फ़र्म प्राइमलिटी टेस्ट के बजाय मिलर-राबिन क्यों?

Question

मिलर-राबिन के प्रमाण से , यदि कोई संख्या फर्मेट प्राइमलिटी टेस्ट पास करती है , तो उसे उसी आधार (प्रमाण में एक चर) के साथ मिलर-राबिन परीक्षण भी पास करना होगा । और गणना जटिलता समान है।$a$

निम्नलिखित त्वचा की प्राणिकता परीक्षा से है :

जबकि कारमाइकल संख्याएँ अभाज्य संख्याओं की तुलना में काफी दुर्लभ हैं, 1 उनमें से पर्याप्त हैं कि फ़र्मेट की प्राणिकता परीक्षा अक्सर उपरोक्त रूप में उपयोग नहीं की जाती है। इसके बजाय, फर्मेट परीक्षण के अन्य अधिक शक्तिशाली विस्तार , जैसे कि बैली-पीएसडब्ल्यू, मिलर-राबिन और सोलोवे-स्ट्रैसेन का अधिक सामान्यतः उपयोग किया जाता है।

मिलर-राबिन का लाभ क्या है और इसे फर्मट प्राइमलिटी टेस्ट की तुलना में अधिक शक्तिशाली क्यों कहा जाता है?

Answer 1

राबिन-मिलर एल्गोरिथ्म भी परीक्षण करता है, एक नंबर$n$$Z_n$

$a$$n$$a$$a$$a,2a,...,2^ra$

इस प्रकार, हमारे पास निम्नलिखित हैं:

$n$$1/2$

$1/2$

Comments

क्या आपका मतलब है कि कारमाइकल नंबर एन, फर्मेट के परीक्षण पर सफल हो सकता है लेकिन उसी आधार का उपयोग करके राबिन-मिलर पर विफल रहा है a?

— ZijingWu

$a$$a$

$a$$a$

$a$$a$

"अधिक जटिल" परीक्षणों की बात यह है कि आधारों का अंश जो झूठ बोलता है (कहते हैं कि संख्या शायद प्रमुख है, जब यह नहीं है) 1. गारंटीकृत सीमा 1 से कम है। यानी, मिलर-राबिन में यह दिखाया जा सकता है कि ज्यादातर 1/4 झूठ (IIRC, और बाउंड काफी निराशावादी है)।

— वॉनब्रांड

Answer 2

मेरा मानना ​​है कि आपके कथन का उलटा होता है। दिए गए आधार के लिए मिलर-राबिन परीक्षण पास करने का मतलब है कि यह उसी आधार के लिए फर्मेट परीक्षण पास करेगा। इसके विपरीत, ऐसे कई कंपोजिट हैं जो किसी दिए गए बेस के लिए Fermat टेस्ट पास करेंगे लेकिन उसी बेस के लिए मिलर-राबिन टेस्ट को फेल कर देंगे।

उदाहरण के लिए, विकिपीडिया मिलर-राबिन पृष्ठ में पोमेरेन्स / सेल्फ्रिज / वागस्टाफ द्वारा कागज:

https://math.dartmouth.edu/~carlp/PDF/paper25.pdf

जहाँ हम पृष्ठ 2 पर एक चित्र देखते हैं जिसमें यूलर स्यूडोप्रिम्स को फरमेट स्यूडोप्रिम्स का एक उपसमूह दिखाया जा रहा है, और मज़बूत छद्मरूपों का एक उपसमूह है। इसलिए सोलोवे-स्ट्रैसेन परीक्षण फ़र्मेट परीक्षण की तुलना में अधिक समझदार है, और मिलर-राबिन परीक्षण या तो अधिक से अधिक है। वे दोनों कारमाइकल नंबरों की गंभीर समस्या से बचते हैं। उनके पास अनिवार्य रूप से समान प्रदर्शन है, इसलिए हम मिलर-राबिन परीक्षण का उपयोग करना पसंद करते हैं।

Answer 3

यह स्पष्ट होना चाहिए कि मिलर-राबिन फर्मट से बेहतर है।

$a^{p-1}$

$a^{p-1}$$p-1 = s·2^k$$a^s$$a^{p-1}$

फिर, यदि परिणाम 1 नहीं है (मोडुलो पी) तो पी समग्र है। लेकिन अगर परिणाम है 1 सापेक्ष पी, तो हम जाँच हमारे पास है कि क्या है कि 1 एक मध्यवर्ती परिणाम था कि बराबरी से नहीं +1 या -1, और उस मामले एक्स में भी समग्र साबित होता है।

तो हम ठीक उसी तरह से काम करते हैं, लेकिन यह साबित करने के और भी तरीके हैं कि x समग्र है।