बिंदुओं के बीच न्यूनतम दूरी को अधिकतम करने के लिए एक सबसेट चुनना

Question

मेरे पास बिंदु का एक सेट , और मेरे पास प्रत्येक बिंदु बीच की दूरी है । ये दूरियां यूक्लिडियन हैं लेकिन अंक वास्तव में एक फ़ीचर स्पेस में हैं।D ( P i , P j$C$$D(P_i,P_j)$

से अंक मैं का एक सबसेट का चयन करना चाहते अंक। इस उपसमूह कॉल । मैं इतनी के रूप में नया सेट में सभी बिंदुओं के बीच न्यूनतम दूरी को अधिकतम करने के इस उपसमूह का चयन करना चाहते ।एन एस $C$$n$$s$$s$

$$\max_{\substack{s \subset C \\ |s| = n}} \left( \min_{\substack{i,j \in s \\ i \neq j} } D \left( P_i, P_j \right) \right)$$

अभी मैं इस समस्या को हल करने के लिए पहाड़ी चढ़ाई का उपयोग कर रहा हूं। मैं समझता हूं कि नकली एनालिंग एक बेहतर समाधान दे सकता है।

क्या इस प्रकार की समस्या का कोई ज्ञात समाधान है? या इस समस्या को एक और समस्या में सुधार किया जा सकता है जो आसानी से हल हो जाती है?

Comments

मैं एक ऐसी ही समस्या में दिलचस्पी रखता हूं। मेरे अब तक के खोज परिणामों के आधार पर, यह सुविधा स्थान समस्या में पी-फैलाव समस्या के लिए तुलनीय है, जिसके लिए यह एक अच्छा समीक्षा पत्र है।

— XTZ

क्या आप जानते हैं कि इस समस्या का नाम क्या है?

— डंडेलियन

Answer 1

इस अनुकूलन समस्या का निर्णय समस्या संस्करण है:

थ्रेशोल्ड को देखते हुए , आप यह जानना चाहते हैं कि क्या n बिंदुओं का सबसेट ढूंढना संभव है, जैसे कि सबसेट के प्रत्येक जोड़े में कम से कम टी इकाइयां हैं।$t$$n$$t$

बेशक, यदि आप निर्णय की समस्या को हल कर सकते हैं, तो हम आपकी अनुकूलन समस्या को हल कर सकते हैं (दहलीज पर बाइनरी खोज द्वारा )।$t$

अब यह निर्णय समस्या एक इयूक्लिडियन ग्राफ, जहां अंक में एक स्वतंत्र सेट खोजने की समस्या है उन दोनों के बीच एक बढ़त अगर वे दूरी पर हैं ≤ टी के अलावा। एक दृष्टिकोण स्वतंत्र सेट के लिए मानक सन्निकटन एल्गोरिदम को देखने का होगा।$x,y$$\le t$

इससे भी बेहतर, आप ज्यामितीय चौराहे ग्राफ में स्वतंत्र सेट के लिए एल्गोरिदम देख सकते हैं । डिस्क के एक सेट पर विचार करें, जहां प्रत्येक डिस्क में व्यास और आपके सेट सी में एक बिंदु पर केंद्रित है । अब हम एक ज्यामितीय चौराहा ग्राफ बना सकते हैं, जहां प्रत्येक डिस्क के लिए एक शीर्ष और दो अनुदैर्ध्य के बीच एक किनारे होता है, यदि उनके संगत डिस्क प्रतिच्छेद करते हैं। इस तरह के ग्राफ में एक स्वतंत्र सेट खोजने की समस्या का अध्ययन किया गया है और इस समस्या के लिए सन्निकटन एल्गोरिदम हैं जिन्हें आप उपयोग करने का प्रयास कर सकते हैं।$t$$C$

$n$$\ge t$