विभिन्न नियमित भाषाओं की संख्या

यह देखते हुए एक वर्णमाला $\Sigma = \{ a,b \}$ , कितने अलग अलग सुव्यवस्थित भाषाओँ वहाँ है कि एक के द्वारा स्वीकार किया जा सकता है $n$ -state गैर नियतात्मक परिमित automaton?

एक उदाहरण के रूप में, हम विचार करते हैं $n=3$ । तब हमारे पास $2^{18}$ अलग-अलग संक्रमण कॉन्फ़िगरेशन और $2^3$ अलग-अलग शुरुआत और अंत राज्य कॉन्फ़िगरेशन हैं, इसलिए हमारे पास $2^{24}$ अलग-अलग भाषाओं की ऊपरी सीमा है ।
हालाँकि, इनमें से कई समकक्ष होंगे और चूंकि परीक्षण के लिए PSPACE-Complete है, इसलिए संभवतः प्रत्येक सेटिंग का परीक्षण करना संभव नहीं है।
क्या अन्य साधन या संयोजन तर्क हैं जो किसी दिए गए संसाधन द्वारा स्वीकृत विभिन्न भाषाओं की संख्या को बाध्य करते हैं?

— john_leo
स्रोत

केवल 3 अलग-अलग प्रारंभ राज्य कॉन्फ़िगरेशन हैं,

नहीं

2^{3}

$2^3$ ।

— फ्रैंकवे

त्वरित विचार: नियमित भाषाओं को बारीक रूप से कई तुल्यता वर्ग, सीएफ मायहिल-नेरोड की विशेषता है। सम- विषम कक्षाओं के कितने अलग-अलग सेट एक

n

$n$ -स्टेट ऑटोमेटन का समर्थन कर सकते हैं ?

— राफेल

यह डॉमरातज़की, किसमैन और शैलिट द्वारा "एन राज्यों के साथ परिमित ऑटोमेटा द्वारा स्वीकृत विभिन्न भाषाओं की संख्या पर" पेपर के लिए Google के लिए सहायक हो सकता है।

— हेंड्रिक जनवरी

यहाँ पेपर साइटसीर url है

— vzn

tcs.se पर लगभग एक ही प्रश्न पाया गया: आकार n के DFA द्वारा स्वीकृत भाषाओं की संख्या कितनी है?

— vzn

यह कागज का एक सारांश है जो राज्यों के साथ परिमित ऑटोमेटा द्वारा स्वीकार की जाने वाली विकृत भाषाओं की संख्या पर है । कागज अपेक्षाकृत आसान प्रदान करता है, फिर भी एनएफए द्वारा स्वीकृत विभिन्न भाषाओं की संख्या पर तंग, निचले और ऊपरी सीमा से दूर है। अलग डीएफए की संख्या पर उनकी चर्चा बहुत ही आनंददायक है, इसलिए मैं उस हिस्से को भी शामिल करूंगा।

कागज एक कठोर वर्णमाला पर राज्यों के साथ एक DFA द्वारा स्वीकार किए गए विभिन्न भाषाओं की संख्या के लिए काफी कठोर स्पर्शोन्मुखता के साथ शुरू होता है। यह देखते हुए किया जाता है कि किन शर्तों के तहत किसी -स्टेट यूनिरी डीएफए न्यूनतम है। ऐसे मामलों में ऑटोमेटन का वर्णन एक आदिम शब्द से मैप किया जा सकता है (विशेष रूप से) , और इस तरह के शब्दों की गणना अच्छी तरह से ज्ञात है और मोबीस फ़ंक्शन की सहायता से की जाती है । उस परिणाम का उपयोग करते हुए, डीएफए और एनएफए मामले में, गैर-असमान अक्षर के लिए सीमाएं सिद्ध होती हैं। $n$ $n$

आइए अधिक विस्तार में जाएं। एक लिटर वर्णमाला के लिए, को परिभाषित करें। $k$ ध्यान दें कि। हमऔर।

\begin{aligned} f_{k} (n) & = the number of pairwise non-isomorphic minimal DFA's with n states \\ g_{k} (n) & = the number of distinct languages accepted by DFA's with n states \\ G_{k} (n) & = the number of distinct languages accepted by NFA's with n states \end{aligned}

$\begin{align*} f_k(n) &= \text{the number of pairwise non-isomorphic minimal DFA's with } n \text{ states}\\ g_k(n) &= \text{the number of distinct languages accepted by DFA's with } n \text{ states}\\ G_k(n) &= \text{the number of distinct languages accepted by NFA's with } n \text{ states} \end{align*}$

g_{k} (n) = \sum_{i = 1}^{n} f_{k} (i)

$g_k(n) = \sum_{i=1}^n f_k(i)$

f_{1} (k)

$f_1(k)$

g_{1} (k)

$g_1(k)$

यूनिरी डीएफए की गणना

एक एकल DFA राज्यों के साथ न्यूनतम iff है $M = (Q, \{a\},\delta, q_0,F)$ $q_0,\dots, q_{n-1}$

यह जुड़ा हुआ है। इस प्रकार, नाम के बाद, यह संक्रमण आरेख एक पाश और एक पूंछ, यानी के होते हैं और कुछ के लिए । $\delta(q_i,a) = q_{i+1}$ $\delta(q_{n-1},a)=q_j$ $j \leq n-1$
लूप न्यूनतम है।
तो , तो या तो और या और । $j \neq 0$ $q_{j-1} \in F$ $q_{n-1} \notin F$ $q_{j-1} \notin F$ $q_{n-1} \in F$

पाश शब्द iff कम है द्वारा परिभाषित $q_j,\dots, q_{n-1}$ $a_j \cdots a_{n-1}$ हैआदिम, जिसका अर्थ है यह रूप में लिखा नहीं किया जा सकता के लिए कुछ शब्दऔर कुछ पूर्णांक। संख्याकी लंबाई के आदिम शब्द कीसे अधिक-letter अक्षर में जाना जाता है, देखें, जैसे Lothaireकॉम्बीनेटॉरिक्स शब्द पर। हम

a_{i} = {\begin{cases} 1 if q \in F, \\ 0 if q \notin F \end{cases}

$\begin{equation*} a_i = \begin{cases} 1 \quad \text{if } q \in F, \\ 0 \quad \text{if } q \notin F \end{cases} \end{equation*}$

x^{k}

$x^k$

x

$x$

k \geq 2

$k \ge 2$

ψ_{k} (n)

$\psi_k(n)$

n

$n$

k

$k$

जहां

हैमॉबियस समारोह

ψ_{k} (n) = \sum_{d | n} μ (d) k^{n / d}

$\begin{equation*} \psi_k(n) = \sum_{d | n} \mu(d) k^{n/d} \end{equation*}$

μ (n)

$\mu(n)$ । की मदद से

कागज सटीक सूत्रों साबित होता है के लिए

और

और शो कि asymptotically (प्रमेय 5 और उपप्रमेय 6),

ψ_{k} (n)

$\psi_k(n)$

f_{1} (n)

$f_1(n)$

g_{1} (n)

$g_1(n)$

\begin{aligned} g_{1} (n) & = 2^{n} (n - α + O (n 2^{- n / 2})) \\ f_{1} (n) & = 2^{n - 1} (n + 1 - α + O (n 2^{- n / 2})) . \end{aligned}

$\begin{align*} g_1(n) &= 2^n \left(n-\alpha+O \left(n 2^{-n/2} \right)\right) \\ f_1(n) &= 2^{n-1}\left(n+1-\alpha+O \left(n 2^{-n/2} \right)\right). \end{align*}$

डीएफए की गणना

$f_k(n)$

f_{k} (n) \geq f_{1} (n) n^{(k - 1) n} \sim n 2^{n - 1} n^{(k - 1) n} .

$\begin{equation*} f_k(n) \ge f_1(n) n^{ (k-1)n} \sim n 2^{n-1}n^{(k-1)n}. \end{equation*}$

Δ \subset Σ

$\Delta \subset \Sigma$

M

$M$ , define

M_{Δ}

$M_{\Delta}$ as the restriction of

M

$M$ to

Δ

$\Delta$ .
प्रमाण सेट विचार करके काम करता है

S_{k, n}

$S_{k,n}$ of DFA's

M

$M$ over the

k

$k$ -letter alphabet

{0, 1, \dots, k - 1}

$\{0,1,\dots,k-1 \}$ defined by

Letting $M_{ \{0 \}}$ be one of the $f_1(n)$ different unary DFA's on $n$ states, and
Choosing any $k-1$ functions $h_i : Q \to Q$ for $1 \le i < k$ and defining $\delta(q,i) = h_i(q)$ for $1 \le i < k$ and $q \in Q$ .

The observation is then that $S_{n,k}$ contains $f_1(n) n^{ (k-1)n}$ different and minimal languages.

Enumeration of NFA's

For $G_1(n)$ one has the trivial lower bound $2^n$ , since every subset $\epsilon, a,\dots, a^{n-1}$ can be accepted by some NFA with $n$ states. The lower bound is improved slightly, yet the proof is rather lengthy.
The paper Descriptional Complexity in the unary case by Pomerance et al shows that $G_1(n) \le \left( \frac{c_1 n}{\log n}\right)^n$ .
Proposition 10 shows that, for $k \ge 2$ we have

n 2^{(k - 1) n^{2}} \leq G_{k} (n) \leq (2 n - 1) 2^{k n^{2}} + 1.

$\begin{equation*} n 2^{(k-1)n^2} \le G_k(n) \le (2n-1) 2^{kn^2} +1. \end{equation*}$ The proof is quite short, hence I include it verbatim (more or less). For the upper bound, note that any NFA can be specified by specifying, for each pair

(q, a)

$(q,a)$ of state and symbol, which subset of

Q

$Q$ equals

δ (q, a)

$\delta(q,a)$ (hence the factor

2^{k n^{2}}

$2^{kn^2}$ . We may assign the final states as follows: either the initial state is final or not, and since the names of the states are unimportant, we may assume the remaining final states are

{1, \dots, k}

$\{1,\dots,k\}$ for

k \in [0.. n - 1]

$k \in [0..n-1]$ . Finally, if we choose no final states, we obtain the empty language.
For the lower bound the authors proceed in a similar way as in the proof for the DFA case: Define an NFA

M = (Q, Σ, δ, q_{0}, F)

$M=(Q,\Sigma,\delta,q_0, F)$ with

Σ = {0, 1, \dots, k - 1}

$\Sigma = \{ 0,1,\dots,k-1 \}$ ,

Q = {q_{0}, \dots, q_{n - 1}}

$Q=\{ q_0,\dots, q_{n-1} \}$ and

δ

$\delta$ :

\begin{aligned} δ (q_{i}, 0) & = q_{(i + 1) \mod n} for 0 \leq i < n \\ δ (q_{i}, j) & = h_{j} (i) for 0 \leq i < n, 1 \leq j < k \end{aligned}

$\begin{align*} \delta(q_i,0) &=q_{(i+1) \mod n} \quad \text{for } 0 \le i <n \\ \delta(q_i,j) &=h_j(i) \quad \text{for } 0 \le i <n,\, 1 \le j < k \end{align*}$ where

h_{j} : {1, \dots, n - 1} \to 2^{Q}

$h_j: \{ 1,\dots,n-1\} \to 2^Q$ is any set-valued function. Finally, let

F = {q_{i}}

$F=\{q_i\}$ for any

i \in [0.. n - 1]

$i \in [0..n-1]$ . There are

2^{(k - 1) n^{2}}

$2^{(k-1)n^2}$ such functions and

n

$n$ ways to choose the set of final states. One can then show that no two such NFA's accept the same language.

— john_leo
स्रोत