लैम्ब्डा कैलकुलस की संयुक्त व्याख्या

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पीटर सेलिंगर के अनुसार , लैंबडा कैलकुलस अलजेब्रासिक (पीडीएफ) है। इस लेख में वह कहता है:

लैम्ब्डा कैलकुलस की संयुक्त व्याख्या को अपूर्ण माना जाता है, क्योंकि यह -rule को संतुष्ट नहीं करता है : व्याख्या के तहत, अर्थ (Barendregt, 1984) नहीं है। $ξ$ $M = N$ $\lambda x.M = \lambda x.N$

प्रशन:

यहाँ किस तरह की समानता का मतलब है?
तुल्यता की इस परिभाषा को देखते हुए, निहितार्थ का एक प्रतिरूप क्या है?

terminology lambda-calculus combinatory-logic

— साइमन शाइन
स्रोत

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चर्चा के तहत समतुल्य -theory में समतुल्यता सिर्फ समानता है । इस मामले में, यह तालिका 1 में उल्लिखित सिद्धांत है। ध्यान दें कि इस सिद्धांत में the शामिल नहीं है : ऐसा करने से सिद्धांत को बना दिया जाएगा, और बिंदु अंततः यह है कि सम्मान करता है , जबकि यह सीएल को आंशिक रूप से बहुआयामी बना देगा। मुझे यकीन है कि क्यों नहीं अन्य जवाब का उल्लेख कर रहा हूँ । $\lambda$ $\eta$ $\xi$ $\lambda$ $\eta$

ध्यान दें कि : $\lambda$

\begin{matrix} (1) & (M =_{β} N) ⟹ (λ x . M =_{β} λ x . N) \end{matrix}

$(M =_\beta N) \Longrightarrow (\lambda x.M =_\beta \lambda x.N) \tag{1}$

यह intuitively स्पष्ट किया जाना चाहिए: अगर है को -convertible जब यह अपने आप में खड़ा है, तो यह भी है को -convertible जब इसके बारे में एक subterm है । $M$ $\beta$ $N$ $\beta$ $N$ $\lambda x.M$

-rule, के रूप में परिभाषित $\xi$ जब यह एक-oryका हिस्सा होता है, तो यह सीधे संभव बनाता है। इसका सीएल एनालॉग होगा:

\begin{aligned} M & = N \\ (ξ_{λ}) & (λ x . M) & = (λ x . N) \end{aligned}

$\begin{align} M &\;= N \\ \hline (\lambda x.M) &\;= (\lambda x.N) \tag{$\xi_\lambda$} \end{align}$

λ

$\lambda$

\begin{aligned} M & = N \\ (ξ_{C L}) & (λ^{*} x . M) & = (λ^{*} x . N) \end{aligned}

$\begin{align} M &\;= N \\ \hline (\lambda^* x.M) &\;= (\lambda^* x.N) \tag{$\xi_{CL}$} \end{align}$

अब, मुद्दा यह है कि सीएल में, निम्नलिखित नहीं है :

\begin{matrix} (2) & (M =_{w} N) ⟹ (λ^{*} x . M =_{w} λ^{*} x . N) \end{matrix}

$(M =_w N) \Longrightarrow (\lambda^* x.M =_w \lambda^*x.N) \tag{2}$

दूसरे शब्दों में, यदि दो शब्द कमजोर रूप से समान हैं, तो यह उनके छद्म-सार संस्करणों के लिए जरूरी नहीं है ।

नतीजतन, हम जोड़ने एक सीएल सिद्धांत है, तो हम जो विभिन्न सामान्य रूप हो शर्तों equating शुरू करते हैं। $\xi_{CL}$

ध्यान दें। यहाँ, कमजोर समानता को दर्शाता है। इसका मतलब है कि में बदला जा सकता की एक श्रृंखला से (और इसके विपरीत) और (संभवतः भी संकुचन , अगर यह सिद्धांत का हिस्सा है)। आप जानते ही होंगे की सीएल एनालॉग है । $M =_w N$ $M$ $N$ $\mathsf{S}$ $\mathsf{K}$ $\mathsf{I}$ $=_w$ $=_\beta$

के रूप में अपने दस्तावेज़ के पृष्ठ 5 पर परिभाषित छद्म abstractor है। इसकी निम्नलिखित संपत्ति है: $\lambda^*$

\begin{matrix} (3) & (λ^{*} x . M) N ⊳_{w} [N / x] M \end{matrix}

$(\lambda^*x.M)N \rhd_w [N/x]M \tag{3}$

यह गुण यह आसान किसी के लिए एक सीएल अनुरूप खोजने के लिए बनाता है अवधि: सिर्फ परिवर्तन को और की परिभाषा के अनुसार लागू अनुवाद । $\lambda$ $\lambda$ $\lambda^*$ $\lambda^*$

स्पष्ट होने के लिए, इस उत्तर में 'प्रति-उदाहरण' (2) का प्रति-उदाहरण नहीं है। क्योंकि अगर हमारे पास:

\begin{matrix} (4) & M = x \end{matrix}

$M = x \tag{4}$

\begin{matrix} (5) & N = (λ^{*} z . z) x \end{matrix}

$N = (\lambda^*z.z)x \tag{5}$

तब वास्तव में दर्शाता है (पृष्ठ 5 के अनुवादों को लागू करना, और यह तथ्य कि पृष्ठ 4 के अंत में रूप में परिभाषित किया गया है ): $N$ $\mathsf{I}$ $\mathsf{SKK}$

\begin{matrix} (6) & N = (λ^{*} z . z) x = I x = S K K x \end{matrix}

$N = (\lambda^*z.z)x = \mathsf{I}x = \mathsf{SKK}x \tag{6}$

के बाद से , हम वास्तव में है कि । हालांकि, अगर यह एक जवाबी उदाहरण है, हम तो है कि होना चाहिए । लेकिन अगर हम अनुवाद करते हैं, तो हम वास्तव में प्राप्त करते हैं: $\mathsf{SKK}x \rhd_w \mathsf{K}x(\mathsf{K}x) \rhd_w x$ $M =_w N$ $(\lambda^* y. M) \not=_w (\lambda^* y. N)$

\begin{matrix} (7) & (λ^{*} y . M) = (λ^{*} y . x) = K x \end{matrix}

$(\lambda^* y. M) = (\lambda^* y. x) = \mathsf{K}x \tag{7}$

\begin{matrix} (8) & (λ^{*} y . N) = (λ^{*} y . S K K x) = K (S K K x) \end{matrix}

$(\lambda^* y. N) = (\lambda^* y. \mathsf{SKK}x) = \mathsf{K}(\mathsf{SKK}x)\tag{8}$

और यह सत्यापित करना आसान है कि (7) और (8) अभी भी कमजोर रूप से बराबर हैं, इसके लिए:

\begin{matrix} (9) & K (S K K x) ⊳_{w} K (K x (K x)) ⊳_{w} K x \end{matrix}

$\mathsf{K}(\mathsf{SKK}x) \rhd_w \mathsf{K}(\mathsf{K}x(\mathsf{K}x)) \rhd_w \mathsf{K}x \tag{9}$

अब, एक उचित प्रति-उदाहरण (2) होगा:

M = K x y

$M = \mathsf{K}xy$

N = x

$N = x$

के बाद से , हम निश्चित रूप से है कि । हालांकि, यदि आप अमूर्त संस्करणों के लिए सावधानी से अनुवाद करते हैं, तो आप देखेंगे कि दोनों अलग-अलग सामान्य रूप हैं - और ये चर्च-रोसेर प्रमेय के अनुसार परिवर्तनीय नहीं हो सकते हैं। $\mathsf{K}xy \rhd_w x$ $M =_w N$

पहले हम जाँच करते हैं : $M'$

यहाँआप सत्यापित कर सकते किएक सामान्य रूप है। यहाँआप देख सकते हैं कि, जैसा कि आप अगर उम्मीद करनी चाहिएसीएल के लिए एक abstractor की तरह व्यवहार माना जाता है। (कमजोर संकुचन करने के लिए नीले लिंक पर क्लिक करें।)

\begin{aligned} M^{'} & = λ^{*} x . K x y \\ = S (λ^{*} x . K x) (λ^{*} x . y) \\ = S (λ^{*} x . K x) (K y) \\ = S (S (λ^{*} x . K) (λ^{*} x . x)) (K y) \\ = S (S (λ^{*} x . K) (I)) (K y) \\ = S (S (λ^{*} x . K) (S K K)) (K y) \\ = S (S (K K) (S K K)) (K y) \end{aligned}

$\begin{align} M' &= \lambda^* x.\mathsf{K}xy \\ &= \mathsf{S}(\lambda^* x.\mathsf{K}x)(\lambda^* x.y)\\ &= \mathsf{S}(\lambda^* x.\mathsf{K}x)(\mathsf{K}y) \\ &= \mathsf{S}(\mathsf{S}(\lambda^* x.\mathsf{K})(\lambda^* x.x))(\mathsf{K}y) \\ &= \mathsf{S}(\mathsf{S}(\lambda^* x.\mathsf{K})(\mathsf{I}))(\mathsf{K}y) \\ &= \mathsf{S}(\mathsf{S}(\lambda^* x.\mathsf{K})(\mathsf{SKK}))(\mathsf{K}y) \\ &= \mathsf{S}(\mathsf{S}(\mathsf{KK})(\mathsf{SKK}))(\mathsf{K}y) \end{align}$

M^{'}

$M'$

(λ^{*} x . K x y) P ⊳_{w} P

$(\lambda^* x.Kxy)P \rhd_w P$

λ^{*}

$\lambda^*$

अब हम जाँच करते हैं : $N'$

\begin{aligned} N^{'} & = λ^{*} x . x \\ = I \\ = S K K \end{aligned}

$\begin{align} N' &= \lambda^*x.x \\ &= \mathsf{I} \\ &= \mathsf{SKK} \end{align}$

$M'$ $M' \not=_w N'$ $N'P \rhd_w P$ $M'$ $N'$ $P$

$\xi$

$\lambda$

$\lambda$ $\lambda$ $\xi$ $\lambda$ $\lambda$ $\eta$ $\xi$ $\xi$

— रॉय ओ।
स्रोत

1

मैं गुणवत्ता पर टिप्पणी नहीं कर सकता क्योंकि मैं इस विषय को बहुत कम जानता हूं, लेकिन यह काम की तरह दिखता है। सराहना की, धन्यवाद!

— राफेल

वास्तव में, पोस्ट की अपेक्षा मैं समाप्त हो गया था। आपके कमेंट के लिए धन्यवाद। :)

— रॉय ओ।

2

ओह वो। होता है । नियमित रूप से ।

— राफेल

3

संपादित करें यह उत्तर गलत है, क्योंकि अन्य उत्तरदाता ने सही ढंग से बताया है। मैंने ट्रांसपेरेटरी लॉजिक का उपयोग एस्परटी और लोंगो से किया, जो कि सेलिंगर में एक से अलग है।

वास्तव में, यह एक महत्वपूर्ण बिंदु दिखाता है: लैम्ब्डा कैलकुलस की "कॉम्बिनेरी व्याख्या" एक एकल चीज नहीं है! विभिन्न लेखक इसे थोड़ा अलग तरीके से करते हैं।

मैं अपना उत्तर यहाँ पोस्टीरिटी के लिए छोड़ रहा हूँ, लेकिन दूसरा उत्तर बेहतर है।

इस संदर्भ में सामंजस्य को सेलिंगर के पेपर में टेबल्स 1 और 2 द्वारा परिभाषित किया गया है। हालांकि, थोड़ा अलग स्वयंसिद्धता चीजों को थोड़ा और स्पष्ट कर सकती है।

वास्तव में इसका क्या मतलब है कि दो शब्द में परिवर्तनीय हैं $\lambda$ सिद्धांत। हम निम्नलिखित दो स्वयंसिद्धों द्वारा "परिवर्तनीयता" को परिभाषित कर सकते हैं:

$\beta$ । $(\lambda x. M) N = [N/x]M$ , अगर $x$ के लिए नि: शुल्क $N$ में $M$
$\eta$ । $\lambda y. M y = M$ , अगर $y$ फ्री में नहीं $M$

इसके अलावा, ज़ाहिर है, बनाने के लिए आवश्यक सामान्य स्वयंसिद्ध और अनुमान नियम $=$ एक बधाई। इससे, यह स्पष्ट होना चाहिए कि कोई भी प्रति-उदाहरण मुक्त चर स्थिति पर भरोसा करने वाला है $\eta$ नियम तोड़ा जा रहा है।

मुझे लगता है कि यह शायद सबसे सरल है:

M = x

$M = x$

N = (λ z . z) x

$N = (\lambda z. z) x$

You can verify for yourself that $\lambda y. M = \lambda y. N$ , but their respective combinatorial interpretations are not equal under the rules in Table 2.

— Pseudonym
स्रोत

What I don't understand about your answer: 1) why mention

η

$\eta$ , while the theory in Table 1 does not include it and is clearly intensional? 2) How are the combinatory interpretations of

λ y . M

$\lambda y.M$ and

λ y . N

$\lambda y. N$ not equal? The derivation in my answer shows that they are. 3) The

ξ

$\xi$ -rule is not addressed, while that is the culprit in the issue.

— Roy O.