सटीकता की हानि के बिना एक वास्तविक संख्या का प्रतिनिधित्व करें

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वर्तमान फ्लोटिंग पॉइंट (एएनएसआई सी फ्लोट, डबल) एक वास्तविक संख्या के एक अनुमान का प्रतिनिधित्व करने की अनुमति देता है ।
क्या त्रुटियों के बिना वास्तविक संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने का कोई तरीका है ?
यहां एक विचार है जो मेरे पास था, जो कुछ भी है लेकिन सही है।

उदाहरण के लिए, 1/3 0.33333333 ... (बेस 10) या o.01010101 ... (बेस 2), लेकिन 0.1 (बेस 3) भी
इस "संरचना" को लागू करने के लिए एक अच्छा विचार है:

base, mantissa, exponent

इसलिए 1/3 3 ^ -1 हो सकता है

{[11] = base 3, [1.0] mantissa, [-1] exponent}

कोई अन्य विचार?

— incud
स्रोत

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आप केवल इस तरह से तर्कसंगत संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने में सक्षम होंगे।

— लेडी बाउर

आप इस प्रतिनिधित्व में संख्याओं पर अंकगणितीय संचालन को कैसे लागू करने का प्रस्ताव करते हैं? आधार बदलने के लिए लघुगणक का उपयोग? यह IEEE फ्लोटिंग-पॉइंट गणित की तुलना में बहुत अधिक महंगा होगा ।

— डेविड झांग

खैर, मुझे कोई पता नहीं है। मैं एक इंजीनियर नहीं हूँ :) जाहिर है, मैं इसे हार्डवेयर में लागू नहीं कर सकता। C. में एक धीमी गति से किया जाने वाला अकुशल कार्यान्वयन किया जा सकता है। यह सिर्फ एक प्रयोग होगा

— 6

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यह सब निर्भर करता है कि आप क्या करना चाहते हैं।

उदाहरण के लिए, आप जो दिखाते हैं वह तर्कसंगत संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने का एक शानदार तरीका है। लेकिन यह अभी भी या जैसी किसी चीज़ का प्रतिनिधित्व नहीं कर सकता है। $\pi$ $e$

वास्तव में, कई भाषाओं जैसे हास्केल और स्कीम ने तर्कसंगत संख्याओं के समर्थन में बनाया है, उन्हें फॉर्म में संग्रहीत किया जाता है जहां पूर्णांक होते हैं। $\frac{a}{b}$ $a,b$

इनका व्यापक रूप से उपयोग नहीं किए जाने का मुख्य कारण प्रदर्शन है। फ़्लोटिंग पॉइंट नंबर थोड़े थोड़े होते हैं, लेकिन उनके संचालन को हार्डवेयर में लागू किया जाता है। आपका प्रस्तावित सिस्टम अधिक सटीकता के लिए अनुमति देता है, लेकिन इसे लागू करने के लिए कई चरणों की आवश्यकता होती है, क्योंकि एक ही ऑपरेशन का विरोध किया जा सकता है जो हार्डवेयर में किया जा सकता है।

यह ज्ञात है कि कुछ वास्तविक संख्याएं अपरिहार्य हैं, जैसे कि रुकने की संख्या । विपरीत, इसके अंकों की गणना करने वाला कोई एल्गोरिथ्म नहीं है , जहां हम वें अंक की गणना तब तक कर सकते हैं जब तक हम लंबे समय तक प्रतीक्षा करते हैं। $\pi$ $n$

यदि आप तर्कहीन या पारलौकिक संख्याओं के लिए वास्तविक सटीक चाहते हैं, तो आपको प्रतीकात्मक बीजगणित की किसी प्रकार की प्रणाली का उपयोग करने की आवश्यकता होगी, फिर प्रतीकात्मक रूप में अंतिम उत्तर प्राप्त करें, जिसे आप किसी भी संख्या के अंकों के साथ अनुमानित कर सकते हैं। हालाँकि, ऊपर बताई गई अनिर्णायक समस्याओं के कारण, यह दृष्टिकोण आवश्यक रूप से सीमित है। यह अभी भी अभिन्न अंग या अनंत श्रृंखला जैसी चीजों के लिए अच्छा है।

— jmite
स्रोत

क्या मैं एक और प्रश्न पूछ सकता हूँ? यदि आप 80 के दशक में एक इंटेल इंजीनियर थे, तो आपने अपने वास्तविक संख्या प्रारूप को "डिजाइन" कैसे किया होगा?

— incud

3

मैं इसका जवाब देने के लिए बहुत योग्य नहीं हूं, क्योंकि मैं एक इंजीनियर नहीं हूं, मैं एक सिद्धांत शोधकर्ता हूं। मैं IEEE फ्लोट और दोहरे मानकों और अब क्वाड के साथ बहुत गलत नहीं देखता। मुझे नहीं लगता कि उच्च परिशुद्धता अंकगणित के आधार पर कई अनुप्रयोग हुए हैं, और जो ऐसा करते हैं वे सॉफ़्टवेयर समर्थित संस्करण का उपयोग कर सकते हैं।

— jmite

प्रतीकात्मक बीजगणित सटीक वास्तविक अंकगणित के लिए सही औपचारिकता नहीं है। आपको एक प्रतिनिधित्व की आवश्यकता है जो मनमाने ढंग से बड़े मन्तीस की अनुमति देता है।

— लेडी बाउर

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@AndrejBauer: अगर आप का सटीक प्रतिनिधित्व चाहते हैं तो एक बड़े पैमाने पर बड़े मंटिसा आपको बचाने नहीं जा रहे हैं ।

\sqrt{2}

$\sqrt 2$

— user2357112

@jmite आप बहुत ज्यादा मामूली :) रहे

— incud

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त्रुटियों के बिना सभी वास्तविक संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने का कोई तरीका नहीं है यदि प्रत्येक संख्या एक परिमित प्रतिनिधित्व है। बेशुमार कई वास्तविक संख्याएँ हैं, लेकिन केवल 1 और 0 के कई परिमित तार हैं जिनका आप उनके साथ प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग कर सकते हैं।

— डेविड रिचेर्बी
स्रोत

हर वास्तविक संख्या का प्रतिनिधित्व करने से लेकर केवल उन वास्तविक संख्याओं तक सीमित रखने तक की आवश्यकता को प्रतिबंधित किया जा सकता है, जो एक ट्यूरिंग मशीन का उत्पादन हो सकता है। यह केवल वास्तविक संख्याओं की गणना योग्य संख्या होगी, लेकिन फिर भी हर उस संख्या को कवर करेगी जिसे आप कभी भी प्रतिनिधित्व करना चाहते हैं। लेकिन मुझे नहीं लगता कि आप ऐसी संख्याओं के साथ कुशल संगणना कर सकते हैं।

— कैस्परल्ड

3

@kasperd उन्हें कम्प्यूटेशनल रियल कहा जाता है । दुर्भाग्य से, समता जैसी चीजें कम्प्यूटेशनल रियल्स के मुकाबले कम्फर्टेबल नहीं होती हैं।

— डेविड रिचरबी

यह वास्तव में काफी स्पष्ट है कि ऐसे नंबरों पर समानता की गणना करना हॉल्टिंग समस्या को हल करने के बराबर है। टीएम को देखते हुए एक वास्तविक संख्या को परिभाषित किया जा सकता है, जो बहुत सारे दशमलव से शुरू होता है जो शून्य हैं, बिल्कुल टीएम के चलने के समय के रूप में, और फिर एक के बाद। उस संख्या की तुलना शून्य से करना मूल TM के लिए समस्या को हल करने के बराबर है।

— कास्परड

यह उत्तर गलत है। मशीनों पर अपने पहले पेपर में एलन ट्यूरिंग, वे जिसमें ट्यूरिंग मशीनों को आमंत्रित करते हैं, वास्तविक लोगों को डेटा के अनंत तारों के रूप में प्रतिनिधित्व करने के बारे में बात करते हैं । यह तथाकथित "टाइप II ट्यूरिंग मशीन" के विचार की ओर जाता है, और विचार के आधार पर वास्तविक-संख्या अभिकलन का एक बहुत ही संक्षिप्त सिद्धांत है। यह व्यवहार में भी लागू किया गया है, मेरा उत्तर देखें।

— गर्लफ्रेंड बाउर

1

शायद यह तकनीकी रूप से करता है, लेकिन यह बात है, जो वहाँ पूरी तरह से उचित है कि याद करते हैं अनंत वास्तविक संख्या का निरूपण। और यह कुछ भी अजीब नहीं है: एक टीसीपी / आईपी कनेक्शन, या एक स्काइप कॉल, या एक कैमरा से एक वीडियो फ़ीड सभी डेटा के (संभावित) अनंत राशि के उदाहरण हैं। कोई पूर्व सूचना नहीं है कि वे कितनी जानकारी प्रदान कर सकते हैं। केवल इस बात पर एक सीमा है कि आप कितने समय में कितनी जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

— बाउर

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आपका विचार काम नहीं करता क्योंकि mantissa और घातांक साथ आधार में दर्शाया गया एक नंबर तर्कसंगत संख्या , इस प्रकार आपका प्रतिनिधित्व तर्कसंगत संख्याओं और अन्य के लिए ठीक काम करता है। आप उदाहरण के लिए प्रतिनिधित्व नहीं कर सकते । $b$ $m$ $e$ $b \cdot m^{-e}$ $\sqrt{2}$

कम्प्यूटेशनल गणित की एक पूरी शाखा है जो सटीक वास्तविक अंकगणित से संबंधित है। सटीक वास्तविक संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए कई डेटा संरचनाएं प्रस्तावित की गई हैं: अंकों की धाराएं, प्रफुल्ल संकुचन की धाराएं, परिमेय के कॉची अनुक्रम, डियाडिक परिमेय के कैची अनुक्रम, डेडेकिंड कट, सिकुड़ते अंतराल के अनुक्रम आदि, सटीक वास्तविक अंकगणित के कार्यान्वयन हैं। उदाहरण के लिए इन विचारों पर:

नॉर्बर्ट मुलर की iRRAM C ++ में सटीक वास्तविक संख्याओं का कार्यान्वयन
डेडेकिंड रियल के साथ सटीक गणना के लिए मार्शेल भाषा
सटीक वास्तविक संख्या गणना के लिए एक कैलकुलेटर

इनमें से iRRAM सबसे परिपक्व और कुशल है। एक प्रयोगात्मक परियोजना में मार्शल, जबकि तीसरा एक छात्र परियोजना है, लेकिन सबसे आसानी से सुलभ एक भी है। यह एक बहुत अच्छा परिचय है वास्तविक संख्या गणना के बारे में मुद्दों को समझाते हुए, मैंने अत्यधिक पुनः पाया कि आप इसे देखते हैं।

मुझे एक टिप्पणी करने दें। किसी को आपत्ति होगी कि एक अनंत वस्तु का प्रतिनिधित्व कंप्यूटर द्वारा नहीं किया जा सकता है। कुछ अर्थों में यह सच है, लेकिन दूसरे में यह नहीं है। हमें कभी भी एक संपूर्ण वास्तविक संख्या का प्रतिनिधित्व नहीं करना है , हमें केवल एक परिमित अनुमान की आवश्यकता हैअभिकलन के प्रत्येक चरण पर। इस प्रकार, हमें केवल एक प्रतिनिधित्व की आवश्यकता है जो किसी भी दिए गए सटीक तक एक वास्तविक प्रतिनिधित्व कर सकता है। बेशक, एक बार जब हम कंप्यूटर मेमोरी से बाहर निकलते हैं तो हम कंप्यूटर मेमोरी से बाहर निकल जाते हैं - लेकिन यह कंप्यूटर की एक सीमा है, न कि केवल प्रतिनिधित्व। यह स्थिति प्रोग्रामिंग में कई अन्य लोगों से अलग नहीं है। उदाहरण के लिए, लोग अजगर में पूर्णांक का उपयोग करते हैं और वे उन्हें "मनमाने ढंग से बड़े" के रूप में सोचते हैं, भले ही वे उपलब्ध स्मृति के आकार से अधिक नहीं हो सकते। कभी-कभी अनंत बहुत बड़े परिमित संख्या के लिए एक उपयोगी सन्निकटन है।

इसके अलावा, मैं अक्सर यह दावा सुनता हूं कि कंप्यूटर केवल गणना योग्य वास्तविक संख्याओं से निपट सकते हैं । यह दो महत्वपूर्ण बिंदुओं को याद करता है। सबसे पहले, कंप्यूटरों की बाहरी दुनिया से डेटा तक पहुंच है, इसलिए हमें यह भी (अपरिवर्तनीय) धारणा बनानी होगी कि बाहरी दुनिया के रूप में अच्छी तरह से कम्प्यूटेशनल है। दूसरा, हमें इस बात में अंतर करने की जरूरत है कि एक कंप्यूटर कौन से कंप्यूटरों की गणना कर सकता है और किन वास्तविकताओं का प्रतिनिधित्व कर सकता है। उदाहरण के लिए, यदि हम अंकों की धाराओं को वास्तविक के प्रतिनिधित्व के रूप में चुनते हैं, तो एक गैर-गणना योग्य वास्तविक का प्रतिनिधित्व करना पूरी तरह से संभव है : अगर किसी ने इसे हमें दिया तो हमें पता चलेगा कि इसका प्रतिनिधित्व कैसे करना है। लेकिन यदि हम अंकों को गणना करने वाले स्रोत कोड के टुकड़ों के रूप में वास्तविकताओं का प्रतिनिधित्व करते हैं, तो हम गैर-कम्प्यूटेशनल वास्तविकताओं का प्रतिनिधित्व नहीं कर सकते हैं, जाहिर है।

किसी भी मामले में, यह विषय कुछ और पढ़ने के साथ सबसे अच्छा है।

— प्रेमिका बाउर
स्रोत

+1 लेकिन मुझे इस बात पर आपत्ति होगी कि आप किसी सटीक परिमाण के बिना एक अनंत स्ट्रिंग का प्रतिनिधित्व नहीं कर सकते । निश्चित रूप से, आप जितनी चाहें उतनी सटीकता प्राप्त कर सकते हैं - जैसा कि आप एक तर्क द्वारा अनुमान लगा सकते हैं - लेकिन यह बिल्कुल नहीं है कि प्रश्न के लिए क्या पूछ रहा है। तर्क के बजाय, सवाल के साथ समस्या है।

— डेविड रिचेर्बी

2

मुद्दा यह है कि हम परिमित तारों का प्रतिनिधित्व नहीं कर रहे हैं। हम अनंत तारों के साथ प्रतिनिधित्व कर रहे हैं, लेकिन हमें केवल गणना के प्रत्येक चरण में इस तरह के अनंत स्ट्रिंग के परिमित हिस्से की आवश्यकता है। या इसे किसी अन्य तरीके से रखने के लिए: किसी भी प्रकार की पूर्वसूचनाओं का नुकसान नहीं होता है, क्योंकि डेटा संरचना पूरी जानकारी रखती है , लेकिन निश्चित रूप से आप एक ही बार में सभी सूचनाओं तक पहुंच या प्रक्रिया नहीं कर सकते हैं: डेटा संरचना आपको उतनी ही सटीकता प्रदान करती है जितना आप पूछते हैं। । अड़चन डेटा संरचना के पक्ष में नहीं है, बल्कि "उपभोक्ता" के पक्ष में है जो इसके बारे में जानकारी प्राप्त करना चाहते हैं।

— बाउर

@AndrejBauer लेकिन आपको कुछ मामलों में एक साथ सभी सूचनाओं को एक्सेस या प्रोसेस करना होगा , जैसे कि यह प्रतीकात्मक संगणना करता है, केवल अंकों के किसी अन्य स्ट्रीम के बजाय "सार" या मात्रा की प्रकृति को कैप्चर करके। यदि आप उस को सत्यापित करने के लिए एक प्रतीकात्मक संगणना पैकेज बताते हैं , तो यह तुरंत सच हो जाएगा। यदि आप उस विधि का उपयोग करते हैं जिसका आप वर्णन करते हैं, तो वर्गमूल के पहले अंक को ले कर , किसी भी आप अपने परिणाम के रूप में उस निष्कर्ष (किसी भी परिमित ) बराबर , गलत उत्तर। अभिकलन परिमित हैं।

{\sqrt{2}}^{2} = 2

$\sqrt{2}^2 = 2$

k

$k$

2

$2$

k

$k$

{\sqrt{2}}^{2} \neq 2

$\sqrt{2}^2 \ne 2$

k

$k$

1.99...

$1.99...$

— थॉमस

2

@ थोमस: प्रतीकात्मक अभिकलन वास्तविक संख्याओं का प्रतिनिधित्व नहीं करता है, लेकिन आमतौर पर वास्तविक के कुछ उपक्षेत्र, आमतौर पर प्राथमिक कार्यों और बहुपद की जड़ों द्वारा उत्पन्न होते हैं। ये उप-फ़ील्ड पूर्ण नहीं हैं (कॉची अनुक्रमों की सीमा के तहत बंद) और न ही पूरी तरह से पूर्ण (कॉची अनुक्रमों की गणना योग्य सीमाओं के तहत बंद)। एक प्रतिनिधित्व वास्तविक का प्रतिनिधित्व नहीं है जब तक कि आप सभी (कम्प्यूटेबल) वास्तविक का प्रतिनिधित्व नहीं कर सकते : और प्रतीकात्मक गणना इस स्थिति को विफल करती है।

— लेडी बाउर

1

गणनात्मकता के बारे में ये टिप्पणियां अप्रासंगिक हैं क्योंकि गणना योग्य वास्तविक गणना के लायक नहीं हैं।

— एंड्रेज बॉयर

7

कई प्रभावी परिमेय संख्या कार्यान्वयन हैं, लेकिन एक जिसे कई बार प्रस्तावित किया गया है और यहां तक कि कुछ अपरिमेय को भी अच्छी तरह से संभाल सकता है निरंतर खराबी ।

डैरेन सी। कोलिन्स द्वारा निरंतर अंशों का उद्धरण :

प्रमेय 5-1। - एक वास्तविक संख्या की निरंतर भिन्न अभिव्यक्ति परिमित है यदि और केवल तभी वास्तविक संख्या तर्कसंगत है।

मैथवर्ल्ड का उद्धरण - आवधिक निरंतर अंश

... एक निरंतर अंश आवधिक है यदि यह एक द्विघात बहुपद का मूल है।

अर्थात सभी जड़ों को समय-समय पर जारी भिन्नों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

Surprised के लिए एक एक्टेक्ट कंटिन्यूएटेड फ्रैक्शन भी है जिसने मुझे तब तक आश्चर्यचकित किया जब तक @AndrejBauer ने यह नहीं बताया कि यह वास्तव में नहीं है।

— OldCurmudgeon
स्रोत

π

$\pi$

π

$\pi$

जे। विलीमिन द्वारा कुछ समय पहले सटीक वास्तविक अंकगणित के कार्यान्वयन के लिए वास्तविक के निरंतर अंशों के प्रतिनिधित्व को प्रस्तावित किया गया था। यह पता चला है कि बहुत ही कुशल नहीं है क्योंकि संख्याएं बहुत जल्द बहुत बड़ी हो जाती हैं, और उनके आकार में कटौती करना मुश्किल है।

— बाउर

परिमेय संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए भी निरंतर अंशों में कुछ कम्प्यूटेशनल मुद्दे होते हैं - जबकि उन्हें तुलनात्मक रूप से वर्णक्रमीय क्रम का उपयोग करके तुलनात्मक रूप से जल्दी से तुलना की जा सकती है, और एकल जारी अंश में हेरफेर करना आसान होता है, दोनों (द्विआधारी) जोड़ और सीएफएफ में गुणा करना काफी जटिल ऑपरेशन हैं। लागू।

— स्टीवन स्टैडनिक 2

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टिप्पणियों में "सटीक वास्तविक" सुझावों की एक संख्या है (उदाहरण के लिए निरंतर भिन्न, रैखिक भिन्नात्मक रूपांतरण, आदि)। विशिष्ट पकड़ यह है कि जब आप किसी सूत्र के उत्तरों की गणना कर सकते हैं, तो समानता अक्सर अनिर्दिष्ट होती है।

हालांकि, यदि आप बीजगणितीय संख्याओं में रुचि रखते हैं, तो आप भाग्य में हैं: वास्तविक बंद क्षेत्रों का सिद्धांत पूर्ण, ओ-न्यूनतम और निर्णायक है। यह 1948 में टार्स्की द्वारा सिद्ध किया गया था।

लेकिन एक पकड़ है। आप टार्स्की के एल्गोरिथ्म का उपयोग नहीं करना चाहते हैं, क्योंकि यह जटिलता वर्ग NONELEMENTARY में है, जो अव्यवहारिक एल्गोरिदम के रूप में के रूप में अव्यावहारिक है। अधिक हाल के तरीके हैं जो DEXP के लिए जटिलता को प्राप्त करते हैं, जो कि वर्तमान में हम जानते हैं कि सबसे अच्छा है।

ध्यान दें कि समस्या NP- हार्ड है क्योंकि इसमें SAT शामिल है। हालाँकि, यह ज्ञात नहीं है (या माना जाता है) एनपी में होना चाहिए।

EDIT मैं इसे थोड़ा और समझाने की कोशिश करने जा रहा हूं।

इस सब को समझने की रूपरेखा एक निर्णय समस्या है जिसे संतुष्टि मोडुलो सिद्धांत या लघु के लिए एसएमटी के रूप में जाना जाता है। मूल रूप से, हम शास्त्रीय तर्क के शीर्ष पर बने सिद्धांत के लिए SAT को हल करना चाहते हैं।

तो हम पहले क्रम शास्त्रीय तर्क के साथ एक समानता परीक्षण के साथ शुरू करते हैं। कौन से फ़ंक्शन प्रतीक हम शामिल करना चाहते हैं और उनके स्वयंसिद्ध यह निर्धारित करते हैं कि सिद्धांत निर्णायक है या नहीं।

एसएमटी ढांचे में बहुत सारे दिलचस्प सिद्धांत व्यक्त किए गए हैं। उदाहरण के लिए, डेटा संरचनाओं के सिद्धांत हैं (उदाहरण के लिए, द्विआधारी पेड़, आदि) जो कार्यक्रमों को सही साबित करने में मदद करने के लिए उपयोग किए जाते हैं, और यूक्लिडियन ज्यामिति के सिद्धांत। लेकिन हमारे उद्देश्य के लिए, हम विभिन्न प्रकार की संख्या के सिद्धांतों को देख रहे हैं।

प्रेसबर्गर अंकगणित इसके अलावा प्राकृतिक संख्याओं का सिद्धांत है। यह सिद्धांत निर्णायक है।

पीनो अंकगणित जोड़ और गुणा के साथ प्राकृतिक संख्याओं का सिद्धांत है। यह सिद्धांत निर्णायक नहीं है, जैसा कि गोडेल ने सिद्ध किया है।

Tarski अंकगणित सभी क्षेत्र संचालन (इसके अलावा, घटाव, गुणन और विभाजन) के साथ वास्तविक संख्याओं का सिद्धांत है। दिलचस्प है, यह सिद्धांत निर्णायक है। यह उस समय एक अत्यधिक प्रति-सहज परिणाम था। आप मान सकते हैं कि क्योंकि यह "कठिन" प्राकृतिक संख्याओं का "सुपरसेट" है, लेकिन ऐसा नहीं है; उदाहरण के लिए, पूर्णांक पर रैखिक प्रोग्रामिंग के साथ परिमेय पर रैखिक प्रोग्रामिंग की तुलना करें।

यह स्पष्ट प्रतीत नहीं हो सकता है कि संतोषजनकता आप सभी की जरूरत है, लेकिन यह है। उदाहरण के लिए, यदि आप परीक्षण करना चाहते हैं कि 2 का धनात्मक वर्गमूल 3 के वास्तविक घनमूल के बराबर है या नहीं, तो आप इसे संतोषजनक समस्या के रूप में व्यक्त कर सकते हैं:

\exists x . x > 0 \land x^{2} - 2 = 0 \land x^{3} - 3 = 0

$\exists x. x>0 \wedge x^2 - 2 = 0 \wedge x^3 - 3 = 0$

$e^x$

$\sin$ $\{ \frac{x}{\pi} | \sin x = 0 \}$ $\sin$

$e^x$ $e^{ix}$

अल्फ्रेड टार्स्की (1948), एलीमेंटरी अलजेब्रा और ज्योमेट्री के लिए एक निर्णय विधि ।

— उपनाम
स्रोत

2

बहुपदों की जड़ों के रूप में उपचार करके, बीजगणितीय संख्याओं की एक बहुत बड़ी संख्या का प्रतिनिधित्व करना संभव है ।

$\pi$ $e$

— अधिक अक्ष
स्रोत

e

$e$

e^{i x}

$e^{ix}$

\sin

$\sin$

\cos

$\cos$

{x \in R | \sin x = 0}

$\{ x \in \mathbb{R} | \sin x = 0 \}$

@ पदनाम यह वास्तव में दिलचस्प लगता है, लेकिन मुझे नहीं लगता कि मेरे पास इसे ठीक से समझने के लिए गणितीय पृष्ठभूमि है ... "पूर्णांक के करीब" से आपका क्या मतलब है?

— अधिक कुल्हाड़ियों

मैं समझाने के लिए अपने उत्तर में संशोधन करने जा रहा हूं।

— छद्म नाम

1

$\pi$ $\sqrt2$

— lPlant
स्रोत

यह उत्तर गलत है। सटीक वास्तविक अंकगणित का एक पूरा क्षेत्र है जो बताता है कि कंप्यूटर द्वारा वास्तविक का प्रतिनिधित्व कैसे करें। यह धारणा कि एक वास्तविक को एक परिमित स्ट्रिंग द्वारा दर्शाया जाना चाहिए, गलत है। हम अनंत तारों का भी उपयोग कर सकते हैं। पहले से ही एलन ट्यूरिंग ने अपने पहले पेपर में इस बारे में लिखा था , जहाँ उन्होंने ट्यूरिंग मशीनों का आविष्कार किया था!

— प्रेमिका बाउर

क्या आप एक कागज से लिंक कर सकते हैं कि वास्तविक कंप्यूटर में तार को कैसे स्टोर और मैनिपुलेट किया जाए, क्योंकि यह वही होगा जो सवाल पूछा गया था। इसके अलावा यह उनका पहला पेपर नहीं था, पहला प्रकाशन 1936 का था, वह पेपर 1937 था।

— lPlant

आप सही कह रहे हैं कि यह 1937 का पेपर है। यह देखने के लिए कि अनंत तारों में हेरफेर कैसे किया जाता है, आप उदाहरण के लिए टीसीपी / आईपी प्रोटोकॉल को देख सकते हैं। मैंने कभी नहीं कहा कि पूरे वास्तविक को कंप्यूटर में संग्रहीत किया जाना चाहिए।

— लेडी बाउर

-1

आप कंप्यूटर में सभी वास्तविक संख्याओं का प्रतिनिधित्व नहीं कर सकते हैं, लेकिन आप कई का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं। आप ऐसे भिन्नों का उपयोग कर सकते हैं जो तैरने की तुलना में अधिक संख्या का प्रतिनिधित्व करेंगे। आप एक संख्या के साथ कुछ बहुपद की जड़ के रूप में संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने जैसी अधिक परिष्कृत चीजें भी कर सकते हैं कि न्यूटन विधि के तहत संख्या में परिवर्तित हो जाएगी।

— एलिस राइहल
स्रोत

यह फिर एक असत्य उत्तर है, अज्ञानता से उत्पन्न। सटीक वास्तविक अंकगणित का एक पूरा क्षेत्र है जो उपयुक्त डेटा संरचनाओं द्वारा सभी वास्तविकताओं का प्रतिनिधित्व करने का अध्ययन करता है ।

— बाउर

@AndrejBauer तो आप सुझाव दे रहे हैं कि एक डेटा संरचना है जो किसी भी वास्तविक संख्या का प्रतिनिधित्व कर सकती है? ऐसी किसी भी डेटा संरचना को किसी भी संख्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए बिट्स की बेशुमार अनंत राशि का उपयोग करना होगा।

— एलिस राइहल जूल

1

बिट्स की एक गणना योग्य राशि पर्याप्त होती है, सबसे पहले, और जब से आपको उन सभी की एक साथ आवश्यकता नहीं होती है, और न ही आप उन सभी को एक साथ संसाधित करने में सक्षम होते हैं, उन्हें समय के साथ-साथ अंतरिक्ष में भी संग्रहीत किया जा सकता है।

— बाउर

@AndrejBauer यह उत्तर सही है, और आपकी जैसी ही बात है, बहुत कम जानकारी के साथ। आप कंप्यूटर में सभी वास्तविक संख्याओं का प्रतिनिधित्व नहीं कर सकते । आप किसी भी वास्तविक संख्या का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं , लेकिन एक बार में ही नहीं। अगर कुछ भी, मैं विवाद करूंगा कि आप "कई" का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं, क्योंकि आप किसी भी कंप्यूटर में केवल बहुत से लोगों का ही प्रतिनिधित्व कर सकते हैं, और एक सामान्य कंप्यूटर में केवल लगभग कोई नहीं (गणितीय अर्थ में) जो सामान्य गणना मॉडल के बराबर है (ट्यूरिंग) मशीन बराबर)।

— गाइल्स का SO- बुराई का होना बंद करो '

-1

किसी भी संख्या का सटीक रूप से प्रतिनिधित्व करना संभव है जहां इनपुट को उन्हें संचालन की एक स्ट्रिंग के रूप में दर्शाया जाता है इसलिए, उदाहरण के लिए, आप के 1/3रूप में स्टोर करते हैं 1 divided by 3, संचालन को रद्द करने से आप सटीक जवाब देने के लिए अगले ऑपरेशन को सरल बना सकते हैं (1/3) * 3। यह उन स्थितियों को भी संभाल सकता है जहां आपने तर्कहीनता को जाना है जैसे कि πइसे अपनी गणना में बनाए रखकर।

हालाँकि, इसके लिए प्रत्येक संख्या के लिए स्मृति की बढ़ती मात्रा की आवश्यकता होती है और यह मान लेना कि आपका सरलीकरण सही नहीं है - संभवतः आपको उन मानों के लिए एक बढ़ती हुई राशि की आवश्यकता होगी जो आप बहुत काम कर रहे हैं।

— जैक आइडली
स्रोत

\sqrt{5 + 2 \sqrt{6}} - \sqrt{2} = \sqrt{3}

$\sqrt{5 + 2\sqrt{6}} - \sqrt{2} = \sqrt{3}$

वास्तव में। वास्तव में, यह पूरी तरह से सफलतापूर्वक स्वचालित रूप से प्रभावी रूप से असंभव है। हालाँकि, परिणाम सटीक रहता है, भले ही आपने सरलतम प्रतिनिधित्व का उपयोग न किया हो।

— जैक एडली