लीनियर प्रोग्रामिंग के लिए मजबूत द्वंद्व प्रमेय का लघु और चालाक प्रमाण


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रैखिक कार्यक्रमों पर विचार करें

Primal:AxbmaxcTx
Dual:cyTAminyTb

कमजोर द्वंद्व प्रमेय में कहा गया है कि अगर x और y बाधाओं को संतुष्ट करते हैं तो cTxyTb । लीनियर बीजगणित: cTxyTAxyTb

मजबूत द्वंद्व प्रमेय में कहा गया है कि अगर x लिए एक इष्टतम समाधान है तो y जो दोहरे और vec {c} ^ T \ vec {x} = \ के लिए एक समाधान है vec {y} ^ T \ vec {b}cTx=yTb

क्या मजबूत द्वैत प्रमेय के लिए समान रूप से छोटा और चालाक सबूत है?


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ब्रैडली, हेक्स और मैग्नेटी द्वारा MIT ऑनलाइन पाठ्यक्रम web.mit.edu/15.053/www का अध्याय 4 इन पंक्तियों के साथ एक यथोचित संक्षिप्त प्रमाण देता है। यह वही है जो आप खोज रहे हैं?
कोड़ी

@ कोडी, ठीक है, यह अनिवार्य रूप से सीएलआरएस में एक के समान है। यह ठीक हो सकता है यदि आप इसे एक चालाक रेखीय बीजगणित तरीके से व्यक्त कर सकते हैं (अर्थात कोई रकम नहीं)।
केवह

ऐसा लगता है कि जो मैं चाहता था वह शायद संभव नहीं है। फ़ार्कस अंतरिक्ष की निकटता का उपयोग करता है जिसका अर्थ है कि शायद कोई शुद्ध रैखिक बीजगणित प्रमाण नहीं है।
केवह

अपने छात्रों को दिखाने के लिए खुद को कुछ भी नहीं बोझिल करने की कोशिश कर रहा है, (इसलिए उन्हें विश्वास पर मजबूत द्वंद्व लेने की जरूरत नहीं है), और जो मैं भर में आया हूं वह भी बहुत बोझिल श्रेणी में अधिक है। बस डैन स्पीलमैन के वर्ग के नोट्स में एक तर्क मिला, जो काफी छोटा और प्रतीत होता है कि सरल है। सुनिश्चित नहीं है कि अगर यह कुछ जटिलता छिपा रहा है, या यदि कुछ गायब है? (यह बताने के लिए पर्याप्त रूप से पूरी तरह से जांच नहीं की गई है। अभी तक।) cs.yale.edu/homes/spielman/BAP/lect12.pdf
मैग्नस ले हेटलैंड

आह, मुझे लगता है कि एक केंद्रीय बिंदु पिछले व्याख्यान में ज्यामितीय व्याख्या है, जो हमें सबूतों के सिम्प्लेक्स परिवार में वापस ले जाती है: cs.yale.edu/homes/spielman/BAP/lect11/lect11.pdf
मैग्नस ले हेटलैंड

जवाबों:


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शायद ऩही। यहाँ एक वैचारिक तर्क आधारित है

Farkas Lemma : वास्तव में निम्नलिखित विकल्पों में से एक का हल है:

  1. Axb औरx0
  2. yTA0 औरyTb<0

अब का इष्टतम उद्देश्य मान होगा। आज्ञा देना मनमाना हो। चलो होने के लिए एक अतिरिक्त के साथ अंतिम पंक्ति के रूप में। चलो होने के लिए एक अतिरिक्त के साथ अंतिम मान के रूप में।δϵ>0AAcTbbδϵ

सिस्टम का कोई हल नहीं है। फ़ार्कस द्वारा, एक ऐसा है:Axby=(y,α)

yTAαc और ।yTb<α(δ+ϵ)

ध्यान दें कि if हम के अन्य विकल्प में हैं। अतः * ।ϵ=0α>0

स्केल ताकि । दोहरी व्यवहार्य है। कमजोर द्वंद्व का तात्पर्य ।yα=1yδyTb<δ+ϵ


मुझे लगता है कि जेफ एरिकसन के व्याख्यान नोट्स में यह प्रमाण है । मैं एक ऐसी चीज की तलाश में हूं जो एप्सिलॉन सामान (शुद्ध रैखिक बीजगणित की तरह) से बचा जाए।
केवह

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जेफ़ई के पास थोड़ा अलग है, और यह ज्यामिति को और अधिक समझाता है। वैसे भी, आप यह नहीं खोजना चाहते हैं कि आप क्या चाहते हैं, इस अर्थ में कि संभव क्षेत्र एक पॉलीहेड्रॉन है, न कि एक रैखिक स्थान, इसलिए कुछ को अंततः इसका उपयोग करने की आवश्यकता होगी। (यहाँ, यह फ़ार्कस में छिपा है। गार्टनर और मटौसेक की पुस्तक इस सामग्री के लिए वास्तव में बहुत अच्छी है। मुझे पूरा यकीन है कि यह प्रमाण है।)
लुईस
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