क्या कोई एल्गोरिथ्म है जो साबित होता है कि हम जानते हैं कि यह क्या है?

Question

गणित में, कई अस्तित्व प्रमाण हैं जो गैर-रचनात्मक हैं, इसलिए हम जानते हैं कि एक निश्चित वस्तु मौजूद है, हालांकि हम नहीं जानते कि इसे कैसे खोजना है।

मैं कंप्यूटर विज्ञान में इसी तरह के परिणामों की तलाश कर रहा हूं। विशेष रूप से: क्या कोई समस्या है कि हम यह साबित कर सकते हैं कि इसके लिए एल्गोरिथ्म दिखाए बिना यह निर्णायक है? यानी हम जानते हैं कि यह एक एल्गोरिथ्म द्वारा हल किया जा सकता है, लेकिन हम नहीं जानते कि एल्गोरिथ्म कैसा दिखता है?

Comments

एक तुच्छ उत्तर है। कोई भी हाँ / कोई प्रश्न न लें, जिसका उत्तर अनकाउन्टेड हो, जैसे कि " रैंडम", तो प्रश्न निर्णायक होता है, केवल हम अभी तक यह नहीं जानते हैं कि दो संभावित एल्गोरिदम में से कौन सा सही है। $\pi$

— हेंड्रिक जान

मूल रूप से tcs.se प्रश्न का डुप्लिकेट गैर- अवरोधक एल्गोरिथ्म अस्तित्व के सबूत हैं

— vzn

@ बब्बू वास्तव में: एक अनोखे उत्तर वाला प्रश्न निर्णायक है। यहां अज्ञानता वह बिंदु है जो ऐसा लगता है, यह सवाल से "न जाने" का मामला है, हालांकि केवल " अब नहीं जानते "। एक बार जब हमें पता चला है कि क्या है या यादृच्छिक है नहीं हम एक और उदाहरण के लिए देखने की जरूरत है। नीचे आपका जवाब बहुत बेहतर है! यह "न जाने" का एक रूप है जो स्वाभाविक रूप से "कभी नहीं पता होगा" है। $\pi$

— हेंड्रिक जान

@ हेंड्रिकजन: और वह प्रक्रिया जिसे हम सीएस में एक एल्गोरिथ्म कहते हैं। लेकिन एक उदाहरण के रूप में रोकने की समस्या को लेते हुए, हम यह भी साबित नहीं कर सकते कि एक एल्गोरिथ्म मौजूद है!

— 19

कुछ और दिलचस्प उदाहरण यहां देखे

— Erel Segal-

Answer 1

सबसे आसान मामला मैं एक एल्गोरिथ्म के बारे में जानता हूं जो मौजूद है, हालांकि यह ज्ञात नहीं है कि कौन सा एल्गोरिथ्म, चिंता की स्थिति को स्वचालित करता है।

भागफल एक भाषा के एल 1 एक भाषा से एल 2 के रूप में परिभाषित किया गया है एल 1 / एल 2 = { x | ∃ y ∈ एल 2  ऐसी है कि  एक्स वाई ∈ एल 1 } ।$L_1/L_2$$L_1$$L_2$$L_1/L_2=\{x \mid \exists y\in L_2 \text{ such that } xy\in L_1\}$

यह आसानी से साबित हो जाता है कि नियमित सेट को मनमाने ढंग से सेट द्वारा भागफल के तहत बंद कर दिया जाता है। दूसरे शब्दों में, यदि नियमित है और एल 2 मनमाना है (आवश्यक रूप से नियमित नहीं), तो एल 1 / एल 2 नियमित है, भी।$L_1$$L_2$$L_1/L_2$

प्रमाण काफी सरल है। चलो एक एफएसए नियमित सेट को स्वीकार हो आर , जहां क्यू और एफ क्रमशः राज्यों के सेट और स्वीकार करने राज्यों के सेट कर रहे हैं, और एल एक मनमाना भाषा हो। चलो एफ ' = { क्ष ∈ क्यू | ∃ y ∈ $M=(Q,\Sigma,\delta,q_0,F)$$R$$Q$$F$$L$ जहाँ से एक अंतिम अवस्था से एक स्ट्रिंग को स्वीकार कर पहुंचा जा सकता है राज्यों के सेट हो एल ।$F'=\{q\in Q\mid \exists y\in L \;\;\delta(q,y)\in F\}$$L$

Automaton , जिसमें से अलग है एम केवल अपने सेट में एफ ' अंतिम राज्यों के पहचानता ठीक आर / एल । (या इस तथ्य के प्रमाण के लिए हॉपक्रॉफ्ट-उलमैन 1979, पृष्ठ 62 देखें।)$M'=(Q,\Sigma,\delta,q_0,F')$$M$$F'$$R/L$

हालाँकि, जब सेट डिसेबल नहीं होता है, तो यह तय करने के लिए कोई एल्गोरिथ्म नहीं हो सकता है कि किस राज्य के पास F ′ को परिभाषित करने वाली संपत्ति है । इसलिए, जबकि हम जानते हैं कि सेट F ′ Q का सबसेट है , हमारे पास कौन सा सबसेट है, यह निर्धारित करने के लिए कोई एल्गोरिथम नहीं है। नतीजतन, कि जब तक हम जानते हैं कि आर में से एक ने स्वीकार किया जाता है 2 | क्यू | संभव एफएसए, हमें नहीं पता कि यह कौन सा है। हालांकि मुझे स्वीकार करना चाहिए कि हम काफी हद तक जानते हैं कि यह कैसा दिखता है।$L$$F'$$F'$$Q$$R$$2^{|Q|}$

यह एक उदाहरण है जिसे कभी-कभी एक लगभग रचनात्मक प्रमाण कहा जाता है , यह एक प्रमाण है कि उत्तरों की एक सीमित संख्या में से एक सही है।

मुझे लगता है कि इसका एक विस्तार एक प्रमाण हो सकता है कि उत्तर के एक गणना योग्य सेट में से एक सही है। लेकिन मुझे कोई नहीं जानता। और न ही मैं एक विशुद्ध रूप से गैर-रचनात्मक प्रमाण जानता हूं कि कुछ समस्या निर्णायक है, उदाहरण के लिए केवल विरोधाभास का उपयोग करना।

Comments

$R$$L$$L$

धन्यवाद। यह मेरा पसंदीदा उत्तर है क्योंकि निर्णायक भाषा अनंत है।

— एर्गल सेगल-हलेवी

@ बाबू, मेरी गलती, मैंने जो लिखा, उसे गलत पढ़ा। मेरी गलती - उसके बारे में खेद है। मैंने आपकी पोस्ट को उस हिस्से को बनाने के लिए संपादित किया है जिसे मैं गलत तरीके से समझने वाला क्लीयर बना हूं।

— DW

@ डब्लू मैं खुश हूं कि आपको कोई समस्या थी, लेकिन यह मेरे साथ भी होता है। लेकिन शायद मुझे स्पष्ट होना चाहिए था। यह जानबूझकर नहीं किया गया था। यह कहना कि क्योंकि कुछ गणितज्ञ सोचते हैं कि क्रिप्टोकरंसी होना अधिक सुरुचिपूर्ण है। संपादन के लिए धन्यवाद।

— 15

Answer 2

हेंड्रिक की मूल टिप्पणी पर विस्तार करने के लिए, इस समस्या पर विचार करें

$n\ge 0$$n$$\pi$

यह समस्या विकट है, क्योंकि दो मामलों में से एक प्राप्त हो सकता है:

1. $N$$\pi$$N$
2. $n$$\pi$$n$

मामले में (1) समस्या के लिए एक निर्णय एल्गोरिथ्म में से एक होगा

$n > N$

और मामले में (2) एल्गोरिथ्म होगा

उत्तर "हाँ"।

स्पष्ट रूप से इनमें से प्रत्येक एक निर्णय एल्गोरिथ्म है; हमें अभी पता नहीं है हालांकि, यह तय होता है कि डिकेबिलिटी के लिए केवल एक एल्गोरिथ्म के अस्तित्व की आवश्यकता होती है, न कि किस एल्गोरिथ्म के उपयोग की विशिष्टता ।

Comments

+1 यह एक सीधा उदाहरण है जिसे मैं अपने प्रोफेसर को कम्प्यूटेबिलिटी और लॉजिक में याद करता हूं। यह मेरा जाना-माना उदाहरण है, क्योंकि इसमें बहुत अधिक डोमेन ज्ञान की आवश्यकता नहीं है, इसलिए यह बताना आसान है।

— जोशुआ टेलर

वैकल्पिक योगों के लिए, यहां भी देखें ।

— राफेल

Answer 3

यहाँ एक गैर जवाब है। मैं पोस्ट कर रहा हूं क्योंकि मुझे विश्वास है कि यह शिक्षाप्रद है, क्योंकि मैंने मूल रूप से विपरीत का दावा किया था और आठ लोगों ने @sdcwc द्वारा गलती को इंगित करने से पहले उखाड़ने के लिए पर्याप्त सहमति दी थी। मैं अपने पहले उत्तर को संपादित नहीं करना चाहता था क्योंकि मुझे यकीन नहीं है कि अगर वे जानते थे कि यह गलत था तो कई लोग इसे उखाड़ फेंकेंगे।

$S$$S$

$H$$H$