एक 8-पहेली की पहुंच योग्य राज्य स्थान

Question

मैं सिर्फ आर्टिफिशियल इंटेलिजेंस का अध्ययन शुरू किया गया है और सोच रहा हूँ क्यों एक 8 पहेली का पहुंच योग्य राज्य अंतरिक्ष है । मैं देखता हूं कि टाइल्स के क्रमपरिवर्तन की संख्यालेकिन यह तुरंत स्पष्ट नहीं है कि पहेली के आधे संभव राज्य किसी भी दिए गए राज्य में पहुंच से बाहर क्यों हैं। क्या कोई विस्तृत कर सकता है?९ $9!/2$$9!$

बाईं ओर एक यादृच्छिक विन्यास और दाईं ओर लक्ष्य राज्य के संदर्भ के लिए 8-पहेली की एक छवि:

Comments

चूँकि राज्य के ग्राफ में दो आकार के घटक शामिल होते हैं (हर राज्य के क्रमपरिवर्तन व्युत्क्रमों की कुल संख्या अपरिवर्तनीय मोडुलो 2 होती है, इसलिए दो राज्यों में कुल संख्या के क्रमिक व्युत्क्रम विषम होते हैं और यहां तक ​​कि जुड़े नहीं होते हैं); मुझे एक अच्छी तरह से समझाया गया उदाहरण नहीं मिला, लेकिन यह प्रस्तुति आपको इसे समझने के लिए पर्याप्त स्पष्ट होनी चाहिए (टाइपो को छोड़कर "जुड़ा हुआ" जिसे "डिस्कनेक्ट" के साथ बदल दिया जाना चाहिए)

— Vor

@ क्या जवाब में बदल सकते हैं?

— युवल फिल्मस

Answer 1

यह इस प्रस्तुति का विस्तार है ।

क्योंकि राज्य ग्राफ में समान आकार के दो डिस्कनेक्ट किए गए घटक होते हैं। व्यापकता की हानि के बिना हम मान सकते हैं कि लक्ष्य राज्य है ।$1\;2\;3\;...\;15\;\Box$

 1  2  3  4
 5  6  7  8
 9 10 11 12
13 14 15  *

एक राज्य को देखते हुए एक क्रमचय उलट एक टाइल है उसके बाद रखा गया है लेकिन ; ऐसा तब होता है जब (a) की समान पंक्ति में , लेकिन इसके दाईं ओर, या (b) निचली पंक्ति में होता है:टी मैं टी जे मैं < j टी मैं टी जे टी $S$$T_i$$T_j$$i < j$$T_i$$T_j$$T_i$

 .  .  .  .      .  .  .  .
 3  .  .  1      .  7  .  .
 .  .  .  .      .  5  .  .
 .  .  .  .      .  .  .  .
    (a)             (b)

हम परिभाषित टाइल्स की संख्या के रूप , के बाद दिखाई देने । उदाहरण के लिए, राज्य में:टी आई मैं < जे टी $N_j$$T_i$$i < j$$T_j$

 1  2  3  4
 5 10  7  8
 9  6 11 12
13 14 15  *

हमारे पास है कि बाद एक टाइल ( ) है जो उसके पहले होनी चाहिए, इसलिए ; बाद चार टाइलें हैं ( ) जो इससे पहले होनी चाहिए, इसलिए । टी 6 एन 7 = 1 टी 10 टी 7 , टी 8 , टी 9 , टी 6 एन 10 = $T_{7}$$T_6$$N_7=1$$T_{10}$$T_7, T_8, T_9, T_6$$N_{10}=4$

चलो सब का योग और खाली टाइल की पंक्ति संख्याएन आई टी $N$$N_i$$T_{\Box}$

$$N = \sum_{i=1}^{15} N_i + row(T_{\Box})$$

हम ऊपर के उदाहरण में है: $N = N_7 + N_8 + N_9 + N_{10} + row(T_{\Box}) = 1 + 1 +1 + 4 + 4=11$

हम देख सकते हैं कि जब खाली टाइल को क्षैतिज रूप से स्थानांतरित किया जाता है तो नहीं बदलता है; अगर हम खाली टाइल को लंबवत रूप से N परिवर्तनों पर एक समान मात्रा में ले जाते हैं।$N$ $N$

उदाहरण के लिए:

 .  .  .  .      .  .  .  .
 .  .  2  3      .  .  *  3
 4  5  *  .      4  5  2  .
 .  .  .  .      .  .  .  .

$N' = N + 3 \mbox{ (2 is placed after 3,4,5)} - 1 \mbox{ (empty tile is moved up)} = N + 2$

 .  .  .  .      .  .  .  .
 .  .  *  4      .  .  3  4
 2  5  3  .      2  5  *  .
 .  .  .  .      .  .  .  .

$N' = N + 1 \mbox{ (2 is placed after 3)} - 2 \mbox{ (4,5 are placed after 3)} + 1 \mbox{ (empty tile is moved down)} = N$

$N \bmod 2$

हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि राज्य स्थान दो अलग-अलग हिस्सों में विभाजित है , एक में और दूसरे में ।$N \bmod = 0$$N \mod 2 = 1$

उदाहरण के लिए निम्नलिखित दो राज्य जुड़े नहीं हैं:

 1  2  3  4     1  2  3  4
 5  6  7  8     5  6  7  8
 9 10 11 12     9 10 11 12
13 14 15  *    13 15 14  *  
    N = 4         N = 5

Comments

यह 15-पहेली के लिए मामला है लेकिन ऐसा लगता है कि परिणाम को 8-पहेली के लिए भी सामान्यीकृत किया जा सकता है। धन्यवाद!

— कैम