तुल्यता संबंध कवर की समस्या (ग्राफ सिद्धांत में)

Question

एक परिमित शीर्ष सेट पर एक तुल्यता संबंध एक अप्रत्यक्ष ग्राफ द्वारा दर्शाया जा सकता है जो कि एक अप्रतिबंधित संघ है। शीर्ष सेट तत्व का प्रतिनिधित्व करता है और एक किनारे दर्शाता है कि दो तत्व बराबर हैं।

अगर मैं एक ग्राफ है और रेखांकन जी 1 , ... , जी कश्मीर , हम कहते हैं कि जी द्वारा कवर किया जाता जी 1 , ... , जी कश्मीर अगर के किनारों के सेट जी के किनारों के सेट के मिलन के बराबर है जी 1 , … , जी के । के किनारे सेट जी 1 , ... , जी कश्मीर संबंध तोड़ना होने की जरूरत नहीं है। ध्यान दें कि कोई भी अप्रत्यक्ष ग्राफ $G$$G_1,\dots,G_k$$G$$G_1,\dots,G_k$$G$$G_1,\dots,G_k$$G_1,\dots,G_k$$G$ समतुल्य संबंधों की सीमित संख्या द्वारा कवर किया जा सकता है (यानी, क्लोन ग्राफ़ के असंतुष्ट संघ)।

मेरे पास कई प्रश्न हैं:

• एक ग्राफ को कवर करने के लिए आवश्यक समतुल्य संबंधों की न्यूनतम संख्या के बारे में क्या कहा जा सकता है ?$G$
• हम इस न्यूनतम संख्या की गणना कैसे कर सकते हैं?
• हम एक स्पष्ट न्यूनतम कवर की गणना कैसे कर सकते हैं , अर्थात, समतुल्य संबंधों का एक सेट जिसका आकार न्यूनतम है और जो जी को कवर करता है ?$G$$G$
• क्या इस समस्या के पास विभाजन तर्क के अलावा कोई एप्लिकेशन है ( सबसेट के तर्क का दोहराव )?
• क्या इस समस्या का एक सुस्थापित नाम है?

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टिप्पणियों द्वारा इंगित विभिन्न गलतफहमियों को देखते हुए, इन अवधारणाओं को चित्रित करने के लिए यहां कुछ चित्र हैं। यदि आपके पास शब्दावली को समझने में आसान के लिए एक विचार है ("कवर" के बजाय, "समतुल्यता संबंध", "क्लोनों का संघ से जुड़ाव" और "जरूरी नहीं कि असहमति" बढ़त सेटों के संघ), तो मुझे बताने के लिए स्वतंत्र महसूस करें।

यहाँ एक चित्र और इसे सम्‍मिलित करने वाले एक सम्‍बन्‍ध का चित्र दिया गया है:

यहाँ एक चित्र और दो समतुल्य संबंधों को कवर करते हुए एक चित्र दिया गया है:
यह बहुत स्पष्ट होना चाहिए कि कम से कम दो समतुल्य संबंधों की आवश्यकता है।

यहां एक ग्राफ और तीन समतुल्य संबंधों की एक तस्वीर है जो इसे कवर करती है:
यह कम स्पष्ट है कि कम से कम तीन समकक्ष संबंधों की आवश्यकता है। लॉजिक ऑफ सब्सक्रिप्शन के दोहरे से लेम्मा 1.9 का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि यह सच है। दो से अधिक इनपुट के साथ नंद संचालन के लिए इस लेम्मा का सामान्यीकरण इस प्रश्न के लिए प्रेरणा था।

Comments

यह एक प्रसिद्ध एनपी-पूर्ण समस्या है। en.wikipedia.org/wiki/Clique_cover_problem

— गार्डेन

@StephenBly शायद यह एक अच्छी तरह से ज्ञात समस्या है, लेकिन आपके द्वारा दिया गया विकिपीडिया लिंक वास्तव में मेरी मदद नहीं करता है। लेख एक शीर्ष कवर समस्या के बारे में बात करता है, लेकिन यहां सवाल बढ़त कवर समस्या से संबंधित है। यह भी ध्यान दें कि एक समतुल्यता का संबंध एक गुट नहीं है, बल्कि गुटों का एक अलग संघ है।

— थॉमस क्लिम्पेल

आप क्या कहते हैं कि समतुल्यता का संबंध गुटों का एक अलग संघ है? शीर्ष सेट तत्व का प्रतिनिधित्व करता है और एक किनारे दर्शाता है कि दो तत्व बराबर हैं। यदि वह प्रतिनिधित्व नहीं है जो आप उपयोग कर रहे हैं तो आपको इसे स्पष्ट करना चाहिए।

— बागीचा

$n-1$$n$$n-1$

@YuvalFilmus यह सवाल समतुल्य संबंधों की कम से कम संख्या के बारे में पूछता है जिनका संघ दिए गए ग्राफ के किनारे का संबंध है, न कि जिनके संघ में केवल दिए गए ग्राफ शामिल हैं।

— डेविड रिचेर्बी

Answer 1

$\text{eq}(G)$$\text{cc}(G)$

विशेष ग्राफ कक्षाएं हैं, जहां किसी भी संख्या के लिए सटीक मान या अच्छी ऊपरी सीमा ज्ञात है। सामान्य तौर पर, मेरे ज्ञान का सबसे अच्छा करने के लिए, एलोन द्वारा सर्वोत्तम सीमाएं दी गई हैं:

$$\log_2 n - \log_2 d \leq \text{eq}(G) \leq \text{cc}(G) \leq 2e^2 (\Delta+1)^2 \ln n,$$

$\Delta$$G$$\lceil n^2/4 \rceil$

$\sf NP$$\text{eq}(G)$$\sf NP$

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[१] अलोन, नोगा। "समतुल्य संबंधों की न्यूनतम संख्या के आधार पर रेखांकन।" कॉम्बिनेटरिका 6.3 (1986): 201-206।

[२] ब्लोकहिस, आरट, और टन क्लॉक्स। "समतुल्यता पर स्प्लिट्स की संख्या।" सूचना प्रसंस्करण पत्र 54.5 (1995): 301-304।

[३] कुएसेरा, लुडेक, जारोस्लाव नेसेटिल, और एलेस पुल्ट्र। "रेखांकन की आयाम तीन और कुछ संबंधित बढ़त-कवरिंग विशेषताओं की जटिलता।" सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान 11.1 (1980): 93-106।

Comments

[1] से कोरोलरी 1.3 ठीक वही है जो मुझे चाहिए था (उस संस्करण में जो किसी पथ के पूरक पर लागू होता है)। अब मेरे पास सामान्य निहितार्थ के बारे में कागज न लिखने का एक बहाना है "(ए, बी, सी, ...) मतलब (जेड, वाई, एक्स, ...)" (विभाजन में सीक्वेंस कैलकुलस से अनुक्रम) तर्क और समान गैर-क्लासिक लॉजिक्स। लेकिन मुझे लगता है कि मैं इसे कम से कम एक और आधे साल के लिए नहीं लिखूंगा। और शायद मुझे इस बीच एक नया बहाना भी मिल जाए।

— थॉमस क्लिंपेल

@ThomasKlimpel यह बहुत अच्छा है! (इस तथ्य पर नहीं कि आपको एक नया बहाना मिल सकता है, लेकिन यह मददगार था :-))

— जुहो

Answer 2

हालाँकि मुझे ऐसी समस्या का नाम नहीं पता है, फिर भी मैं यह समस्या बता सकता हूँ कि यह एनपी-हार्ड है।

एक त्रिभुज मुक्त ग्राफ के लिए, सभी समतुल्य वर्गों का मिलान होना चाहिए। समतुल्य वर्गों की न्यूनतम संख्या जो ग्राफ़ को कवर करती है, ग्राफ़ के क्रोमैटिक इंडेक्स के बराबर होती है।

इस लेख के अनुसार , त्रिभुज मुक्त ग्राफ के लिए वर्णक्रमीय सूचकांक एनपी-पूर्ण है।