क्या बूलियन कार्य ट्यूरिंग पूर्ण हैं

Question

एक बूलियन फ़ंक्शन एक फ़ंक्शन ।$f:\{0,1\}^n\rightarrow\{0,1\}$

बूलियन आधार को ट्यूरिंग पूर्ण के रूप में जाना जाता है क्योंकि यह किसी भी अनुक्रम में फ़्लिप करने या अपरिवर्तित रहने की अनुमति देता है। वही कहा जा सकता है द्वार।$(\vee,\wedge)$$s\in\{0,1\}$$\mathrm{XOR}$

इस अर्थ में हम एक प्रारंभिक मशीन कॉन्फ़िगरेशन शुरू कर सकते हैं जैसे कि और इसे क्रमिक मानों के साथ :$\textbf{b}=(b_1,\ldots,b_n)$$b_i\in\{0,1\}$$\mathrm{XOR}$$\textbf{v}_i$

$\textbf{b}\oplus\textbf{v}_1\oplus\textbf{v}_2\oplus\textbf{v}_3\ldots$

प्रत्येक राज्य में कुछ तत्व के क्रमचय का प्रतिनिधित्व करेगा । यह प्रक्रिया प्रभावी रूप से ट्यूरिंग मशीन की नकल करती है और मान कि मानों के लिए कुछ जनरेटर है ।$\textbf{v}_i$$\textbf{b}$$\textbf{v}_i$

तो क्या हम कह सकते हैं कि बूलियन ट्यूरिंग को पूरा करता है?

Comments

यह मशीनरी एक अनंत लूप में कैसे फंस सकती है?

— गिल्डेनस्टर्न

मुझे लगता है कि बात यह है कि जबकि बूलियन सर्किट औपचारिकता ट्यूरिंग औपचारिकता के लिए समसामयिक है, यह आपको यह नहीं बताता है कि इस तरह के कार्यक्रम का निर्माण या निर्माण कैसे किया जाता है ... आपको मानों को " ...$\textbf{v}_i$

— user13675

Answer 1

अनौपचारिक रूप से, एक (प्रोग्रामिंग) भाषा पूरी तरह से ट्यूरिंग है यदि प्रत्येक कम्प्यूटेशनल फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व है। एक सामान्य कम्प्यूटेबल फ़ंक्शन मनमाने आकार के इनपुट को स्वीकार करता है। दूसरी ओर, बूलियन फ़ंक्शन एक निश्चित आकार के इनपुट को स्वीकार करते हैं। इसलिए बूलियन फ़ंक्शन संभावित ट्यूरिंग-पूर्ण के रूप में भी योग्य नहीं हैं ।

पूर्णता की प्रासंगिक धारणा यहां संयोजकों का पूर्ण आधार है। संयोजियों (का एक सेट मनमाना के लिए बूलियन मूल्यों पर -ary कार्यों ) है पूरा करता है, तो पर हर बूलियन समारोह (मनमाना के लिए ) संयोजियों का उपयोग कर किया जा सकता है। निम्नलिखित सेट पूर्ण हैं: डी मॉर्गन आधार और आधार । इसके विपरीत, पूरा नहीं होता है: यह केवल रैखिक कार्यों को व्यक्त कर सकता है।$k$$k$$x_1,\ldots,x_n$$n \geq 1$$\{\lnot,\lor,\land\}$$\{\lnot,\Rightarrow\}$$\{\lnot,\oplus\}$

Comments

क्या उनके समकक्ष, बूलियन सर्किट, ट्यूरिंग पूर्ण होंगे? मुझे लगता है कि वे कुक के बाद से हैं (3SAT की एनपी-पूर्णता के अपने प्रमाण में) ने दिखाया कि ट्यूरिंग मशीन और बूलियन सर्किट कैसे बराबर हैं?

— user13675

@ user13675 नहीं, यह बिल्कुल वही समस्या है। हर हाल्टिंग ट्यूरिंग मशीन को इनपुट के हर आकार के लिए एक समान बूलियन सर्किट या सूत्र में बदला जा सकता है, लेकिन प्रत्येक आकार के लिए आपको एक अलग की आवश्यकता होगी।

— युवल फिल्मस

Answer 2

कड़ाई से बोलते हुए जैसा कि YF ने उत्तर दिया है, परिमित सर्किट पूर्ण नहीं हो सकते हैं।

हालांकि इस सवाल के जवाब में एक लीड का उल्लेख करने के लायक है (और शायद आप क्या देख रहे हैं) एक बारीकी से संबंधित अवधारणा का उपयोग सिद्धांत में काफी व्यापक रूप से किया जाता है जहां सर्किट का उपयोग इस तरह से कार्यों की गणना करने के लिए किया जाता है जो ट्यूरिंग पूर्ण से अधिक मजबूत होता है।

अर्थात्, सर्किट परिवार। सर्किट का एक परिवार अनंत भाषाओं की गणना कर सकता है। आकार प्रत्येक इनपुट में एक संबद्ध सर्किट / फ़ंक्शन जिसे किसी विधि से बनाया जाता है, जरूरी नहीं कि TM के माध्यम से बनाया गया हो! सर्किट-भाषाओं को पर्णनीय टीएम द्वारा गणना की जाती है, जिन्हें यूनिफॉर्म सर्किट के रूप में जाना जाता है और इस वर्ग के भीतर निर्माण योग्य सर्किट को गैर- वर्दी के रूप में नहीं जाना जाता है ।$n$$C_n$