गैर-संदर्भ-मुक्त कंपल्स के साथ संदर्भ-मुक्त भाषाओं के उदाहरण

Question

प्रसंग-मुक्त भाषाएं पूरकता के तहत बंद नहीं होती हैं। व्याख्यान में हम के रूप में ही तर्क दिया गया है यहाँ विकिपीडिया पर : के लिए

$$A = \{\mathtt a^n \mathtt b^n \mathtt c^m;~m, n ∈ ℕ_0\}\quad\text{and}\quad B = \{\mathtt a^m \mathtt b^n \mathtt c^n;~m, n ∈ ℕ_0\},$$ $A$ और $B$ दोनों संदर्भ-मुक्त हैं, लेकिन उनका प्रतिच्छेदन $A ∩ B$ is B नहीं है। चूंकि संदर्भ-मुक्त भाषाएं यूनियनों के तहत बंद हैं, इसलिए उन्हें पूरकता के तहत बंद नहीं किया जा सकता है।

हालाँकि, यह केवल यह दिखाता है कि तीन भाषाओं में से $A$ , $B$ , और $\overline A \cup \overline B$ एक संदर्भ-रहित भाषा है, जो गैर-संदर्भ-मुक्त पूरक के साथ है, लेकिन इसके लिए इनमें से कोई एक सत्य नहीं है। तो यह क्या है?

इसके अलावा, एक संदर्भ-रहित भाषा का एक गैर-संदर्भ-मुक्त पूरक के साथ एक न्यूनतम और सुरुचिपूर्ण उदाहरण है, शायद एक द्विआधारी वर्णमाला के ऊपर?

Answer 1

भाषा संदर्भ-मुक्त नहीं है (जैसा कि पंपिंग लेम्मा का उपयोग करके दिखाया जा सकता है; यहां देखें )। इसका पूरक संदर्भ-मुक्त है (जैसा कि यहां दिखाया गया है )। यह संदर्भ-मुक्त भाषा (एक द्विआधारी वर्णमाला के ऊपर) का एक सरल और सुरुचिपूर्ण उदाहरण देता है, जिसका पूरक संदर्भ-मुक्त नहीं है, जैसा आपने अनुरोध किया था।$L_1= \{ww \mid w \in \{a,b\}^*\}$$L_2 = \{a,b\}^* \setminus L_1$

Answer 2

उदाहरण आप विकिपीडिया पर देखते हैं: , । यह देखना आसान है कि एक पीडीए को परिभाषित करके और को संदर्भ-मुक्त किया जा सकता है; आप ध्यान दें कि वे निर्धारक संदर्भ-मुक्त भाषाएं हैं, जो पूरक के तहत बंद एक वर्ग है। इसलिए एक संदर्भ-रहित भाषा है, जो गैर-संदर्भ के साथ - पूरक है ।$A=\{a^n b^n c^m\}$$B=\{a^m b^n c^n\}$$\overline{A}$$\overline{B}$$\overline{A} \cup \overline{B}$$A \cap B=\{a^n b^n c^n\}$

एक ही नस में, भाषा नहीं संदर्भ-मुक्त है, लेकिन यह पूरक है।$\{a^n b^m c^n d^m\}$

Comments

सवाल "न्यूनतम और सुरुचिपूर्ण" के लिए पूछता है और ये उदाहरण उनके जवाब में @DW द्वारा दिए गए सरल उदाहरण की तुलना में अधिक जटिल हैं।

— डेविड रिचेर्बी

@ दाऊद Richerby: IMO उदाहरण की तुलना में अधिक सुंदर हो सकता है या , लेकिन यह साबित करने के लिए अधिक जटिल है, जबकि अन्य दो यांत्रिक हैं। $\overline{\{ww\}}$$\overline{\{a^n b^n c^n\}}$$\overline{\{a^n b^n c^m d^m\}}$

— sdcvvc

आपके दूसरे उदाहरण में आपके पास होना चाहिए । $\{a^nb^mc^nd^m\}$

— युवल फिल्मस

हां, फिक्स के लिए धन्यवाद (मुझे लगता है कि मैंने टिप्पणी में एक ही त्रुटि की, अब संपादित करने में बहुत देर हो चुकी है)।

— sdcvvc