भारित ग्राफ के न्यूनतम फैले हुए वृक्षों में दिए गए भार के समान किनारों की संख्या होती है?

एक भारित ग्राफ तो दो अलग-अलग न्यूनतम फैले पेड़ है और , तो यह सच है कि किसी भी बढ़त के लिए में , में किनारों की संख्या एक ही वजन के रूप में के साथ (सहित ही) में किनारों की संख्या के रूप में ही है रूप में एक ही वजन के साथ ? यदि कथन सत्य है, तो हम इसे कैसे प्रमाणित कर सकते हैं? $G$ $T_1 = (V_1, E_1)$ $T_2 = (V_2, E_2)$ $e$ $E_1$ $E_1$ $e$ $e$ $E_2$ $e$

graph-theory spanning-trees weighted-graphs

— अदन डोंग
स्रोत

एक मुश्किल लेकिन व्यवहार्य दृष्टिकोण 1 दिखाना है) क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म प्रत्येक न्यूनतम फैले हुए पेड़ का उत्पादन कर सकता है और 2) क्रुस्कल द्वारा पाए जाने वाले सभी न्यूनतम फैले हुए पेड़ों में एक ही किनारे वाला मल्टीसेट है।

— राफेल

जवाबों:

दावा: हां, यह कथन सत्य है।

सबूत स्केच: Let साथ बढ़त वजन multisets दो कम से कम फैले पेड़ हो । मान लें और साथ उनके सममित अंतर को निरूपित करें । $T_1,T_2$ $W_1,W_2$ $W_1 \neq W_2$ $W = W_1 \mathop{\Delta} W_2$

साथ किनारे चुनें , वह एक ऐसा किनारा है जो पेड़ों में से केवल एक में होता है और इसमें कम से कम असहमत वजन होता है। इस तरह के एक किनारे, विशेष रूप से है कि , हमेशा मौजूद है: स्पष्ट रूप से, नहीं वजन के सभी किनारे , दोनों पेड़ों में हो सकता है अन्यथा । Wlog जाने और मान लेते हैं वजन का अधिक किनारों है से । $e \in T_1 \mathop{\Delta} T_2$ $w(e) = \min W$ $e$ $e \in T_1 \mathop{\Delta} T_2$ $\min W$ $\min W \notin W$ $e \in T_1$ $T_1$ $\min W$ $T_2$

अब में सभी किनारों पर विचार कि कटौती में भी हैं कि से प्रेरित है में । अगर वहाँ एक बढ़त है वहाँ में के रूप में ही वजन है कि , अद्यतन का उपयोग करके के बजाय ; ध्यान दें कि नया पेड़ अभी भी एक न्यूनतम फैले हुए पेड़ है जिसमें के समान धार वाले मल्टीसेट हैं । हम इस तर्क को दोहराते हैं, को दो तत्वों से सिकोड़ते हैं और इस तरह हर चरण में लिए उम्मीदवारों के सेट से एक किनारे को हटाते हैं । इसलिए, हम एक सेटिंग के लिए से कई चरणों के बाद प्राप्त करते हैं, जहां में सभी किनारों $T_2$ $C_{T_1}(e)$ $e$ $T_1$ $e'$ $e$ $T_1$ $e'$ $e$ $T_1$ $W$ $e$ $T_2 \cap C_{T_1}(e)$ (जहां अपडेट किया गया संस्करण है) में अलावा वज़न है । $T_1$ $w(e)$

अब हम हमेशा चयन कर सकते हैं, जैसे कि हम और को स्वैप कर सकते हैं , अर्थात हम एक नया फैले पेड़ बना सकते हैं $e' \in C_{T_1}(e) \cap T_2$ $e$ $e'$

$\qquad \displaystyle T_3 = \begin{cases} (T_1 \setminus \{e\}) \cup \{e'\}, &w(e') \lt w(e) \\[.5em] (T_2 \setminus \{e'\}) \cup \{e\}, &w(e') \gt w(e) \end{cases}$

जिसका और से छोटा वजन है ; यह कम से कम फैले पेड़ों के रूप में की पसंद का खंडन करता है । इसलिए, । $T_1$ $T_2$ $T_1,T_2$ $W_1 = W_2$

के नोड्स घटना में हैं एक पथ से जुड़े ; में अद्वितीय बढ़त है । $e$ $T_2$ $P$ $e'$ $P \cap C_{T_1}(e)$

— राफेल
स्रोत

डेव की टिप्पणी के संदर्भ में , मैं 0 के बाद इस प्रमाण के साथ आया था) यह मानते हुए कि मेरे पास एक काउंटर-उदाहरण था, जिसे मैंने इसे गलत बताया, 1) बयान को साबित करने की कोशिश कर रहा था, लेकिन असफल रहा, 2) एक काउंटर-उदाहरण का निर्माण करने की कोशिश कर रहा था इस आधार पर कि प्रमाण फिर से विफल हो गया और असफल रहा, और अंत में 3) जिस तरह से ये नए उदाहरण प्रमाण के साथ आने के लिए काम करने में विफल रहे। शायद इसलिए भी यह उतना परिष्कृत नहीं है जितना कि यह हो सकता है।

— राफेल

yeas वास्तव में, मुझे समझ नहीं आता क्या से प्रेरित CYT मतलब है में मैं केवल की तरह कटौती देखा था कटौती

e

$e$

T_{1}

$T_1$

(S, V - S)

$(S,V-S)$

— dragoboy

@dragoboy निकाला जा रहा है डिस्कनेक्ट ; एक घटक बनाता है , दूसरा पूरक।

e

$e$

T_{1}

$T_1$

S

$S$

— राफेल

यहाँ थोड़ा सरल तर्क दिया गया है जो अन्य मेट्रॉइड के लिए भी काम करता है। (मैंने इस प्रश्न को दूसरे से देखा ।)

मान लीजिए कि है किनारों। व्यापकता के नुकसान के बिना, मान लें कि भार फ़ंक्शन में मूल्यों पर चलता है , इसलिए हमारे पास लिए सेट में विभाजन है । हम गैर-खाली की संख्या और में कोने की संख्या पर प्रेरण कर सकते हैं ; के लिए और किसी भी , बयान स्पष्ट है। $G$ $m$ $w$ $[m]$ $E$ $E_i := w^{-1}(i)$ $i\in [m]$ $j$ $E_i$ $n$ $G$ $j=1$ $n$

Matroids के बारे में एक मानक तथ्य यह है कि प्रत्येक MST के लिए द्वारा प्रेरित आदेश का एक रैखिक विस्तार है ताकि लालची एल्गोरिथ्म पैदा करता है । $T$ $w$ $T$

इंडक्शन को बंद करने के लिए, को सबसे बड़ी संख्या ताकि खाली न हो। सेट । ध्यान रखें कि का कोई भी रैखिक विस्तार में किसी भी किनारे से पहले में प्रत्येक किनारे को । तथ्य के अनुसार, किसी भी MST में प्रेरित सबग्राफ के एक फैले हुए जंगल और से कुछ किनारे । आगमनात्मक परिकल्पना द्वारा, प्रत्येक जुड़े घटक में लिए प्रत्येक से किनारों की समान संख्या होती । चूंकि सभी विकल्प $t$ $E_t$ $E' = E_1 \cup \cdots \cup E_{t-1}$ $w$ $E'$ $E_t$ $F$ $E'$ $E_t$ $F$ $E_i$ $i < t$ $F$ , से किनारों की संख्या एक ही आकार है पूरा करने के लिए आवश्यक एक फैले पेड़ से की पसंद से स्वतंत्र है और हम किया जाता है। $E_t$ $F$ $F$

— लुई
स्रोत

क्या आप एमएसटी समस्या के लिए मैट्रोइड दे सकते हैं ? मुझे लगता है कि यह याद रखना कठिन है कि यह साथ आना मुश्किल है, और मैंने अभी तक इसे (कठोरता से) किया है। हाँ, हम लालची एल्गोरिदम, लेकिन नहीं का उपयोग (विहित) matroid सिद्धांत से लालची।

— राफेल

उस ने कहा, मुझे लगता है कि आपका मुख्य तर्क काम करता है (और सभी में मैट्रोइड्स की आवश्यकता नहीं है): क्रुस्कल के एल्गोरिथ्म की शुद्धता और इस तथ्य से कि प्रत्येक एमएसटी को क्रुस्ल के एक रन से प्राप्त किया जा सकता है, जिसमें वजन मल्टीसेट का एक विशिष्ट (सॉर्ट किया गया) क्रमचय होता है ( कठोर प्रमाण लंबित), दावा इस प्रकार है। मैं "सबूत लंबित" लिखता हूं क्योंकि यह न तो तुच्छ है और न ही तत्काल: दावे का उपयोग किए बिना यह बिल्कुल भी स्पष्ट नहीं है कि क्रुसकल को सभी एमएसटी क्यों ढूंढने चाहिए। जाहिर है, अगर किसी का वजन अलग-अलग होता तो क्रुस्काल उसे कभी नहीं मिलता!

— राफेल

1. मैट्रोइड ग्राफिक मैट्रोइड है। किया हुआ!

— लुई

2. तुम भ्रमित हो। मूल रूप से, हम आधार पॉलीटॉप पर रैखिक अनुकूलन कर रहे हैं। मैट्रोइड्स के मानक लक्षण वर्णन में से एक यह है कि लालची एल्गोरिथ्म वजन के किसी भी विकल्प के लिए काम करता है। सभी -minimal स्पैनिंग पेड़ इस polytope के चेहरे के कोने हैं। अब एलपी से मानक विचार मेरे द्वारा उल्लिखित मानक तथ्य तक ले जाते हैं।

w

$w$

— लुई

1. आप एक संदर्भ दे सकते हैं? मैं नहीं जानता कि ग्राफिक matroid। 2. अब आप इसमें एलपी को भी खींचें! मैं केवल इतना कह रहा हूं कि आपके उत्तर में मैट्रोइड की कमी है, और यह कि मैट्रोइड के बिना तर्क की रेखा स्वयं दावे पर भरोसा करती है। यदि आपके पास कोई रास्ता है, तो कृपया उत्तर को संपादित / स्पष्ट करें।

— राफेल