लीनियर प्रोग्रामिंग के लिए मजबूत द्वंद्व प्रमेय का लघु और चालाक प्रमाण

Question

रैखिक कार्यक्रमों पर विचार करें

$$\begin{array}{|ccc|} \hline Primal: & A\vec{x} \leq \vec{b} \hspace{.5cm} & \max \vec{c}^T\vec{x} \\ \hline \end{array}$$ $$\begin{array}{|ccc|} \hline Dual: & \vec{c} \leq \vec{y}^TA \hspace{.5cm} & \min \vec{y}^T\vec{b} \\ \hline \end{array}$$

कमजोर द्वंद्व प्रमेय में कहा गया है कि अगर $\vec{x}$ और $\vec{y}$ बाधाओं को संतुष्ट करते हैं तो $\vec{c}^T\vec{x} \leq \vec{y}^T\vec{b}$ । लीनियर बीजगणित: $\vec{c}^T\vec{x} \leq \vec{y}^T A \vec{x} \leq \vec{y}^T\vec{b}$ ।

मजबूत द्वंद्व प्रमेय में कहा गया है कि अगर $\vec{x}$ लिए एक इष्टतम समाधान है तो $\vec{y}$ जो दोहरे और vec {c} ^ T \ vec {x} = \ के लिए एक समाधान है vec {y} ^ T \ vec {b}$\vec{c}^T\vec{x} = \vec{y}^T\vec{b}$ ।

क्या मजबूत द्वैत प्रमेय के लिए समान रूप से छोटा और चालाक सबूत है?

Comments

ब्रैडली, हेक्स और मैग्नेटी द्वारा MIT ऑनलाइन पाठ्यक्रम web.mit.edu/15.053/www का अध्याय 4 इन पंक्तियों के साथ एक यथोचित संक्षिप्त प्रमाण देता है। यह वही है जो आप खोज रहे हैं?

— कोड़ी

@ कोडी, ठीक है, यह अनिवार्य रूप से सीएलआरएस में एक के समान है। यह ठीक हो सकता है यदि आप इसे एक चालाक रेखीय बीजगणित तरीके से व्यक्त कर सकते हैं (अर्थात कोई रकम नहीं)।

— केवह

ऐसा लगता है कि जो मैं चाहता था वह शायद संभव नहीं है। फ़ार्कस अंतरिक्ष की निकटता का उपयोग करता है जिसका अर्थ है कि शायद कोई शुद्ध रैखिक बीजगणित प्रमाण नहीं है।

— केवह

अपने छात्रों को दिखाने के लिए खुद को कुछ भी नहीं बोझिल करने की कोशिश कर रहा है, (इसलिए उन्हें विश्वास पर मजबूत द्वंद्व लेने की जरूरत नहीं है), और जो मैं भर में आया हूं वह भी बहुत बोझिल श्रेणी में अधिक है। बस डैन स्पीलमैन के वर्ग के नोट्स में एक तर्क मिला, जो काफी छोटा और प्रतीत होता है कि सरल है। सुनिश्चित नहीं है कि अगर यह कुछ जटिलता छिपा रहा है, या यदि कुछ गायब है? (यह बताने के लिए पर्याप्त रूप से पूरी तरह से जांच नहीं की गई है। अभी तक।) cs.yale.edu/homes/spielman/BAP/lect12.pdf

— मैग्नस ले हेटलैंड

आह, मुझे लगता है कि एक केंद्रीय बिंदु पिछले व्याख्यान में ज्यामितीय व्याख्या है, जो हमें सबूतों के सिम्प्लेक्स परिवार में वापस ले जाती है: cs.yale.edu/homes/spielman/BAP/lect11/lect11.pdf

— मैग्नस ले हेटलैंड

Answer 1

शायद ऩही। यहाँ एक वैचारिक तर्क आधारित है

Farkas Lemma : वास्तव में निम्नलिखित विकल्पों में से एक का हल है:

1. $Ax \le b$ और$x \ge 0$
2. $y^TA\ge 0$ और$y^Tb < 0$

अब का इष्टतम उद्देश्य मान होगा। आज्ञा देना मनमाना हो। चलो होने के लिए एक अतिरिक्त के साथ अंतिम पंक्ति के रूप में। चलो होने के लिए एक अतिरिक्त के साथ अंतिम मान के रूप में।$\delta$$\epsilon > 0$$A'$$A$$-c^T$$b'$$b$$-\delta - \epsilon$

सिस्टम का कोई हल नहीं है। फ़ार्कस द्वारा, एक ऐसा है:$A'x'\le b'$$y' = (y,\alpha)$

$y^TA\ge \alpha c$ और ।$y^Tb < \alpha (\delta + \epsilon)$

ध्यान दें कि if हम के अन्य विकल्प में हैं। अतः * ।$\epsilon = 0$$\alpha > 0$

स्केल ताकि । दोहरी व्यवहार्य है। कमजोर द्वंद्व का तात्पर्य ।$y'$$\alpha = 1$$y$$\delta \le y^Tb < \delta + \epsilon$

Comments

मुझे लगता है कि जेफ एरिकसन के व्याख्यान नोट्स में यह प्रमाण है । मैं एक ऐसी चीज की तलाश में हूं जो एप्सिलॉन सामान (शुद्ध रैखिक बीजगणित की तरह) से बचा जाए।

— केवह

जेफ़ई के पास थोड़ा अलग है, और यह ज्यामिति को और अधिक समझाता है। वैसे भी, आप यह नहीं खोजना चाहते हैं कि आप क्या चाहते हैं, इस अर्थ में कि संभव क्षेत्र एक पॉलीहेड्रॉन है, न कि एक रैखिक स्थान, इसलिए कुछ को अंततः इसका उपयोग करने की आवश्यकता होगी। (यहाँ, यह फ़ार्कस में छिपा है। गार्टनर और मटौसेक की पुस्तक इस सामग्री के लिए वास्तव में बहुत अच्छी है। मुझे पूरा यकीन है कि यह प्रमाण है।)

— लुईस