क्या यह एनपी-हार्ड है? मैं इसे साबित नहीं कर सकता।

Question

मुझे एक समस्या है और मुझे लगता है कि यह एनपी-हार्ड है, लेकिन मैं इसे साबित नहीं कर सकता।

यहाँ एक लेयर ग्राफ है, जहाँ लेयर 0 hignest लेयर और लेयर L सबसे कम है।

परतों के बीच कुछ निर्देशित किनारे हैं, जहां एक किनारे (ए, बी) इंगित करता है कि नोड ए [कवर] नोड बी कर सकता है और जब ए बी को कवर कर सकता है, तो ए से बी तक किसी भी मार्ग पर प्रत्येक नोड बी को कवर कर सकता है, बी कवर कर सकता है। अपने आप।

अंत में यहां नोड एस का एक सेट आता है। मुझे नोड एएनएस का एक और सेट चुनने की आवश्यकता है, और यह सुनिश्चित करें कि एस में प्रत्येक नोड क्यू के लिए, एएनएस में एक नोड पी और पी कवर क्यू मौजूद है।

प्रत्येक नोड के लिए एक लागत है, और मुझे सेट ANS की कुल लागत को न्यूनतम करने की आवश्यकता है।

क्या यह एनपी-कठिन समस्या है? मुझे ऐसा लगता है लेकिन मैं इसे साबित नहीं कर सकता।

क्या तुम मेरी मदद कर सकते हो?

आपका बहुत बहुत धन्यवाद।

Comments

ऊपरी परत से नोड की लागत ग्राफ में किसी भी पथ में अधिक महंगी है।

हाँ, यह वास्तव में मुश्किल एनपी लगता है। समान न्यूनतम सेट कवर समस्या को छोड़ें। en.wikipedia.org/wiki/Set_cover_problem

क्या निर्देशित किनारे में कोई प्रतिबंध है, जैसे कि किनारों को केवल उच्च परत में एक नोड को निचली परत में एक नोड से जोड़ता है? क्या मैं स्पष्ट कर सकता हूं कि एक ही परत में नोड्स के बीच कोई बढ़त नहीं हो सकती है?

— जस्टफॉल

@ अन्याय, नहीं, एक ही परत में नोड्स के बीच कोई बढ़त नहीं है। धन्यवाद :)

— qin.sun

Answer 1

हाँ यह समस्या निश्चित रूप से एनपी कठिन है। मैं इस उत्तर को पोस्ट कर रहा हूं क्योंकि आपको प्रमाण की आवश्यकता है।

यदि आप इस लिंक http://en.wikipedia.org/wiki/Set_cover_problem का अनुसरण करते हैं, तो यह कहता है कि न्यूनतम सेट कवर समस्या का अनुकूलन संस्करण एनपी-हार्ड है।

लिंक में समस्या:

तत्वों के एक सेट को देखते हुए {1,2, ..., m} (ब्रह्मांड कहा जाता है) और n सेट का एक सेट जिसका संघ ब्रह्मांड के बराबर है, सेट कवर की समस्या एस के सबसे छोटे उपसमूह की पहचान करना है जिसका संघ बराबर है ब्रम्हांड। उदाहरण के लिए, ब्रह्मांड यू = {1, 2, 3, 4, 5} और सेट के सेट पर विचार करें S = {{1, 2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {4, 5}}। स्पष्ट रूप से S का मिलन U है। हालाँकि, हम निम्नलिखित तत्वों के साथ सभी तत्वों को कवर कर सकते हैं, छोटे सेट: {{1, 2, 3}, {4, 5}}

आप इसे अपनी समस्या से संबंधित कर सकते हैं:

S, नोड्स का सेट है जो आपके इनपुट सेट में कम से कम एक नोड को कवर करता है। यह किनारों के दिशा के साथ सेट किए गए इनपुट के नोड्स पर डीएफएस का संचालन करके पाया जा सकता है।

अब लिंक में वर्णित समस्या आपकी समस्या का एक विशेष मामला है, जहां प्रत्येक नोड की लागत बराबर है और आप केवल नोड्स (सेट) की संख्या को कम करना चाहते हैं।

इसलिए आपकी समस्या सामान्य मामले में हल करना और भी मुश्किल है और इसलिए यह एनपी हार्ड है।

Comments

मुझे लगता है कि यह ओपी की परिभाषा के साथ सच है, लेकिन वह यह भी निर्दिष्ट नहीं करता है कि क्या आप एक नोड के साथ एक नोड के साथ उस नोड के रूप में "कवर" कर सकते हैं। अगर ऐसा है, तो समस्या थोड़ी अलग है। अन्यथा, यदि आप केवल एक नोड को एक उच्च परत से किनारे के माध्यम से कवर कर सकते हैं तो यह वास्तव में सेट ऑप्टिमाइज़ेशन के बराबर प्रतीत होता है

— roliu

@roliu इससे क्या फर्क पड़ेगा कि एक ही लेयर नोड्स को कवर किया जा सकता है या नहीं। जैसा कि मैं समझता हूं कि समस्या यह है कि हमारे पास नोड ए से बी के बीच के मार्ग के साथ एक निर्देशित ग्राफ है, जिसका अर्थ है कि ए बी कवर करता है

हम्म, मुझे यकीन नहीं है। यह सिर्फ अजीब है क्योंकि मुझे नहीं लगता कि ओपी में लगभग कोई भी जानकारी वास्तव में उपयोगी है। परतें अप्रासंगिक लगती हैं और इसलिए यह संक्रामकता है। मैं ज्यादातर ओपी के लिए यह स्पष्ट करने के लिए इंतजार कर रहा हूं कि वह वास्तव में कुछ अलग था। विशेष रूप से, आप दिखा सकते हैं कि यह न केवल कम से कम सेट कवर जितना कठिन है, यह वास्तव में समकक्ष है। क्योंकि ओपी की समस्या में किसी भी न्यूनतम कवर में केवल उसके इनपुट सेट के पड़ोसी नोड्स होंगे S। हो सकता है कि नकारात्मक लागतें या कुछ ऐसा हो ...

— roliu