साबित करें कि हर दो सबसे लंबे रास्तों में कम से कम एक शिखर आम है

Question

एक ग्राफ तो जुड़ा हुआ है और की तुलना में एक अधिक से अधिक लंबाई के साथ कोई रास्ता है कश्मीर , साबित होता है कि हर दो रास्ते जी लंबाई की कश्मीर आम में कम से कम एक शिखर है। $G$$k$$G$$k$

मुझे लगता है कि आम रास्ता दोनों रास्तों के बीच में होना चाहिए। क्योंकि अगर ऐसा नहीं है तो हम लंबाई का रास्ता पा सकते हैं । क्या मैं सही हू?$>k$

Comments

एक निर्देशित ग्राफ़ के लिए काउंटरएक्सप्लिमेंट जो दृढ़ता से जुड़ा नहीं है: कोने , किनारों A → C , A → D , B → D , पथ A → C और B → D का कोई सामान्य शीर्ष नहीं है। $A,B,C,D$$A \to C$$A \to D$$B \to D$$A \to C$$B \to D$

— sdcvvc

@ sdcvvc, आप इसे उत्तर के रूप में प्रदान कर सकते हैं।

@sdcvvc मुझे लगता है कि प्रश्न अप्रत्यक्ष रेखांकन तक ही सीमित है।

— राफेल

क्या आप इस बात की पुष्टि (या पुष्टि) कर सकते हैं कि एक अप्रत्यक्ष ग्राफ़ है और आप केवल सरल (= चक्र-मुक्त) पथों पर विचार कर रहे हैं? $G$

— गिल्स एसओ- बुराई को रोकें '

@ गिल्स हां ग्राफ अप्रत्यक्ष है और पथ चलता है जिसमें अलग-अलग किनारे और कोने होते हैं।

— सौरभ

Answer 1

विरोधाभास के लिए मान लें कि $P_{1} = \langle v_{0},\ldots,v_{k}\rangle$ और $P_{2} = \langle u_{0},\ldots,u_{k}\rangle$ में दो रास्ते हैं $G$ लंबाई की $k$ के पास कोई साझा कोने के साथ।

के रूप में $G$ से जुड़ा हुआ है, वहाँ एक रास्ता है $P'$ को जोड़ने $v_{i}$ करने के लिए $u_{j}$ कुछ के लिए $i,j \in [1,k]$ कि इस तरह के $P'$ शेयरों के साथ कोई कोने $P_{1} \cup P_{2}$ के अलावा अन्य $v_{i}$ और $u_{j}$ । कहो $P' = \langle v_{i},x_{0},\ldots,x_{b},u_{j}\rangle$(ध्यान दें कि कोई$x_{i}$ वर्टिस नहीं हो सकता है, यानी,$b$$0$ हो सकता है- अंकन हालांकि थोड़ा कम है)।

व्यापकता की हानि के बिना हम मान सकते हैं कि $i,j \geq \lceil\frac{k}{2}\rceil$ (we can always reverse the numbering). Then we can construct a new path $P^{*} = \langle v_{0},\ldots,v_{i},x_{1},\ldots,x_{b},u_{j},\ldots,u_{0}\rangle$ (by going along $P_{1}$ to $v_{i}$, then across the bridge formed by $P'$ to $u_{j}$, then along $P_{2}$ to $u_{0}$).

स्पष्ट रूप से $P^{*}$ की लंबाई कम से कम $k+1$ , लेकिन यह इस धारणा का खंडन करता है कि $G$ की लंबाई $k$ से अधिक नहीं है ।

तो फिर लंबाई में से किसी दो रास्ते $k$ कम से कम एक शीर्ष पर एक दूसरे को काटना चाहिए और अपने अवलोकन है कि यह बीच में होना चाहिए (वहाँ एक है, तो केवल) के रूप में आप तर्क।

Comments

I think you need $j \leq \lfloor\frac{k}{2}\rfloor$, otherwise the new path is not necessarily longer. Note that $b=0$ is possible.

— Raphael

$b$$0$$P'$$v_{i}$$u_{j}$$v_{0} \rightarrow v_{i} \rightarrow u_{j}\rightarrow \mathbf{u_{0}}$, so $j \geq \lceil\frac{k}{2}\rceil$ is right. If it went to $u_{k}$ then $j \leq \lfloor\frac{k}{2}\rfloor$ would be the right condition.

— Luke Mathieson

Answer 2

You are right that the common vertex must occur in the middle of both paths.

However that intuition will not solve the actual problem you're trying to solve.

Instead try to demonstrate that, given any point in the path, the path segment from (and including) that point to one of the ends of the original path must have strictly greater than half as many nodes as the full path.

Once you have shown that, you will be able to both solve the problem that you were asked and verify your conjecture.