मेरा मानना है कि मुझे हैमिल्टनियन मार्ग से कमी मिली , इस प्रकार यह समस्या एनपी-कठिन साबित हुई।
शब्द कॉल के लिए एक गवाह एक , अगर (प्रत्येक के लिए यह संतुष्ट सवाल से हालत एल ∈ ए , वहाँ मीटर ≥ 1 ऐसी है कि { w मीटर + मैं | 0 ≤ मैं < | एल | } = एल ) ।w∈Σ∗AL∈Am≥1{wm+i∣0≤i<|L|}=L
मूल समस्या के निर्णय संस्करण पर विचार करें, यानी तय कुछ के लिए है कि क्या और कश्मीर ≥ 0 , वहाँ के लिए एक गवाह है एक अधिक से अधिक लंबाई की कश्मीर । यह समस्या एक के रूप में मूल समस्या का उपयोग कर हल किया जा सकता ओरेकल बहुपद समय (तब को इसकी लंबाई की तुलना करें, कम से कम गवाह को खोजने में कश्मीर )।Ak≥0Akk
अब कमी के मूल के लिए। चलो एक सरल, अनिर्दिष्ट, जुड़ा ग्राफ हो। प्रत्येक के लिए वी ∈ वी , चलो एल वी = { v } ∪ { ई ∈ ई | वी ∈ ई } शिखर युक्त सेट हो वी और उसके आसन्न किनारों के सभी। सेट Σ = ई और एक = { एल वी | वी ∈ वी } । तब जीG=(V,E)v∈VLv={v}∪{e∈E∣v∈e}vΣ=EA={Lv∣v∈V}Gएक Hamiltonian पथ है यदि और केवल यदि वहाँ के लिए एक गवाह है अधिक से अधिक लंबाई की 2 | ई | + 1 ।A2|E|+1
प्रमाण। बता दें कि हैमिल्टन मार्ग में G और H = { e 1 , e 2 , … , e n - 1 } पथ पर सभी किनारों का सेट है। प्रत्येक शिखर के लिए वी , सेट को परिभाषित यू वी = एल वी ∖ एच । प्रत्येक यू वी के लिए α v का एक मनमाना क्रम चुनें । शब्दv1e1v2…en−1vnGH={e1,e2,…,en−1}vUv=Lv∖HαvUv A का साक्षी है, क्योंकि L v 1 को प्रतिस्थापन α 1 e 1 , L v n द्वारा e n - 1 α n द्वारा दर्शाया गया है।, और प्रत्येक v i के लिए , मैं for { 1 , n } , L vw=αv1e1αv2e2…en−1αvnALv1α1e1Lvnen−1αnvii∉{1,n} का प्रतिनिधित्व करती हैई मैं - 1 यू वी मैं ईमैं। इसके अलावा, प्रत्येक में बढ़तईमें दो बार होता हैwके अपवाद के साथ| वी| -एचमें1किनारे, जो एक बार होता है, औरवीमें प्रत्येक शीर्षएक बार होता है, दे रहा है| w| =2| ई| +1।Lviei−1uvieiEw|V|−1HV|w|=2|E|+1
अन्य दिशा के लिए, को अधिकतम 2 में A की मनमानी गवाह होने दें ई | + 1 । जाहिर है, प्रत्येक ई ∈ ई और वी ∈ वी में होता है डब्ल्यू कम से कम एक बार। व्यापकता की हानि के बिना, मान लें कि प्रत्येक ई ∈ ई में होता है डब्ल्यू दो बार अधिक से अधिक और प्रत्येक वी ∈ वी ठीक एक बार होता है, अन्यथा w से तत्वों को हटाकर एक छोटा सा गवाह पाया जा सकता है । चलो एच ⊆ ई सभी किनारों में होने वाली के सेट होwA2|E|+1e∈Ev∈Vwe∈Ewv∈VwH⊆Eएक बार डब्ल्यू । उपरोक्त मान्यताओं को देखते हुए, यह माना जाता है कि | w | = 2 | ई | - | एच | + | वी | ।w|w|=2|E|−|H|+|V|
का एक सन्निहित-स्ट्रिंग पर विचार फार्म के यू ई 1 ए 2 ... ई कश्मीर वी , जहां यू , वी ∈ वी , ई मैं ∈ ई । हम कहते हैं कि यू , वी आसन्न हैं। सूचना है कि ई मैं ∈ एच , तो ई मैं = { यू , वी } , क्योंकि ई मैं केवल एक बार होता है, फिर भी यह दो कोने के निकट है जी । इसलिए, सबसे अधिक में से एकwue1e2…ekvu,v∈Vei∈Eu,vei∈Hei={u,v}eiG , H में हो सकता है। इसी तरह, में कोई बढ़त एच में हो सकता है w पहले सिरे से पहले या अंतिम शीर्ष बिंदु के बाद।eiHHw
अब, वहाँ हैं कोने, इसलिए | एच | ≤ | वी | - 1 । वहाँ से, यह इस प्रकार है कि | w | ≥ 2 | ई | + 1 । चूंकि हम मान लेते हैं | w | ≤ 2 | ई | + 1 , हमें समानता मिलती है। वहाँ से हमें मिलता है | एच | = | वी | - 1 । कबूतर के सिद्धांत से, एच से एक किनारा है|V||H|≤|V|−1|w|≥2|E|+1|w|≤2|E|+1|H|=|V|−1H में समीपवर्ती कोने की प्रत्येक जोड़ी के बीच । निरूपित ज 1 घंटा 2 ... ज n - 1 से सभी तत्वों एच क्रम में वे में प्रदर्शित में डब्ल्यू । यह इस प्रकार है कि v 1 h 1 v 2 h 2 … h n - 1 v n G में एक हैमिल्टन मार्ग है । ◻wh1h2…hn−1Hwv1h1v2h2…hn−1vnG□
चूंकि हैमिल्टन मार्ग के अस्तित्व को तय करने की समस्या एनपी-कठोर है और उपरोक्त कमी बहुपद है, इसलिए मूल समस्या एनपी-हार्ड भी है।