सरल परिमित नियमित भाषाओं के लिए पम्पिंग लेम्मा

Question

विकिपीडिया में नियमित रूप से लंबू के लिए पम्पिंग लेम्मा की निम्नलिखित परिभाषा है ...

को एक नियमित भाषा होने दें । फिर एक पूर्णांक depending 1 मौजूद है जो केवल पर निर्भर करता है जैसे कि प्रत्येक स्ट्रिंग$L$$p$$L$$w$ में $L$ कम से कम लंबाई के $p$ ( $p$ "पंप लंबाई" कहा जाता है) के रूप में लिखा जा सकता है $w$ = $xyz$ , (यानी $w$ विभाजित किया जा सकता तीन पदार्थों में), निम्नलिखित स्थितियों को संतुष्ट करना:

1. | $y$ | ≥ १
2. | $xy$ | ≤ $p$
3. सभी के लिए $i$ ≥ 0, $xy^iz$ ∈ $L$

मैं यह नहीं देखता कि यह एक सरल परिमित नियमित भाषा के लिए कैसे संतुष्ट है। अगर मैं {की एक वर्णमाला है $a,b$ } और नियमित अभिव्यक्ति $ab$ तो $L$ सिर्फ एक शब्द है जिसका है के होते हैं $a$ के बाद $b$ । मैं अब देखना चाहता हूं कि क्या मेरी नियमित भाषा पम्पिंग लेम्मा को संतुष्ट करती है ...

मेरे रेगुलर एक्सप्रेशन में कुछ भी नहीं दोहराता के रूप में के मान $y$ खाली ताकि हालत 3 सभी के लिए satisifed है होना चाहिए $i$ । लेकिन अगर ऐसा है तो यह स्थिति 1 को विफल करता है जो कहता है कि $y$ लंबाई कम से कम 1 होनी चाहिए!

यदि इसके बजाय मैं $y$ हो या तो $a$ , $b$ या $ab$ तो यह हालत 1 संतुष्ट लेकिन हालत 3 असफल है क्योंकि यह वास्तव में स्वयं को दोहराता है कभी नहीं होगा।

मैं स्पष्ट रूप से स्पष्ट रूप से कुछ मन को याद कर रहा हूं। जो है?

Answer 1

आप सही हैं - हम परिमित शब्दों को "पम्पिंग" की अनुमति नहीं दे सकते $L$। आप जिस चीज़ को याद कर रहे हैं वह यह है कि लेम्मा कहती है कि एक नंबर p मौजूद है , लेकिन हमें संख्या नहीं बताती है।$p$

पी से लंबे समय तक सभी शब्दों को लेम्मा द्वारा पंप किया जा सकता है। एक परिमित के लिए एल , ऐसा होता है तो यह है कि पी में सबसे लंबा शब्द की लंबाई से भी बड़ा है एल । इस प्रकार, लेम्मा केवल रिक्त रूप से रखती है, और एल में किसी भी शब्द पर लागू नहीं किया जा सकता है , अर्थात एल में कोई भी शब्द "कम से कम पी " लंबाई की स्थिति को संतुष्ट नहीं करता है क्योंकि लेम्मा की आवश्यकता होती है।$p$$L$$p$$L$$L$$L$$p$

एक अनुमान: यदि लंबाई पम्पिंग है पी , और कुछ शब्द वहां मौजूद डब्ल्यू ∈ एल कम से कम लंबाई के पी , फिर एल अनंत है।$L$$p$$w\in L$$p$$L$

Comments

खाली पूरा सेट का एक अच्छा उदाहरण -statements। $\forall$

— राफेल

Answer 2

पम्पिंग लेम्मा का उपयोग आमतौर पर अनंत भाषाओं पर किया जाता है, अर्थात ऐसी भाषाएं जिनमें अनंत संख्या में शब्द होते हैं। किसी भी परिमित भाषा , क्योंकि यह हमेशा DFA द्वारा राज्य की परिमित संख्या के साथ स्वीकार किया जा सकता है, L को नियमित होना चाहिए।$L$$L$

विकिपीडिया (के अनुसार http://en.wikipedia.org/wiki/Pumping_lemma_for_regular_languages#Formal_statement ), पम्पिंग लेम्मा का कहना है: $\begin{array}{l} (\forall L\subseteq \Sigma^*) \\ \quad (\mbox{regular}(L) \Rightarrow \\ \quad ((\exists p\geq 1) ( (\forall w\in L) ((|w|\geq p) \Rightarrow \\ \quad\quad ((\exists x,y,z \in \Sigma^*) (w=xyz \land (|y|\geq 1 \land |xy|\leq p \land (\forall i\geq 0)(xy^iz\in L)))))))) \end{array}$

किसी भी परिमित भाषा के लिए , चलो एल मीटर एक एक्स में शब्दों की अधिकतम लंबाई होना एल , और पी लेम्मा हो पंप में एल मीटर एक एक्स + 1 । पम्पिंग लेम्मा रखती है के बाद से वहाँ में कोई शब्द हैं एल जिसकी लंबाई ≥ एल मीटर एक एक्स + 1 ।$L$$l_{max}$$L$$p$$l_{max}+1$$L$$\geq l_{max}+1$

Answer 3

एक तरह से पम्पिंग लेम्मा का मुख्य भाग को औपचारिक रूप देने के लिए इस का उपयोग करते हुए है :$L^{\geq k} = \{ w \in L \mid |w| \geq k\}$

यदि नियमित रूप से है, वहां मौजूद पी ∈ एन ताकि$L$$p \in \mathbb{N}$

(*)।$\qquad \displaystyle \forall w \in L^{\geq p}.\ \exists x,y,z \dots$

सभी परिमित और पी के लिए > अधिकतम { | w | | डब्ल्यू ∈ एल } , हम स्पष्ट रूप से है कि है एल ≥ पी = ∅ । इसलिए (*) इस तरह के पी के लिए (खाली) सच है ।$L$$p > \max \{ |w| \mid w \in L\}$$L^{\geq p} = \emptyset$$p$