क्या एक न्यूनतम डीएफए का उत्क्रमण भी न्यूनतम है?

शीर्षक में सवाल बहुत ज्यादा है। क्या कभी ऐसा समय होता है, जहां कुछ भाषा $L$ के साथ एक न्यूनतम DFA द्वारा स्वीकार किया जा सकता है $n$ बताता है, लेकिन $L^R$ का उलटा $L$ , के साथ एक DFA द्वारा स्वीकार किया जा सकता है $m$ राज्यों, जहां $m<n$ ?

— jmite
स्रोत

डीएफए का उलटा होना आवश्यक नहीं है। एक डीएफए जो रेगेक्स एएए + को स्वीकार करता है, जिसमें एक ही लेबल के साथ दो आवक तीर के साथ एक टर्मिनल स्थिति होती है।

— इयान

भाषा के उत्क्रमण को स्वीकार करने वाला न्यूनतम DFA छोटा हो सकता है। परिमित भाषा पर विचार करें

एल = (0 + 1)^{2} 2 + (0 + 2)^{2} 1 + (1 + 2)^{2} 0।

$L = (0+1)^22+(0+2)^21+(1+2)^20.$ शब्द

ϵ, 0, 1, 2, 00, 01, 02, 11, 12, 22, 000, 001

$\epsilon,0,1,2,00,01,02,11,12,22,000,001$ असमान हैं, इसलिए किसी भी डीएफए के लिए

L

$L$ कम से कम 12 राज्यों की आवश्यकता है; वास्तव में ठीक 12 राज्यों के साथ एक DFA है। उलटी भाषा

{एल}^{आर} = 2 (0 + 1)^{2} + 1 (0 + 2)^{2} + 0 (1 + 2)^{2}

$L^R = 2(0+1)^2 + 1(0+2)^2 + 0(1+2)^2$ केवल 9 राज्यों के साथ DFA द्वारा स्वीकार किया जाता है: एक प्रारंभिक राज्य, प्रारंभिक के अनुरूप

0, 1, 2

$0,1,2$ , प्रारंभिक के अनुरूप है

0 (1 + 2), 1 (0 + 2), 2 (0 + 1)

$0(1+2),1(0+2),2(0+1)$ , एक स्वीकार राज्य और एक असफल राज्य; यह भी इष्टतम DFA है, क्योंकि

ϵ, 0, 1, 2, 01, 12, 20, 011, 000

$\epsilon,0,1,2,01,12,20,011,000$ असमान हैं।

संक्षेप में, के लिए न्यूनतम डीएफए $L$ 12 राज्यों की आवश्यकता है, जबकि एक के लिए $L^R$ केवल 9 राज्यों की आवश्यकता है।

जैसा कि उनकी टिप्पणी में जेमाइट का उल्लेख है, कई शुरुआती राज्यों के साथ एनएफए के लिए यह घटना नहीं हो सकती है, जब से आप एनएफए में सभी तीरों की दिशा फ्लिप करते हैं $L$ तो आप के लिए एक वैध NFA मिलता है $L^R$ ।

— युवल फिल्मस
स्रोत

धन्यवाद! मैंने किसी तरह इसे अपने सिर में ले लिया है कि आप एक डीएफए को उल्टा कर सकते हैं और (सीधे) डीएफए वापस प्राप्त कर सकते हैं, मुझे लगता है कि मैं इसे पूरक के साथ भ्रमित हो गया।

— jmite

@jmite मैं एक ही मस्तिष्क गोज़ था, और गलत जवाब के विरोधाभास द्वारा एक सुरुचिपूर्ण सबूत टाइप किया। :) यह पूरक है जो मैंने सोचा था कि काम करता है, उलट नहीं। उफ़।

— पैट्रिक87