स्यूडोइनवर्स मैट्रिक्स को खोजने की जटिलता

एक मनमाने क्षेत्र के मूर-पेनरोज़ स्यूडोइनवर्स मैट्रिक्स को खोजने के लिए कितने अंकगणितीय संचालन की आवश्यकता होती है ?

यदि मैट्रिक्स उल्टा और जटिल है, तो यह सिर्फ उलटा है। उलटा ढूँढना लेता $O(n^\omega)$ समय है, जहां $\omega$ आव्यूह गुणन स्थिर है। यह एल्गोरिथ्म 3 संस्करण के परिचय में प्रमेय 28.2 है।

मैट्रिक्स तो रैखिक स्वतंत्र पंक्तियों या स्तंभों और जटिल मूल्यवान है, तो Pseudoinverse मैट्रिक्स के साथ गणना की जा सकती है या क्रमशः है, जहां संयुग्म पक्षांतरित है की । विशेष रूप से, यह एक संकेत मिलता है की Pseudoinverse को खोजने के लिए समय । $A$ $A^*(A A^*)^{-1}$ $(A A^*)^{-1}A^*$ $A^*$ $A$ $O(n^\omega)$ $A$

सामान्य मैट्रिक्स के लिए, मैंने जो एल्गोरिदम देखा है वह क्यूआर अपघटन या एसवीडी का उपयोग करता है, जो सबसे खराब स्थिति में अंकगणितीय संचालन को ले जाता है। क्या ऐसे एल्गोरिदम हैं जो कम संचालन का उपयोग करते हैं? $O(n^3)$

algorithms linear-algebra

— चाओ जू
स्रोत

मैं एक अनुवर्ती अप किया है, यह बहुत बुनियादी हो सकता है, लेकिन आप क्या है की पुष्टि करें कर सकते हैं n यहाँ जटिलता समीकरण में। क्या यह मैट्रिक्स का आयाम है और यदि मैट्रिक्स एक वर्ग नहीं है तो क्या होगा?

— माइक पॉम्प

दावा है कि उलटा में पाया जा सकता में

समय,

वास्तव में वर्ग मैट्रिक्स के आयाम है, यदि मैट्रिक्स वर्गाकार नहीं है, तो संभवत: आप बड़े आयाम के लिए

ले सकते हैं ।

O (n^{ω})

$O(n^\omega)$

n

$n$

n

$n$

— डेविड रिचरबी

चूंकि यह एक आसान सवाल है, मैंने इसका जवाब यहां दिया है। हालाँकि, यदि आपके कोई और प्रश्न हैं, तो कृपया पृष्ठ के शीर्ष पर "प्रश्न पूछें" बटन का उपयोग करके उन्हें स्वयं एक पृष्ठ के रूप में पूछें। संदर्भ देने के लिए आप इस पृष्ठ पर वापस लिंक कर सकते हैं। यह साइट प्रति पृष्ठ केवल एक प्रश्न के लिए सेट की गई है: कोई थ्रेडिंग नहीं है और पोस्ट को प्राप्त मतों के अनुसार घूमते हैं, इसलिए चीजें एक पृष्ठ पर एक से अधिक प्रश्नों के साथ भयानक रूप से गड़बड़ हो जाती हैं। हमारे छोटे दौरे और हमारे सहायता केंद्र में अधिक जानकारी है ।

— डेविड रिचेर्बी

सबसे पहले, लोग भूल जाते हैं कि करते हैं एक infimum है। जब भी हम लिखने , हम वास्तव में सभी के लिए मतलब , वहाँ एक एल्गोरिथ्म समय में चल रहा है । $\omega$ $O(n^\omega)$ $\gamma > \omega$ $O_\gamma(n^\gamma)$

केलर-Gehrig (किसी और के अलावा) कैसे एक मैट्रिक्स पेश करने के लिए पता चला है में पद सामान्य रूप समय में । यदि रैंक है , तो एक रैंक के सामान्य रूप है कुछ उलटी के लिए उचित आयामों की; पृष्ठ ४३५ पर बीजगणितीय जटिलता सिद्धांत, प्रस्ताव १६.१३ भी देखें। $A$ $O(n^\omega)$ $A$ $r$ $A$

S (\begin{matrix} I_{r} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) T

$S \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} T$

S, T

$S,T$

$A = XY$ $X$ $r$ $Y$ $r$ $X$ $r$ $S$ $Y$ $r$ $T$ $O(n^\omega)$

— युवल फिल्मस
स्रोत

जवाब के लिए धन्यवाद! मुझे कागज मिला और यह पाया कि मुझे पृष्ठभूमि की कमी है। क्या इस तरह के परिणाम पर कुछ अच्छे परिचय / सर्वेक्षण हैं? मुझे पता है कि बीजगणितीय जटिलता सिद्धांत पुस्तक एक अच्छी है, लेकिन वर्तमान में इसे पुस्तकालय से बाहर रखा गया है ...

— चाओ जू

प्रासंगिक व्याख्यान नोट्स हो सकते हैं, हालांकि पुस्तक पर एक नज़र डालना सबसे अच्छा है। सीएलआरएस (एल्गोरिदम का परिचय) में कुछ प्रासंगिक सामग्री भी शामिल है, जैसे मैट्रिक्स गुणन और मैट्रिक्स व्युत्क्रम के बीच समानता।

— युवल फिल्मस

तो सामान्य रूप से रहता है? क्या आप मुझे संकेत दे सकते हैं कि "मैट्रिक्स गुणन स्थिरांक" है?

O (n^{ω})

$O(n^ω)$

w

$w$

— बेन

हम का मूल्य नहीं जानते । Le Gall के कारण सबसे अच्छी ऊपरी सीमा, is । यह अनुमान लगाया गया है कि ।

ω

$\omega$

ω < 2.3728639

$\omega < 2.3728639$

ω = 2

$\omega = 2$

— युवल फिल्मस