$ से

O (n \log n)

$O(n \log n)$ रनटाइम में गुणा करना है"?

$\hspace{.46 in}$

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जैसा कि @DavidRicherby पहले से ही इंगित करता है, भ्रम पैदा होता है क्योंकि जटिलता के विभिन्न उपाय मिश्रित हो रहे हैं। लेकिन मुझे थोड़ा विस्तार से बताएं।

आमतौर पर, जब मनमाने छल्ले पर बहुपद गुणन के लिए एल्गोरिदम का अध्ययन करते हैं, तो एक अंगूठी में अंकगणितीय संचालन की संख्या में रुचि रखता है जो एक एल्गोरिथ्म का उपयोग करता है। विशेष रूप से, कुछ (विनिमेय, एकात्मक) अंगूठी दी , और दो बहुआयामी पद की तुलना में कम डिग्री के , Schönhage-Strassen एल्गोरिथ्म की जरूरत गुणा और परिवर्धन में क्रम में करने के लिए गणना $R$ $f,g \in R[X]$ $n$ $O(n \log{n} \log{\log{n}})$ $R$ $fg \in R[X]$ द्वारा, मोटे तौर पर, आसपास के करने के लिए एकता की मई के आदिम जड़ों कुछ बड़े अंगूठी प्राप्त करने के लिए और फिर, फास्ट फूरियर से अधिक रूपांतरण का उपयोग कर , कंप्यूटिंग में उत्पाद । $n$ $R$ $D \supset R$ $D$ $D$

अपने अंगूठी एक हैं, तो एकता की मई की जड़ है, तो यह करने के लिए तेज किया जा सकता है में आपरेशन फास्ट फूरियर सीधे रूपांतरण का उपयोग करके । विशेष रूप से, अधिक , तो आप इस का उपयोग कर सकते अंगूठी परिचालन (तथ्य यह है कि इस जटिल संख्या पर सटीक गणित की आवश्यकता होगी अनदेखी)। $n$ $O(n \log n)$ $R$ $R$ $\mathbb{Z} \subset \mathbb{C}$ $O(n \log n)$

अन्य उपाय जिसे ध्यान में रखा जा सकता है वह एक ऑपरेशन की थोड़ी जटिलता है। और यह है कि हम क्या जब बिट लंबाई के दो पूर्णांकों गुणा में रुचि रखते हैं है । यहां, आदिम संचालन दो अंकों को गुणा और जोड़ रहा है (कैरी के साथ)। इसलिए, जब पर दो बहुपद का गुणा करते हैं, तो आपको वास्तव में इस तथ्य को ध्यान में रखने की आवश्यकता होती है कि गणना के दौरान उत्पन्न होने वाली संख्याओं को एक आदिम संचालन की निरंतर संख्या का उपयोग करके गुणा नहीं किया जा सकता है। यह और तथ्य यह है कि लिए एकता की - आदिम जड़ नहीं है, आपको को अपील करने से रोकता है $n$ $\mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}$ $n$ $n > 2$ $O(n \log n)$ कलन विधि। आप पर विचार करके इस पर काबू पाने अंगूठी से गुणांक के साथ , के बाद से उत्पाद बहुपद के गुणांक से अधिक नहीं होगा इस बाध्य। वहाँ (जब , आप (की अनुरूपता वर्ग) दो की एक शक्ति है) एक के रूप में एकता की मई की जड़ है, और रिकर्सिवली गुणांक गुणा के लिए एल्गोरिथ्म को फोन करके, आप की कुल प्राप्त कर सकते हैं आदिम (यानी, बिट) संचालन। इसके बाद पूर्णांक गुणा तक ले जाता है। $f,g$ $\mathbb{Z}/\langle 2^n + 1 \rangle$ $n$ $2$ $n$ $O(n \log n \log \log n)$

एक उदाहरण के लिए जो अच्छी तरह से रिंग संचालन और आदिम संचालन के बीच अंतर के महत्व को रेखांकित करता है, बहुपद के मूल्यांकन के लिए दो तरीकों पर विचार करें: हॉर्नर की विधि और एस्ट्रिन की विधि। होर्नर की विधि एक बहुपद का मूल्यांकन करता है कुछ पर पहचान का दुरुपयोग करके $f = \sum_{i=0}^n f_i X^i$ $x \in \mathbb{Z}$ जबकि ऊपर Estrin की विधि विभाजन दो भागों में और यानी, डिग्री के मामले में शामिल है और डिग्री के मामले (मान

f (x) = (\dots (f_{n} x + f_{n - 1}) x + \dots + \dots) + f_{0}

$f(x) = (\ldots (f_n x + f_{n-1})x + \ldots + \ldots) + f_0$

f

$f$

H = \sum_{i = 1}^{n / 2} f_{n / 2 + i} X^{i}

$H = \sum_{i=1}^{n/2} f_{n/2+i} X^i$

L = \sum_{i = 0}^{n / 2} f_{i} X^{i}

$L = \sum_{i=0}^{n/2} f_{i} X^i$

H

$H$

> n / 2

$>n/2$

L

$L$

\leq n / 2

$\leq n/2$

n

$n$ सादगी के लिए दो की एक शक्ति है)।

$f(x)$

f (x) = H (x) x^{n / 2} + L (x)

$f(x) = H(x)x^{n/2} + L(x)$

$n$ $n + \log n$

$n/2$ $n/2$ $\Omega(n^2)$ $n$ $O(n)$ $O(n \log^c n) = \tilde{O}(n)$ $c > 0$

— कॉर्नेलियस ब्रांड
स्रोत

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$n$ $O(n\log n)$ $n$ $O(2^{\log^*n}n\log n)$ $n$ $O(n\log n)$

— डेविड रिचेर्बी
स्रोत

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मुझे नहीं लगता कि यह समस्या है। यदि हम बहुपद के रूप में संख्याओं के बारे में सोचते हैं जिसका "x" आधार है, उदाहरण के लिए 2, तो आमतौर पर हम निरंतर समय में डिग्री-शून्य बहुपद (आधार से छोटी संख्या) गुणा कर सकते हैं । मुझे लगता है कि समस्या यह है कि O (n * लॉग एन) एल्गोरिथ्म FFT का उपयोग करता है और asymptotically बड़ी संख्या FFT एल्गोरिथ्म के अंदर उभर सकता है।

— jkff