टोफोली गेट की सार्वभौमिकता

Question

क्वांटम टोफोली गेट के बारे में :

1. क्या यह शास्त्रीय सार्वभौमिक है, और यदि हां, तो क्यों?
2. क्या यह क्वांटमली यूनिवर्सल है, और क्यों?

Comments

गैर-क्वांटम तर्क में, आप दिखाते हैं कि बूलियन ऑपरेटरों का एक और सेट जिसे सार्वभौमिक माना जाता है, हाथ में सेट द्वारा नकली किया जा सकता है। मुझे पता नहीं है कि यह क्वांटम दुनिया में समान है, लेकिन मुझे ऐसा लगता है।

— राफेल

क्वांटम तर्क में, टोफोली गेट सार्वभौमिक नहीं है, क्योंकि आप केवल इसके साथ शास्त्रीय गणना कर सकते हैं। आपको कुछ क्वांटम गेट की भी आवश्यकता होती है, यदि इनपुट आधार स्थिति में है, तो आउटपुट को आधार राज्यों के सुपरपोजिशन में डालता है।

— पीटर शोर

मुझे एहसास है कि सवाल भ्रामक हो सकता है, शायद क्वांटम / शास्त्रीय दुनिया में सार्वभौमिकता के बीच अंतर पूछने के लिए इसे संपादित किया जाना चाहिए।

— रैन जी।

मैंने क्वांटम मामले को कवर करने के लिए अपना जवाब संपादित किया। तुम अब क्या सोचते हो?

— विक्टर स्टैफुसा

@RanG। हमें भविष्य के प्रश्नों के लिए रास्ता दिखाने वाले हैं, इस प्रश्न को होमवर्क टैग किया जाता है, फिर भी ऐसा प्रतीत होता है कि आप यह नहीं समझाते हैं कि आप इसे स्वयं क्यों हल नहीं कर सकते (और जहां समस्या है)। मुझे लगता है कि यह निजी बीटा के लिए एक अच्छा सवाल नहीं है ( मेटा चर्चा देखें )। मैं इस सवाल को बंद करने के लिए वोट करता हूं।

— गोपी

Answer 1

Toffoli शास्त्रीय अभिकलन के लिए सार्वभौमिक है (जैसा कि @Victor द्वारा दिखाया गया है)। हालांकि, टोफोली क्वांटम गणना के लिए सार्वभौमिक नहीं है (जब तक कि हमारे पास जैसा कुछ पागल न हो )।$P = BQP$

क्वांटम अभिकलन (सामान्य परिभाषा के तहत) के लिए सार्वभौमिक होने के लिए, आपके द्वार द्वारा उत्पन्न समूह को इकाईयों में घना होना चाहिए। दूसरे शब्दों में, एक मनमाना दिया और लक्ष्य एकात्मक यू किसी तरह एक एकात्मक पाने के लिए आप क्वांटम फाटकों की एक सीमित संख्या लागू करने के लिए नहीं है यू ' ऐसा है कि | | U - यू ′ | | < ϵ ।$\epsilon$$U$$U'$$||U - U'|| < \epsilon$

Toffoli अपने आप में इस परिभाषा के तहत स्पष्ट रूप से सार्वभौमिक नहीं है क्योंकि यह हमेशा आधार वाले राज्यों को आधार बनाता है, और इस तरह से कुछ को लागू नहीं कर सकता है उदाहरण के लिए। दूसरे शब्दों में, यह सुपरपोजिशन नहीं बना सकता है।$|0\rangle \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)$

Answer 2

आपके द्वारा उद्धृत विकिपीडिया लेख से :

टोफोली गेट सार्वभौमिक है; इसका मतलब यह है कि किसी भी बूलियन फंक्शन f (X1, x2, ..., xm) के लिए, एक सर्किट होता है, जिसमें टोफोली गेट्स होते हैं, जो X1, x2, ..., xm और कुछ अतिरिक्त बिट्स को 0 या 1 और आउटपुट पर सेट करता है। एक्स 1, एक्स 2, ..., एक्सएम, एफ (एक्स 1, एक्स 2, ..., एक्सएम), और कुछ अतिरिक्त बिट्स (कचरा कहा जाता है)। अनिवार्य रूप से, इसका मतलब है कि एक प्रणाली बनाने के लिए टोफोली फाटकों का उपयोग किया जा सकता है जो प्रतिवर्ती तरीके से किसी भी वांछित बूलियन फ़ंक्शन गणना का प्रदर्शन करेगा।

जिसका सीधा अर्थ है कि किसी भी बूलियन फ़ंक्शन का निर्माण केवल टोफोली फाटकों के साथ किया जा सकता है।

बूलियन फ़ंक्शन आमतौर पर OR, और NOT गेट्स से निर्मित होते हैं, जिन्हें किसी भी बूलियन फ़ंक्शन को बनाने के लिए जोड़ा जा सकता है। यह व्यापक रूप से ज्ञात है कि केवल NOR फाटकों के साथ या केवल NAND फाटकों के साथ ही संभव है।

टोफोली गेट को संक्षेप में प्रस्तुत किया जा सकता है:

$\rm{Toffoli}(a, b, c) = \begin{cases} (a, b, ¬c) & \mbox{when }a=b=1 \\ (a, b, c) & \mbox{otherwise.}\end{cases}$

चूंकि पहले और दूसरे आउटपुट हमेशा पहले और दूसरे इनपुट के बराबर होते हैं, इसलिए हम उन पर विचार कर सकते हैं। तो हमारे पास:

$\rm{Toffoli}'(a, b, c) = \begin{cases} ¬c & \mbox{when }a=b=1 \\ c & \mbox{otherwise.}\end{cases}$

इसके साथ, NAND गेट को इस प्रकार परिभाषित करना संभव है:

$\operatorname{NAND}(a, b) = \rm{Toffoli}'(a, b, 1)$

चूंकि NAND गेट सार्वभौमिक है और NAND गेट को Toffoli गेट के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, इसलिए Toffoli गेट सार्वभौमिक है।

यह साबित करने का एक और तरीका है कि Toffoli सार्वभौमिक है, सीधे निर्माण के द्वारा AND और गेट्स नहीं:

$\operatorname{NOT}(x) = \rm{Toffoli}'(1, 1, x)$

$\operatorname{AND}(a, b) = \rm{Toffoli}'(a, b, 0)$

फिर, हम डी मॉर्गन के नियमों का उपयोग करके OR गेट का निर्माण कर सकते हैं :

$\operatorname{OR}(a, b) = \operatorname{NOT}(\operatorname{AND}(\operatorname{NOT}(a), \operatorname{NOT}(b)) = \rm{Toffoli}'(1, 1, \rm{Toffoli}'(\rm{Toffoli}'(1, 1, a), \rm{Toffoli}'(1, 1, b), 0))$

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EDIT, चूंकि प्रश्न संपादित किया गया था और इसका दायरा बदल गया था:

सबसे पहले, मैं मात्रात्मक कंप्यूटिंग को नहीं समझता, इसलिए अगर कुछ गलत है, तो कृपया एक टिप्पणी जोड़ें। मैंने इस उत्तर को पूर्ण बनाने का प्रयास करने के लिए थोड़ा शोध किया और इसके साथ समाप्त हुआ:

टोफोली गेट प्रतिवर्ती है (लेकिन ऊपर इस्तेमाल की गई टोफोली नहीं है)। इसका मतलब यह है कि इसके साथ की गई किसी भी गणना को पूर्ववत किया जा सकता है। ये है:

$(a, b, c) = \rm{Toffoli}(\rm{Toffoli}(a, b, c))$

जिसका अर्थ है कि किसी भी ट्रिपल (ए, बी, सी) के लिए यदि टोफोली को दो बार लागू किया जाता है, तो मूल इनपुट आउटपुट के रूप में मिलता है।

प्रतिवर्तीता महत्वपूर्ण है क्योंकि क्वांटम फाटकों को प्रतिवर्ती होना चाहिए, इसलिए (शास्त्रीय) टोफोली गेट का उपयोग क्वांटम गेट के रूप में किया जा सकता है।

जैसा कि यहां दिखाया गया है , जर्मन गेट को इसी तरह से परिभाषित किया गया है कि टोफोली गेट है, लेकिन शास्त्रीय गेट के बजाय, यह एक मात्रात्मक है:

$\operatorname{Deutsch}(a, b, c) = |a,b,c\rangle \mapsto \begin{cases} i \cos(\theta) |a,b,c\rangle + \sin(\theta) |a,b,1-c\rangle & \mbox{for }a=b=1 \\ |a,b,c\rangle & \mbox{otherwise.}\end{cases}$

इस तरह, टोफोली गेट एक विशेष मामला है, जहां पर जर्मन गेट है:

$\rm{Toffoli}(a, b, c) = \operatorname{Deutsch}(\frac{\pi}{2})(a, b, c)$

The Toffoli gate does classical computation, it lacks a phase-shift operation, this would mean that the Toffoli gate may be used only for 90 degrees ($\frac{\pi}{2}$) phase-shifts (and by combining multiple gates, to get multiples of 90 degrees). But this also means that it can't be used to create state sobrepositions because this would require phase-shifts on angles that are not multiple than 90 degrees, hence the Toffoli gate is not a universal quantum gate.

A universal quantum Tgate set may be obtained, if we combine the Toffoli gate whit the Hadamard gate. This is exactly what the Deutsch gate does.

Interesting references can be found here, here and here. A possible valuable reference, showing the foundations of the Deutsch transform should be here, however the link is password-protected.

Comments

Toffolli is not universal for quantum computation, neither is CNOT by themselves. This is easy to see since they cannot create superposition.

— Artem Kaznatcheev

The classical part of your answer is great, I'm not sure the quantum parts make as much sense. There is no need to argue that Toffoli gate is a reversible, since it is a valid quantum gate and thus, by definition, reversible. As for Edit2: that article says that $\{$Hadamard, Toffoli$\}$ is a universal set, but I don't think it says Toffoli is q-universal on its own (or did I miss anything?)

— Ran G.

Your reference in EDIT 2 is wrong. That article clearly states that Toffoli + Hadamard is universal, not Toffoli by itself

— Artem Kaznatcheev

@ArtemKaznatcheev: The article says "Toffoli and Hadamard". Then I thought that this meant "Toffoli is an example and Hadamart is another one". Anyway it is clear now.

— Victor Stafusa

I edited it, should be ok now.

— Victor Stafusa