प्राकृतिक संख्या रैखिक प्रणालियों को हल करने के लिए क्या एल्गोरिदम मौजूद हैं?

Question

मैं निम्नलिखित समस्या देख रहा हूँ:

दिया हुआ $n$प्राकृतिक संख्या के आयामी वैक्टर $v_1, \ldots, v_m$ और कुछ इनपुट वेक्टर $u$, है $u$ का एक रैखिक संयोजन $v_i$प्राकृतिक संख्या गुणांक के साथ?

यानी कुछ हैं $t_1, \ldots, t_m \in \mathbb{N}$ कहाँ पे $u = t_1 v_1 + \dots + t_m v_m$?

स्पष्ट रूप से इस समस्या का वास्तविक-संख्या संस्करण गाऊसी उन्मूलन का उपयोग करके हल किया जा सकता है। मैं सोच रहा हूँ, क्या इस समस्या के पूर्णांक संस्करण का अध्ययन किया गया है? इसे हल करने के लिए क्या एल्गोरिदम मौजूद हैं?

ध्यान दें कि यह प्राकृतिक संख्याओं का उपयोग कर रहा है, लेकिन मॉड्यूलर अंकगणित नहीं है, इसलिए यह चीनी रेमिनेटर थ्योरम और उस जैसी प्रणालियों से कुछ अलग है। इसके अलावा, यह डायोफैंटाइन समीकरणों से संबंधित लगता है, लेकिन मैं सोच रहा हूं कि उस मामले में क्या किया गया है जहां केवल गैर-नकारात्मक पूर्णांक माना जाता है? यह एक बहु-आयामी सबसेट-सम समस्या की याद दिलाता है, जो हमें प्रत्येक वेक्टर की मनमानी संख्या लेने की अनुमति देने के लिए सामान्यीकृत है। यह परीक्षण से संबंधित भी लगता है कि क्या$u$द्वारा निर्मित जाली का एक तत्व है$v_1,\dots,v_m$, सिवाय इसके कि यहां हम केवल गैर-नकारात्मक गुणांक वाले रैखिक संयोजनों की अनुमति देते हैं।

रुचि रखने वाले किसी भी व्यक्ति के लिए, यह देखने के लिए प्रेरित होता है कि क्या पारिख वेक्टर रेखीय सेट में है, जैसा कि पारिख के प्रमेय में है ।

विशेष रूप से, मैं एक एल्गोरिथ्म में दिलचस्पी रखता हूं जो केवल प्राकृतिक संख्या संचालन का उपयोग करके समस्या को हल कर सकता है, जो वास्तविक / अस्थायी बिंदु संख्या में जाने से बचता है।

Comments

हां, पूर्णांक संस्करण (और विभिन्न रिंग थेरैटिक संस्करण) का अध्ययन किया गया है। पूर्णांक संस्करण को गौसियन उन्मूलन द्वारा हल किया जा सकता है। प्राकृतिक संख्या संस्करण एक अलग जानवर है। मेरी भावना है कि यह एनपी-पूर्ण होना चाहिए।

— थॉमस क्लिम्पेल

यदि यह गाऊसी उन्मूलन द्वारा हल किया जाता है तो यह एनपी-पूर्ण कैसे हो सकता है? मुझे अब भी इसके लिए एल्गोरिदम में दिलचस्पी है, भले ही यह एक अंतरंग समस्या है।

— jmite

यह भी ध्यान दें कि मैं जिस समस्या को देख रहा हूं, वह सिस्टम अंडर-निर्धारित हो सकता है, अर्थात $m < n$। यकीन नहीं होता कि यह इसे कैसे बदलता है।

— jmite

Answer 1

आपकी समस्या एनपी-पूर्ण है, सबसेट सम से घटाकर (यह एनपी में इस तथ्य के बाद से है कि सब कुछ गैर-नकारात्मक है समाधान के गुणांकों को पर्याप्त रूप से अच्छी तरह से सीमाबद्ध करता है)। एक उदाहरण दिया$S = \{s_1,\ldots,s_n\}, T$ सबसेट सम का (वहाँ एक सबसेट है $S$ के लिए योग $T$;), हम एक उदाहरण का निर्माण करते हैं $v_1,\ldots,v_{2n},u$आपकी समस्या इस प्रकार है। प्रत्येक के लिए$1 \leq i \leq n$, हम डालते है $v_i$ दो गैर-शून्य प्रविष्टियों के साथ वेक्टर होना: $v_{i,i} = 1$ तथा $v_{i,n+1} = s_i$, तथा $v_{n+i}$ एक अद्वितीय गैर-शून्य प्रविष्टि के साथ वेक्टर होना $v_{n+i,i} = 1$। लक्ष्य वेक्टर है$u=1,\ldots,1,T$। के प्रत्येक प्राकृतिक संयोजन$v_1,\ldots,v_{2n}$ के बराबर $1,\ldots,1,\ast$ प्रत्येक में से एक का चयन अवश्य करें $v_i,v_{n+i}$, और इसलिए का एक सबसेट सांकेतिक शब्दों में बदलना $S$ जिसकी राशि अंतिम घटक का मान है।

Comments

दिलचस्प। क्या आप इस प्रमाण के साथ आए हैं, या क्या आपके पास इसके लिए कोई संदर्भ है जिसे मैं उद्धृत कर सकता हूं? किसी भी तरह, धन्यवाद!

— jmite

@ जेमाइट मैं अभी सबूत के साथ आया हूं, हालांकि मैं इसे देख पाने से इनकार नहीं कर सकता।

— युवल फिल्मस