लन्दौ की शर्तों पर पुनर्विचार किया गया

मैंने पहले मिश्रित सफलता के साथ अंकगणित में गालियों के दुरुपयोग की आशंकाओं को दूर करने की कोशिश करते हुए , लांडऊ शब्दों के बारे में (बीज) सवाल पूछा ।

अब, यहाँ पर हमारे पुनरावृत्ति गुरु जेफ़ई अनिवार्य रूप से यह करते हैं:

$\qquad \displaystyle \sum_{i=1}^n \Theta\left(\frac{1}{i}\right) = \Theta(H_n)$

जबकि अंतिम परिणाम सही है, मुझे लगता है कि यह गलत है। क्यों? यदि हम निहित (केवल ऊपरी बाध्य) स्थिरांक के सभी अस्तित्व में जोड़ते हैं, तो हमारे पास है

$\qquad \displaystyle \sum_{i=1}^n c_i \cdot \frac{1}{i} \leq c \cdot H_n$ ।

अब हम कैसे गणना कर $c$ से $c_1, \dots, c_n$ ? जवाब है मुझे विश्वास है, कि हम नहीं कर सकते: $c$ करने के लिए सभी के लिए बाध्य किया गया है $n$ लेकिन हम मिल अधिक $c_i$ के रूप में $n$ बढ़ता है। हम उनके बारे में कुछ नहीं जानते; $c_i$ बहुत अच्छी तरह से पर निर्भर हो सकता है $i$ , इसलिए हम एक बद्ध मान नहीं सकते हैं: एक परिमित $c$ मौजूद नहीं हो सकता है।

इसके अलावा, यह सूक्ष्म मुद्दा है कि बाएं हाथ की तरफ अनंत किस चर पर जाता है - या ? दोनों? यदि (अनुकूलता के लिए), क्या का अर्थ है , जानते हुए भी कि ? क्या इसका मतलब केवल ? यदि हां, तो हम से बेहतर योग बाध्य नहीं कर सकते हैं । $i$ $n$ $n$ $\Theta(1/i)$ $1 \leq i \leq n$ $\Theta(1)$ $\Theta(n)$

तो वह हमें कहां छोड़ता है? यह एक गंभीर गलती है? एक सूक्ष्म एक? या क्या यह केवल संकेतन का सामान्य दुरुपयोग है और हमें इस संदर्भ से बाहर जैसे संकेत नहीं दिखना चाहिए ? क्या हम लैंडओ की शर्तों को हटाने (निश्चित) करने के लिए (कड़ाई से) सही नियम तैयार कर सकते हैं? $=$

मुझे लगता है कि मुख्य प्रश्न यह है: क्या ? हम इसे निरंतर (यह मानते हैं है योग के दायरे के अंदर) हम आसानी से जवाबी उदाहरण बना सकते हैं। यदि यह स्थिर नहीं है, तो मुझे नहीं पता कि इसे कैसे पढ़ा जाए। $i$

terminology asymptotics landau-notation

— राफेल
स्रोत

Math.SE पर यह प्रश्न सामान्य रूप से लैंडौ शर्तों के साथ अंकगणित के बारे में एक अच्छा पढ़ा है।

— राफेल

\in

$\in$

Θ

$\Theta$

c = min (c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n})

$c = \min(c_1, c_2, \cdots, c_n)$

C = max (c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n})

$C = \max(c_1, c_2, \cdots, c_n)$

वहाँ पर लटका, बकी। मैंने इसमें थीटा के साथ कोई समन नहीं लिखा। मैंने इसमें एक थीटा के साथ एक पुनरावृत्ति लिखी। क्या आप वास्तव में पुनरावृत्ति की व्याख्या " " के अलावा किसी अन्य चीज़ के रूप में करते हैं, " कोई फ़ंक्शन ऐसा कि "?

t (n) = Θ (1 / n) + t (n - 1)

$t(n) = \Theta(1/n) + t(n-1)$

f \in Θ_{x \to \infty} (x \mapsto 1 / x)

$f \in \Theta_{x\to \infty}(x\mapsto 1/x)$

t (n) = f (n) + t (n - 1)

$t(n) = f(n) + t(n-1)$

— जेफ

@ राफेल नहीं, पुनरावृत्ति गणितीय रूप से योग के समान नहीं है , ठीक उसी कारण से जिसका आप वर्णन करते हैं! पुनरावृत्ति के पास वास्तव में एक थीटा शब्द है, जो स्पष्ट रूप से एकल फ़ंक्शन को संदर्भित करता है।

— जेफ

यह बहुत सहज नहीं है - मैं दृढ़ता से असहमत हूं, लेकिन मुझे लगता है कि यह स्वाद और अनुभव की बात है।

— जेफ

जवाबों:

निम्नलिखित सम्मेलन में मुझे सही लगता है:

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \Theta(1/k)$ लिए सुविधाजनक अंकन है

वहाँ एक (जैसे ) है $f(x) \in \Theta(1/x)$ $x \to \infty$

$S_n = \sum_{k=1}^{n} f(k)$ ।

इस प्रकार (या इस उत्तर में संकेतन के साथ ) आपको मिलता है, वास्तव में पर निर्भर नहीं हैं । $c_i$ $c_k$ $k$

इस व्याख्या के तहत, यह वास्तव में सही है कि । $S_n = \Theta(H_n)$

वास्तव में, जेफ के जवाब में, वह दिखाता है कि जहां , इसलिए यह उपरोक्त व्याख्या के अनुरूप है। $T(k+1) = f(k) + T(k)$ $f \in \Theta(1/k)$

भ्रम की स्थिति मानसिक रूप से "unrolling" से उत्पन्न होने वाली प्रतीत हो रहा है और से प्रत्येक घटना के लिए विभिन्न कार्यों मानते हुए ... $\sum$ $\Theta$

— आर्यभट्ट
स्रोत

Jup, लेकिन हर कर सकते हैं अपने स्वयं के समारोह, और निरंतर है। इसलिए यह अधिवेशन केवल संदर्भ के साथ काम करता है, अगर हम जानते हैं कि लांडऊ शब्द कुछ हद तक "वर्दी" ( और ) की परिभाषा से उपजा है।

Θ

$\Theta$

k

$k$

n

$n$

— राफेल

@ राफेल: यह अनियंत्रित करने के लिए अर्थहीन लगता है और फिर अलग-अलग अनुमति देता है : स्थिरांक तब चर पर निर्भर करेगा! और यह वैरिएबल (या उपरोक्त उत्तर में ) है , यह मानते हुए का गलत उपयोग हो जाता है । भले ही हम मान लें कि चर , फिर भी यह मेरे लिए अर्थहीन है।

f_{i}

$f_i$

Θ

$\Theta$

Θ

$\Theta$

i

$i$

k

$k$

n

$n$

— आर्यभट्ट

सिद्धांत रूप में, हर अपने स्वयं के निरंतर हो सकता है, लेकिन विशेष रूप से संदर्भ आप का वर्णन में , यह स्पष्ट है कि हर करता नहीं अपनी ही निरंतर है।

Θ

$\Theta$

Θ

$\Theta$

— जेफ

@ जेफ: सही। हम अपने स्वयं के स्थिरांक के साथ कई हो सकते हैं , जब तक कि स्थिरांक वास्तव में स्थिर होते हैं :-)

Θ

$\Theta$

— आर्यभट्ट

@JeffE तो आप सिर्फ इसलिए क्यों नहीं लिखते कि आपका क्या मतलब है बल्कि कुछ अस्पष्ट / गलत पसंद करते हैं? ध्यान दें कि मेरा अद्यतन उत्तर अब ऐसा करने का एक तरीका प्रस्तावित करता है। मैं उस पर टिप्पणियों की सराहना करता हूं; बिना किसी कारण के डाउनवोट्स मुझे यह समझने में मदद नहीं करते हैं कि लोग मेरी बात को अस्वीकार क्यों करते हैं।

— राफेल

मुझे लगता है कि मैंने समस्या को कम कर दिया है। संक्षेप में: लांडौ शब्दों का उपयोग करने से समन फंक्शन के वेरिएबल का योग चल रहे वेरिएबल से कम हो जाता है। हम अभी भी (उन्हें) समान के रूप में पढ़ना चाहते हैं, हालांकि, इसलिए भ्रम।

इसे औपचारिक रूप से विकसित करने के लिए, क्या करता है

$\qquad \displaystyle S_n \in \sum_{i=1}^n \Theta(f(i)) \qquad \qquad\qquad (1)$

वास्तव में अभिप्राय? अब मुझे लगता है कि इन चलो - नहीं - अनंत को; अगर हम जाने देते हैं , तो हर ऐसी राशि मूल्यांकन करती है (यदि सारांश स्वतंत्र है और इसलिए निरंतर है) जो स्पष्ट रूप से गलत है। यहां एक पहला सस्ता तरीका है कि हम चीजों को क्रूड करते हैं: योग के अंदर बाध्य (और स्थिर) , लेकिन हम अभी भी इसे अनंत तक जाने देते हैं? $\Theta$ $i$ $n$ $n \to \infty$ $\Theta(n)$ $n$ $i$

अनुवाद करना (ऊपरी सीमा के लिए, निचली सीमा समान रूप से काम करती है), हमें मिलती है $(1)$

$\qquad \displaystyle \exists f_1, \dots, f_n \in \Theta(f).\ S_n \leq \sum_{i=1}^n f_i(i)$

अब यह स्पष्ट है कि योग- और पैरामीटर- को गया है: हम आसानी से को परिभाषित कर सकते हैं ताकि वे एक स्थिरांक के रूप में उपयोग करें । प्रश्न से उदाहरण में, हम और परिभाषित कर सकते हैं और $i$ $i$ $f_i$ $i$ $f_i(j) = i \cdot \frac{1}{j} \in \Theta(1/j)$

$\qquad \displaystyle \sum_{i=0}^n f_i(i) "=" \sum_{i=0}^n \Theta(1/j) = \sum_{i=0}^n \Theta(1/i)$

लेकिन मूल योग स्पष्ट रूप से में कुछ का मूल्यांकन नहीं करता है । अब लिए आदान-प्रदान करना - जो केवल एक नामकरण है - in अजीब लग सकता है क्योंकि सम्मान से स्वतंत्र नहीं । योग, लेकिन अगर हम उस पर आपत्ति अब , हम इस्तेमाल किया है कभी नहीं करना चाहिए अंदर पहली जगह में (जो के रूप में ही विचित्रता रखती है)। $\Theta(H_n) = \Theta(\log n)$ $j$ $i$ $\Theta$ $i$ $n$ $i$ $\Theta$

ध्यान दें कि हमने यह भी शोषण नहीं किया कि पर भी निर्भर हो सकता है । $f_i$ $n$

निष्कर्ष निकालने के लिए, प्रस्तावित पहचान फर्जी है। निश्चित रूप से, हम इस तरह के कठोर गणना के संक्षिप्त नाम के रूप में पढ़ने के लिए सम्मेलनों पर सहमत हो सकते हैं। हालांकि, इस तरह के सम्मेलन लांडऊ शब्दों की परिभाषा के साथ असंगत होंगे (साथ में उनके साथ सामान्य दुर्व्यवहार), संदर्भ और भ्रामक के लिए सही ढंग से समझने के लिए असंभव (शुरुआती के लिए) कम से कम - लेकिन यह अंततः स्वाद (और क्रूरता) का मामला है। ?)।

मेरे साथ यह हुआ कि हम वास्तव में वही लिख सकते हैं जिसका अर्थ है और अभी भी लांडऊ शब्दों की सुविधा का उपयोग करते हैं। हम जानते हैं कि सभी सम्मन एक सामान्य कार्य से आते हैं, जिसका अर्थ है कि विषम सीमाएं एक ही स्थिरांक का उपयोग करती हैं। जब हम को योग में रखते हैं तो यह खो जाता है। तो आइए हम इसे वहां न डालें और लिखें $\Theta$

$\qquad \displaystyle \sum_{i=1}^n \frac{2i - 1}{i(i+1)} \in \Theta\left(\sum_{i=1}^n \frac{1}{i}\right) = \Theta(H_n)$

बजाय। योग के बाहर डालने से परिणाम सामने आता है $\Theta$

गणितीय रूप से सही कथन और
एक सरल अवधि के अंदर हम आसानी के साथ सौदा कर सकते हैं (जो हम यहाँ चाहते हैं, है ना?)। $\Theta$

तो मुझे ऐसा लगता है कि यह मामला सही लिखने का एक सही और उपयोगी तरीका है, और इसलिए राशि के अंदर Landau प्रतीकों का उपयोग करने पर प्राथमिकता दी जानी चाहिए, जब हम उन्हें इसके बाहर मतलब रखते हैं ।

— राफेल
स्रोत

पर विचार करें । मैं ( को एक स्थिर के रूप में उपयोग कर सकता हूं) को परिभाषित कर सकता हूं , इसलिए आपके तर्क से, सही है? लेकिन यह योग ।

\sum_{i}^{n} i

$\sum_i^n i$

f_{i} (n) = i

$f_i(n)=i$

i

$i$

\sum_{i}^{n} i = \sum_{i}^{n} O (1) = O (n)

$\sum_i^n i = \sum_i^n O(1) = O(n)$

O (n^{2})

$O(n^2)$

— १

@Xodarap: मेरे तर्क से, इस तरह योग गिर नहीं काम करते हैं, क्योंकि युग्मन करता भीतरी रों (जो के लिए युग्मित नहीं कर रहे हैं और न ही करने के लिए) है अर्थ बदल जाते हैं।

Θ

$\Theta$

i

$i$

n

$n$

n

$n$

— राफेल

मैं उन्हें युग्मित नहीं कर रहा हूँ, मैं बस इस तथ्य का उपयोग कर रहा हूँ कि । (और मैं भी इस तथ्य को मान कि ।)

n

$n$

\sum_{i}^{n} k = n k

$\sum_i^n k = nk$

n O (f) = O (n f)

$nO(f)=O(nf)$

— Xodarap

@Xodarap: लेकिन आपके पास एक नहीं है , बल्कि एक प्रति सारांश है। अंतर्निहित कार्यों हैं का उपयोग (एक निरंतर कारक के रूप में), आप विस्तार करने के लिए है कि, और सही किया जा रहा राशि समाप्त हो जाती है। तो, स्पष्ट रूप से, मेरे तर्क नियम से आप प्रस्ताव करते हैं कि आप लिखते हुए काम नहीं करते हैं।

f

$f$

f_{i}

$f_i$

f_{i}

$f_i$

i

$i$

— राफेल

अगर मेरे पास अनुक्रम है , तो इनमें से प्रत्येक (बशर्ते वे श्रृंखला प्रगति के रूप में नहीं )। क्या आप कहेंगे कि उनमें से जोड़ने से योग होगा ? यदि मैं स्थिरांक के बजाय निरंतर कार्यों के रूप में वर्णन करता हूं तो क्या अंतर है ?

5, 1, 3, 2, \dots

$5,1,3,2,\dots$

O (1)

$O(1)$

n

$n$

O (n)

$O(n)$

f_{1} (x) = 5, f_{2} (x) = 1, \dots

$f_1(x)=5,f_2(x)=1,\dots$

— 14

-1

यदि प्रत्येक एक स्थिरांक है, तो कुछ ऐसा है कि । तो स्पष्ट रूप से समान विचार थोड़ा ओ। $c_i$ $c_{max}$ $\forall c_i: c_i\leq c_{max}$

\sum c_{i} f (i) \leq \sum c_{m a x} f (i) = c_{m a x} \sum f (i) = O (\sum f (i))

$\sum c_i f(i) \leq \sum c_{max} f(i) = c_{max} \sum f(i) = O\left(\sum f(i)\right)$

मुझे लगता है कि यहाँ समस्या यह है कि । यह (चूंकि कोई जैसे कि ), इसलिए समग्र योग । और प्रत्येक पद , जिसका अर्थ है समग्र योग । तो इस विधि से कोई तंग सीमा नहीं पाई जा सकती है। $1/i\not=\Theta(1)$ $o(1/n)$ $\epsilon$ $\forall i: 1/i>\epsilon$ $no(1/n)=o(1)$ $O(1)$ $O(n)$

मुझे लगता है कि आपके प्रश्न हैं:

क्या प्रत्येक पद के छोटे o और प्रत्येक पद के बड़े o को स्वीकार्य द्वारा गुणा करने पर किया जाता है? (उत्तर: हां) $\sum_i^n f(i)$ $n$
क्या कोई बेहतर तरीका है? (उत्तर: ऐसा नहीं है कि मुझे पता है।)

उम्मीद है कि कोई और # 2 उत्तर स्पष्ट रूप से दे सकता है।

संपादित करें: आपके प्रश्न को फिर से देखते हुए, मुझे लगता है कि आप पूछ रहे हैं

$\sum_i^n \Theta(f(n)) = \Theta(nf(n))$ ?

जिसका जवाब हां में है। इस मामले में हालांकि, प्रत्येक शब्द नहीं है , ताकि दृष्टिकोण अलग हो जाता है कुछ भी की। $\Theta$

EDIT 2: आप कहते हैं कि " पर विचार करें , तो कोई "। असमान सच है। आप का कहना है कि अगर की एक गैर निरंतर कार्य है , तो यह परिभाषा, गैर निरंतर द्वारा, है। $c_i=i$ $c_{max}$ $c_i$ $i$

ध्यान दें कि यदि आप इसे इस तरह परिभाषित करते हैं, तो is , यह । वास्तव में, अगर आप "निरंतर" परिभाषित करें "के किसी भी समारोह मतलब करने के लिए ", तो के किसी भी दो कार्य एक "निरंतर" से भिन्न होते हैं! $c_i i$ $\Theta(i)$ $\Theta(i^2)$ $i$ $i$

शायद यह सोचने का एक आसान तरीका है: हमारे पास अनुक्रम । इस क्रम में सबसे छोटा शब्द क्या है? खैर, यह पर निर्भर करेगा । इसलिए हम शर्तों को स्थिर नहीं मान सकते। $1,\frac{1}{2},\dots,\frac{1}{n}$ $n$

(कंप्यूटर वैज्ञानिक अक्सर बड़े-ओ के साथ अधिक परिचित होते हैं, इसलिए यह पूछने के लिए अधिक सहज हो सकता है कि क्या में निरंतर सबसे बड़ा कार्यकाल है।) $1,\dots,n$

अपना प्रमाण प्रदान करने के लिए: को श्रेणी में का सबसे छोटा मान दें । उसके बाद $f(i_{min})$ $f(i)$ $1,\dots,n$

\sum_{i}^{n} f (i) \geq \sum_{i}^{n} f (i_{m i n}) = n f (i_{m i n}) = n o (f (n))

$\sum_i^n f(i) \geq \sum_i^n f(i_{min}) = n f(i_{min}) = n o(f(n))$

ऊपरी सीमा के लिए एक अनुरूप प्रमाण बनाया जा सकता है।

अन्त में, आप लिखते हैं कि और प्रमाण के रूप में । यह वास्तव में एक काउंटर-प्रूफ है: यदि से "बड़ा" है , तो यह तुलना में "छोटा" नहीं हो सकता है , जो कि इसके लिए होना आवश्यक है । तो यह नहीं हो सकता । $H_n = o(n)$ $H_n = \Theta(\log n)$ $H_n$ $n$ $\log n$ $\Theta(\log n)$ $o(n)$

— Xodarap
स्रोत

1) ".. फिर कुछ ऐसा है कि ..." - नहीं, वहाँ नहीं है। विचार करें साथ । 2) "मुझे नहीं लगता कि " - 3) । यह - यह गलत है। जैसा कि , । 4) "(उत्तर: हां)" - जब तक मुझे उस तथ्य का औपचारिक प्रमाण नहीं दिखता, मुझे विश्वास नहीं होता। इसके अलावा, " द्वारा गुणा करना " वह नहीं है जो प्रदर्शित मामले में हुआ।

c_{m a x}

$c_{max}$

(c_{i})_{i \in N}

$(c_i)_{i \in \mathbb{N}}$

c_{i} = i

$c_i = i$

H_{n} = o (n)

$H_n=o(n)$

H_{n} \in Θ (\ln n)

$H_n \in \Theta(\ln n)$

1 / i \neq Θ (1)

$1/i\not=\Theta(1)$

o (1 / n)

$o(1/n)$

1 / i \geq 1 / n

$1/i \geq 1/n$

1 / i \in Ω (1 / n)

$1/i \in \Omega(1/n)$

n

$n$

— राफेल

मेरी समझ है कि आप मुद्दे को भूल रहे हें। आपका प्रमाण काम नहीं करता है क्योंकि हमारे पास प्रत्येक समन में समान नहीं हो सकता है , और समान समैंड के लिए समान नहीं है लेकिन अलग-अलग । मुझे लगता है कि मैं इसे नीचे nailed; मैं शीघ्र ही उत्तर लिखूंगा।

f

$f$

n

$n$

— राफेल

मुझे अभी भी समझ में नहीं आ रहा है कि आप क्या कह रहे हैं, इसलिए मुझे खुशी है कि आपने इसे समझ लिया है :-)

— Xodap