यादृच्छिक रेखांकन में गुच्छों की संख्या

यादृच्छिक ग्राफ का एक परिवार है जिसमें नोड्स ( गिल्बर्ट के कारण ) है। प्रत्येक संभव किनारे को स्वतंत्र रूप से में संभावना साथ डाला जाता है । चलो आकार के क्लिक्स की संख्या हो में । $G(n, p)$ $n$ $G(n, p)$ $p$ $X_k$ $k$ $G(n, p)$

मुझे पता है कि $\mathbb{E}(X_k)=\tbinom{n}{k}\cdot p^{\tbinom{k}{2}}$ , लेकिन मैं इसे कैसे साबित करूं?

कैसे दिखाने के लिए कि $\mathbb{E}(X_{\log_2n})\ge1$ लिए $n\to\infty$ ? और उस $\mathbb{E}(X_{c\cdot\log_2n}) \to 0$ लिए और एक निश्चित, मनमाने ढंग से स्थिर लिए ? $n\to\infty$ $c>1$

— user1374864
स्रोत

इसलिए मूल रूप से तीन प्रश्न शामिल हैं।

मुझे पता है कि $E(X_k)=\tbinom{n}{k}\cdot p^{\tbinom{k}{2}}$ , लेकिन मैं इसे कैसे साबित करूं?

आप अपेक्षा की रैखिकता और कुछ स्मार्ट री-राइटिंग का उपयोग करते हैं। सबसे पहले, ध्यान दें कि अब, की अपेक्षा लेते समय , कोई व्यक्ति आसानी से (रैखिकता के कारण) राशि निकाल सकता है और योग निकालने से, हमने नोड्स के सबसेट के बीच सभी संभावित निर्भरता को समाप्त कर दिया। इसलिए, क्या संभावना है कि एक गुट है? खैर, कोई फर्क नहीं पड़ता कि क्या है, सभी किनारे संभावनाएं समान हैं। इसलिए,

{एक्स}_{क} = \underset{टी \subseteq वी, | टी | = क}{Σ} 1 [टी क्लिक है] ।

$X_k = \sum_{T \subseteq V, \, |T|=k} \mathbb{1}[T \text{ is clique}].$

X_{k}

$X_k$

इ ({एक्स}_{क}) = \underset{टी \subseteq वी, | टी | = क}{Σ} इ (1 [टी क्लिक है]) = \underset{टी \subseteq वी, | टी | = क}{Σ} पी आर [टी क्लिक है]

$\mathrm{E}(X_k) = \sum_{T \subseteq V, \, |T|=k} \mathrm{E}(\mathbb{1}[T \text{ is clique}]) = \sum_{T \subseteq V, \, |T|=k} \mathrm{Pr}[T \text{ is clique}]$

T

$T$

T

$T$

P r [T is clique] = p^{(\binom{k}{2})}

$\mathrm{Pr}[T \text{ is clique}] = p^{k \choose 2}$ , क्योंकि इस सबग्राफ में सभी किनारों को मौजूद होना चाहिए। और फिर, योग का आंतरिक शब्द पर निर्भर नहीं करता है , हमें ।

T

$T$

E (X_{k}) = p^{(\binom{k}{2})} \sum_{T \subseteq V, | T | = k} 1 = (\binom{n}{k}) \cdot p^{(\binom{k}{2})}

$\mathrm{E}(X_k) = p^{k \choose 2} \sum_{T \subseteq V, \, |T|=k} 1 = {n \choose k} \cdot p^{k \choose 2}$

यह दिखाने के लिए कि : $n\rightarrow\infty$ $E(X_{\log_2n})\ge1$

मुझे पूरी तरह यकीन नहीं है कि यह सही भी है। द्विपदीय गुणांक पर एक बाध्यता को लागू करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

E (X_{\log n}) = (\binom{n}{\log n}) \cdot p^{(\binom{\log n}{2})} \leq {(\frac{n e p^{\frac{(\log n)}{4}}}{\log n})}^{\log n} = {(\frac{n e \cdot n^{(\log p) / 4}}{\log n})}^{लॉग n} ।

$E(X_{\log n}) = {n \choose \log n} \cdot p^{\log n \choose 2} \leq \left(\frac{n e p^\frac{(\log n)}{4}}{\log n}\right)^{\log n} = \left(\frac{ne \cdot n^{(\log p) / 4}}{\log n}\right)^{\log n}.$ (ध्यान दें कि मैंने मोटे तौर पर ऊपरी द्वारा । हालांकि, अब कोई भी चुन सकता है , और उसे प्राप्त कर सकता है। , जो बड़े लिए पूरे शब्द को जाता है । क्या आप शायद पर कुछ मान्यताओं को याद कर रहे हैं ?

p^{\frac{- 1 + \log n}{2}}

$p^\frac{-1 + \log n}{2}$

p^{\frac{\log n}{4}}

$p^\frac{\log n}{4}$

p = 0.001

$p = 0.001$

\log_{2} 0.001 \approx - 9.96

$\log_2 0.001 \approx -9.96$

0

$0$

n

$n$

p

$p$

— HDM
स्रोत

क्या वह सही है? । क्या यह लेकिन अब मैं नहीं जानता कि कैसे जाना है

E (X_{\log n}) = (\binom{n}{\log n}) \cdot p^{(\binom{\log n}{2})} \leq {(\frac{n e p^{\frac{(\log n)}{4}}}{\log n})}^{\log n}

$E(X_{\log n}) = {n \choose \log n} \cdot p^{\log n \choose 2} \leq \left(\frac{n e p^\frac{(\log n)}{4}}{\log n}\right)^{\log n}$

इ ({एक्स}_{लॉग n}) = (\binom{n}{{लॉग}_{2} n}) \cdot {पी}^{(\binom{{लॉग}_{2} n}{2})} \leq {(\frac{n इ}{{लॉग}_{2} n})}^{लॉग n} \cdot {पी}^{\frac{({लॉग}_{2} (n) \cdot इ)^{2}}{4}}

$E(X_{\log n}) = {n \choose \log_2 n} \cdot p^{\log_2 n \choose 2} \leq \left(\frac{n e}{\log_2 n}\right)^{\log n}\cdot p^\frac{(\log_2 (n)\cdot e)^2}{4}$

— user1374864

मैंने कहा कि केवल पर बाध्य है । के लिए , तो आप देख सकते हैं कि । अब बाद से , हम इसके प्रतिपादक को छोटा बनाना चाहते हैं (खुद को समझाएं कि क्यों)। यथोचित रूप से बड़े , हमारे पास । इसलिए उपर्युक्त गणना सही होनी चाहिए ...

(\binom{n}{\log n})

${n \choose \log n}$

p

$p$

(\binom{\log n}{2}) = (\log n) (\log n - 1) / 2

${\log n \choose 2} = (\log n) (\log n -1)/2$

p \leq 1

$p \leq 1$

n

$n$

(\log n) (\log n - 1) / 2 > (\log n)^{2} / 4

$(\log n) (\log n -1)/2 > (\log n)^2 / 4$

— HdM

तीसरे प्रश्न के साथ क्या है?

— कतार

यह दूसरे प्रश्न के समान ही समस्या से ग्रस्त है। क्षमा करें, मुझे यह स्पष्ट करना चाहिए था।

— HdM

यादृच्छिक रेखांकन में गुच्छों की संख्या

मुझे पता है कि इ( एक्स)क) = ( एनक) ⋅पी( के2)इ(एक्सक)=(nक)⋅पी(क2)E(X_k)=\tbinom{n}{k}\cdot p^{\tbinom{k}{2}} , लेकिन मैं इसे कैसे साबित करूं?

यह दिखाने के लिए कि :ई ( एक्स लोग इन 2 n ) ≥ 1n → ∞n→∞n\rightarrow\inftyइ( एक्स)लॉग2n) ≥ १इ(एक्सलॉग2⁡n)≥1E(X_{\log_2n})\ge1

मुझे पता है कि $E(X_k)=\tbinom{n}{k}\cdot p^{\tbinom{k}{2}}$ , लेकिन मैं इसे कैसे साबित करूं?

यह दिखाने के लिए कि : $n\rightarrow\infty$ $E(X_{\log_2n})\ge1$