क्या 'अंतर' ऑपरेशन एक क्वेरी भाषा में अभिव्यक्तता को जोड़ता है जिसमें पहले से ही 'जॉइन' शामिल है?

Question

सेट अंतर ऑपरेटर (उदाहरण के लिए, EXCEPTकुछ SQL वेरिएंट में) रिलेशनल बीजगणित के कई मौलिक ऑपरेटरों में से एक है। हालांकि, कुछ डेटाबेस हैं जो सेट अंतर ऑपरेटर को सीधे समर्थन नहीं करते हैं, लेकिन जो समर्थन LEFT JOIN(एक प्रकार का बाहरी जुड़ाव) है, और व्यवहार में इसका उपयोग समान प्रभाव को प्राप्त करने के लिए सेट अंतर ऑपरेशन के बजाय किया जा सकता है।

क्या इसका मतलब यह है कि क्वेरी भाषा की अभिव्यंजक शक्ति निर्धारित अंतर ऑपरेटर के बिना भी समान है, जब तक LEFT JOINऑपरेटर बनाए रखा जाता है? इस तथ्य को कोई कैसे साबित करेगा?

Comments

यह दिखाने के लिए कि उनके पास एक ही अभिव्यंजक शक्ति है, यह दिखा रहा है कि अंतर ऑपरेशन का निर्माण बाईं जॉइन ऑपरेशन (और संभवतः आरए में अन्य संचालन) के साथ किया जा सकता है।

— sxd

Answer 1

संबंधपरक बीजगणित में, हम पहले बाएं (बाहरी) जुड़ने की एक अनौपचारिक परिभाषा प्रदान करेंगे, और यह साबित करने के लिए आगे बढ़ेंगे कि इसका नाम बदलने, चयन, शामिल होने और प्रक्षेपण से अंतर पैदा हो सकता है, साथ ही साथ अंतर, चयन और संघ का निर्माण करने के लिए उपयोग किया जा सकता है। बाईं ओर का बाहरी जोड़। वास्तव में, हम इसे उल्टे क्रम में करते हुए समाप्त करेंगे: हम यह दिखाएंगे कि अंतरों का उपयोग करके बाएं जोड़ों का निर्माण कैसे किया जाता है, और फिर हम दिखाएँगे कि बाएँ जोड़ों का उपयोग करके अंतरों का निर्माण कैसे किया जाए।

चलो $R$ और $S$ स्कीमेता है $(R', T)$ और $(T, S')$ , क्रमशः, जहां $R'$ और $S'$ एक स्कीमा में विशेषताओं के सेट नहीं बल्कि अन्य हैं, और $T$ सामान्य विशेषताएं का सेट है।

चलो $w = (\epsilon, \epsilon, ..., \epsilon)$ हो स्कीमा के लिए अशक्त टपल $S'$ । है यही कारण है, इसके बारे में प्रत्येक विशेषता के लिए सभी शून्य मान से मिलकर टपल है $S'$ । फिर, हम के रूप में इस प्रकार में शामिल होने के बाहरी छोड़ दिया परिभाषित करें: R LEFT JOIN Sसभी tuples के सेट है $(r, t, s)$ स्कीमा से संबंधित $(R', T, S')$ जहां ...

1. ( आर , टी ) $(r, t)$ में एक ट्यूपल है;$R$
2. (ए) ( टी , एस ) एस या (बी) एस = $(t, s)$ एक उलझन है ;$S$$s = w$
3. अगर $(r, t, s)$ के लिए सेट में है $s \neq w$ , तो $(r, t, w)$ नहीं सेट में है।

उदाहरण: $R$ का स्कीमा है $(A_{1}, A_{2}, A_{3})$ , $S$ का स्कीमा है $(A_{2}, A_{3}, A_{4})$ , और हमारे पास $R = \{(1, 2, 3), (4, 5, 6)\}$ और एस = { ( 2 , 3 , 4 ), ( 2 , 3 , 6 ) } । द्वारा (1) और (2) हम मध्यवर्ती परिणाम { ( 1 , 2 , 3 , 4 ) , ( 1 , 2 , 3 , 6 ) , ( 1 , 2 , 3 , ϵ ) , ( 4 , 5 , 6) प्राप्त करते हैं। , ε ) } । द्वारा (3) हमें ( 1 , 2 ) निकालना होगा$S = \{(2, 3, 4), (2, 3, 6)\}$$\{(1, 2, 3, 4),(1, 2, 3, 6), (1, 2, 3, \epsilon),(4, 5, 6, \epsilon)\}$, 3 , ε ) , हम (उदाहरण के लिए) के बाद से ( 1 , 2 , 3 , 4 ) और एस = 4 ≠ ε = डब्ल्यू । हम इस प्रकार के साथ छोड़ दिया जाता है { ( 1 , 2 , 3 , 4 ) , ( 1 , 2 , 3 , 6 ) , ( 4 , 5 , 6 , ε ) $(1, 2, 3, \epsilon)$$(1, 2, 3, 4)$$s = 4 \neq \epsilon = w$$\{(1, 2, 3, 4), (1, 2, 3, 6), (4, 5, 6, \epsilon)\}$बाईं ओर के लिए अपेक्षित परिणाम।

प्रमेय: R LEFT JOIN Sके बराबर है (R EQUIJOIN S) UNION ((((PROJECT_T R) DIFFERENCE (PROJECT_T S)) EQUIJOIN R) JOIN w)।

प्रमाण: (R EQUIJOIN S)हमें (1) और (2a) द्वारा आवश्यक सब कुछ देता है। हम दावा करते हैं कि ((((PROJECT_T R) DIFFERENCE (PROJECT_T S)) EQUIJOIN R) JOIN w)हमें (r, t, w)(2b) और (3) द्वारा आवश्यक फॉर्म का सब कुछ दिया गया है।

यह देखने के लिए, पहले ध्यान दें कि R(((PROJECT_T R) DIFFERENCE (PROJECT_T S)) EQUIJOIN R) में सभी tuples का सेट है , जिसके लिए S में संबंधित tuple नहीं है । यह देखने के लिए, यह ध्यान रखना चाहिए कि R और S (विशेषता सेट T ) में से सामान्य विशेषताओं को प्रोजेक्ट करके और अंतर लेते हुए, सभी को केवल और केवल उन ट्यूपल्स (स्कीमा टी के साथ ) के साथ छोड़ दिया जाता है जिन्हें R में दर्शाया गया है लेकिन एस नहीं । तक के साथ आर , हम सभी और केवल उन tuples की वसूली आर जिसमें विशेषताओं के लिए मान हैं टी जो में मौजूद हैं आर लेकिन नहीं में एस$R$$S$$R$$S$$T$$T$$R$$S$EQUIJOIN$R$$R$$T$$R$$S$; namely, precisely the set of tuples we have so far claimed.

Next, notice that the schema of (((PROJECT_T R) DIFFERENCE (PROJECT_T S)) is the same as that of $R$ (namely, $(R', T)$), while the schema of $w$ is $S'$. The JOIN operation is therefore a Cartesian product, we we get all tuples of the form $(r, t, w)$ where there is no $(t, s)$ in $S$ corresponding to $(r, t)$ in $R$.

To see that this is precisely the set of tuples we needed to add to R EQUIJOIN S in order to construct R LEFT JOIN S, consider the following: by construction, (3) is satisfied, since R EQUIJOIN S cannot contain $(r, t, s)$ if ((((PROJECT_T R) DIFFERENCE (PROJECT_T S)) EQUIJOIN R) JOIN w) contains $(r, t, w)$ (if it did, then the second part's containing $(r, t, w)$ would be a contradiction); if we were to add another $(r, t, w)$ not in ((((PROJECT_T R) DIFFERENCE (PROJECT_T S)) EQUIJOIN R) JOIN w), then there would be a $(t, s)$ in $S$ corresponding to $(r, t)$ in $R$, and by the definition of EQUIJOIN, $(r, t, s)$ would also be in R LEFT JOIN S, a contradiction of (3). This completes the proof.

Now we show that left join can be used to construct difference:

Theorem: R DIFFERENCE S is equivalent to PROJECT_T(SELECT_{t'=w}(R LEFT JOIN (SELECT_{s=s'}(((S JOIN RENAME_{T->T'}(S)))))))

Proof: Notice that here, $R'$ and $S'$ are empty, since all attributes are shared for DIFFERENCE to make sense. First, we create a new relation from $S$ by duplicating the attribute set in $S$ (handled by RENAME and JOIN) so that it consists of tuples $(t, t')$ on attribute set $(T, T')$ where $t = t'$ (handled by the SELECT). The left join leaves us with tuples of the form $(t, t')$ where $t=t'$ or $t'=w$. Now, to get rid of entries which do also appear in $S$, we must keep only the tuples of the form $(t, w)$, which is handled by the outermost SELECT. The last PROJECT gets rid of the temporary attribute set $T'$ and leaves us with the difference in terms of the original schema.

Example: Let $R = \{(1, 2), (3, 4), (5, 6)\}$ and $S = \{(3, 4), (5, 6), (7, 8)\}$. We first get $S$ with the RENAMEd attribute set $T'$: $\{(3, 4), (5, 6), (7, 8)\}$. The JOIN operation gives us the Cartesian product with all nine possible pairings; this set is not written here for reasons of formatting. The SELECT then pares this down to $\{(3, 4, 3, 4), (5, 6, 5, 6), (7, 8, 7, 8)\}$. The LEFT JOIN with $R$ gives $\{(1, 2, \epsilon, \epsilon), (3, 4, 3, 4), (5, 6, 5, 6)\}$. The SELECT gives $\{(1, 2, \epsilon, \epsilon)\}$. The PROJECT gives $\{(1, 2)\}$, the desired answer.

Comments

Please edit your post to use LaTeX syntax. Start by enclosing all your formula in $ symbols (for example, $(1,2)$ becomes $(1,2)$). Keywords like select should be put in ` (for instance, `SELECT` becomes SELECT).

— Raphael

@Raphael Thanks for pointing out that I should be using LaTeX for this. I have made a good-faith attempt at LaTeX'ing the math and backtick'ing the code... please let me know if there's anything else I should do. Thanks again!

— Patrick87

Great, thanks! You might want to consider $$...$$ to created indented (not inline) pieces of math. This can often improve readability if used correctly. MathJax also supports numbered equations but I am not sure how to do this.

— Raphael

I think your logic is faulty here. You are using DIFFERENCE to define LEFT JOIN, and then you use LEFT JOIN to express DIFFERENCE, concluding that SQL can do without it. For this to be valid, you should express LEFT JOIN in terms of operators other than DIFFERENCE, and then prove that DIFFERENCE is equivalent to it.

— Janoma

@Janoma I don't think that's required... we're trying to show that difference can be expressed in terms of left joins, so a functioning left join is assumed. Think about it: if what you're saying had merit, I could claim that LEFT JOIN is the "fundamental" or "necessary" operation, and demand that you define DIFFERENCE in terms of the other operators, but not LEFT JOIN. I have shown that each can simulate the other, so neither is more or less "fundamental" than the other... what makes DIFFERENCE special? In prop. logic, NOT and AND are complete, as are OR and NOT; you don't need all three.

— Patrick87

Answer 2

LEFT JOIN as implemented by SQL, does not produce relations as its result (because some attributes of the result will not have a value).

Ergo, LEFT JOIN as implemented by SQL, is not a direct counterpart of any relational algebra operator.

Ergo, The relational difference operator cannot be expressed in terms of LEFT JOIN (because LEFT JOIN cannot possibly be part of the relational algebra, this being because LEFT JOIN produces something that is not a relation, thus violating closure of the algebra).

Any set of primitive operators of a relational algebra that satisfies closure that I know of, always includes either relational difference or else relational semidifference.