मैं किसी सबसेट के सबसेट के लिए सबसे छोटा प्रतिनिधित्व कैसे पा सकता हूं?


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मैं निम्नलिखित समस्या या एनपी-कठोरता के प्रमाण के लिए एक कुशल एल्गोरिथ्म की तलाश कर रहा हूं।

चलो एक सेट और हो के सबसेट का एक सेट । एक अनुक्रम ज्ञात करें की लंबाई कम से कम इस तरह की है कि प्रत्येक , ऐसा है कि ।एक पी ( Σ ) Σ डब्ल्यू Σ * एल कश्मीर एन { w कश्मीर + मैं | 0 मैं < | एल | } = एलΣAP(Σ)ΣwΣLAkN{wk+i0i<|L|}=L

उदाहरण के लिए, , शब्द समस्या का हल है, क्योंकि के लिए , for वहाँ ।w = b a c { a , b } k = 0 { a , c } k = 1A={{a,b},{a,c}}w=bac{a,b}k=0{a,c}k=1

मेरी प्रेरणा के रूप में, मैं एक परिमित ऑटोमेटन के किनारों के सेट का प्रतिनिधित्व करने की कोशिश कर रहा हूं, जहां प्रत्येक किनारे को इनपुट वर्णमाला के अक्षरों के एक सेट द्वारा लेबल किया जा सकता है। मैं एक स्ट्रिंग स्टोर करना चाहता हूं और फिर प्रत्येक स्ट्रिंग में उस स्ट्रिंग को पॉइंटर्स की एक जोड़ी रखें। मेरा लक्ष्य उस स्ट्रिंग की लंबाई को कम करना है।


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दूसरे शब्दों में, समस्या को एक अनुक्रम में सेट करने का आदेश है को अधिकतम करने का? | एल मैंएल मैं + 1 |L1,,Ln|LiLi+1|
कारोलिस जुओदेलो

@ KarolisJuodelė, मुझे नहीं लगता कि, काफी है के लिए के बाद से है आप में तत्वों डाल करने के लिए हो सकता है में अगर वे भी दो बार ' में फिर से । उदाहरण के लिए , आप साझा कर सकते हैं पहले दो या पिछले दो, लेकिन उन के बीच में नहीं के बीच सभी, कम से कम होगा । एल मैंएल मैं + 2 डब्ल्यू एल मैं + 1Li,Li+1,Li+2LiLi+2wLi+1एक w एक सी एक {{a,b},{a,c},{a,d}}awbacad
अवकर

@ KarolisJuodelė, इसके अलावा, ऐसे मामले हैं जहां कुछ , , जो इसे और भी जटिल बनाता है क्योंकि ऐसे मामले में "पड़ोस ऑर्डरिंग" कुल नहीं हो सकता है। एल मैंएल जेijLiLj
अवकर

बस मुझे खुश करने के लिए, अगर मुझे सवाल सही मिला, अगर सेट , तब एक शब्द दी गई आवश्यकताओं को पूरा करता है, लेकिन (संभव) न्यूनतम ऐसे शब्द और समाधान ? :)सी डब्ल्यू डब्ल्यू एल डब्ल्यू एल एफ सी डब्ल्यू एल A={{c,o,w},{o,w,l},{w,o,l,f}}cowowlwolfcowlf
मिंडोगास्क

@ मिंडागासके, यह सही है, बहुत अच्छा उदाहरण है :)
अवकर

जवाबों:


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मेरा मानना ​​है कि मुझे हैमिल्टनियन मार्ग से कमी मिली , इस प्रकार यह समस्या एनपी-कठिन साबित हुई।

शब्द कॉल के लिए एक गवाह एक , अगर (प्रत्येक के लिए यह संतुष्ट सवाल से हालत एल , वहाँ मीटर 1 ऐसी है कि { w मीटर + मैं | 0 मैं < | एल | } = एल ) ।wΣALAm1{wm+i0i<|L|}=L

मूल समस्या के निर्णय संस्करण पर विचार करें, यानी तय कुछ के लिए है कि क्या और कश्मीर 0 , वहाँ के लिए एक गवाह है एक अधिक से अधिक लंबाई की कश्मीर । यह समस्या एक के रूप में मूल समस्या का उपयोग कर हल किया जा सकता ओरेकल बहुपद समय (तब को इसकी लंबाई की तुलना करें, कम से कम गवाह को खोजने में कश्मीर )।Ak0Akk

अब कमी के मूल के लिए। चलो एक सरल, अनिर्दिष्ट, जुड़ा ग्राफ हो। प्रत्येक के लिए वी वी , चलो एल वी = { v } { | वी } शिखर युक्त सेट हो वी और उसके आसन्न किनारों के सभी। सेट Σ = और एक = { एल वी | वी वी } । तब जीG=(V,E)vVLv={v}{eEve}vΣ=EA={LvvV}Gएक Hamiltonian पथ है यदि और केवल यदि वहाँ के लिए एक गवाह है अधिक से अधिक लंबाई की 2 | | + 1A2|E|+1

प्रमाण। बता दें कि हैमिल्टन मार्ग में G और H = { e 1 , e 2 , , e n - 1 } पथ पर सभी किनारों का सेट है। प्रत्येक शिखर के लिए वी , सेट को परिभाषित यू वी = एल वीएच । प्रत्येक यू वी के लिए α v का एक मनमाना क्रम चुनें । शब्दv1e1v2en1vnGH={e1,e2,,en1}vUv=LvHαvUv A का साक्षी है, क्योंकि L v 1 को प्रतिस्थापन α 1 e 1 , L v n द्वारा e n - 1 α n द्वारा दर्शाया गया है।, और प्रत्येक v i के लिए , मैं for { 1 , n } , L vw=αv1e1αv2e2en1αvnALv1α1e1Lvnen1αnvii{1,n} का प्रतिनिधित्व करती है मैं - 1 यू वी मैंमैं। इसके अलावा, प्रत्येक में बढ़तमें दो बार होता हैwके अपवाद के साथ| वी| -एचमें1किनारे, जो एक बार होता है, औरवीमें प्रत्येक शीर्षएक बार होता है, दे रहा है| w| =2| | +1Lviei1uvieiEw|V|1HV|w|=2|E|+1

अन्य दिशा के लिए, को अधिकतम 2 में A की मनमानी गवाह होने दें | + 1 । जाहिर है, प्रत्येक और वी वी में होता है डब्ल्यू कम से कम एक बार। व्यापकता की हानि के बिना, मान लें कि प्रत्येक में होता है डब्ल्यू दो बार अधिक से अधिक और प्रत्येक वी वी ठीक एक बार होता है, अन्यथा w से तत्वों को हटाकर एक छोटा सा गवाह पाया जा सकता है । चलो एच सभी किनारों में होने वाली के सेट होwA2|E|+1eEvVweEwvVwHEएक बार डब्ल्यू । उपरोक्त मान्यताओं को देखते हुए, यह माना जाता है कि | w | = 2 | | - | एच | + | वी | w|w|=2|E||H|+|V|

का एक सन्निहित-स्ट्रिंग पर विचार फार्म के यू 1 2 ... कश्मीर वी , जहां यू , वी वी , मैं । हम कहते हैं कि यू , वी आसन्न हैं। सूचना है कि मैंएच , तो मैं = { यू , वी } , क्योंकि मैं केवल एक बार होता है, फिर भी यह दो कोने के निकट है जी । इसलिए, सबसे अधिक में से एकwue1e2ekvu,vVeiEu,veiHei={u,v}eiG , H में हो सकता है। इसी तरह, में कोई बढ़त एच में हो सकता है w पहले सिरे से पहले या अंतिम शीर्ष बिंदु के बाद।eiHHw

अब, वहाँ हैं कोने, इसलिए | एच | | वी | - 1 । वहाँ से, यह इस प्रकार है कि | w | 2 | | + 1 । चूंकि हम मान लेते हैं | w | 2 | | + 1 , हमें समानता मिलती है। वहाँ से हमें मिलता है | एच | = | वी | - 1 । कबूतर के सिद्धांत से, एच से एक किनारा है|V||H||V|1|w|2|E|+1|w|2|E|+1|H|=|V|1H में समीपवर्ती कोने की प्रत्येक जोड़ी के बीच । निरूपित 1 घंटा 2 ... n - 1 से सभी तत्वों एच क्रम में वे में प्रदर्शित में डब्ल्यू । यह इस प्रकार है कि v 1 h 1 v 2 h 2h n - 1 v n G में एक हैमिल्टन मार्ग है । wh1h2hn1Hwv1h1v2h2hn1vnG

चूंकि हैमिल्टन मार्ग के अस्तित्व को तय करने की समस्या एनपी-कठोर है और उपरोक्त कमी बहुपद है, इसलिए मूल समस्या एनपी-हार्ड भी है।

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