किसी भाषा की नियमितता के बारे में पर्याप्त और आवश्यक शर्त

Question

नीचे दिये गये कथनों में से कौन सही है?

1. किसी भाषा की नियमितता के बारे में पर्याप्त और आवश्यक शर्तें मौजूद हैं लेकिन अभी तक खोज नहीं की गई हैं।

2. किसी भाषा की नियमितता के बारे में कोई पर्याप्त और आवश्यक शर्त नहीं है।

3. लैम्मा को पंप करना किसी भाषा की नियमितता के लिए एक आवश्यक शर्त है।

4. लैम्मा को पंप करना किसी भाषा की नियमितता के लिए पर्याप्त स्थिति है।

मुझे पता है कि # (4) सही है और # (3) गलत है क्योंकि "इस कथन का बोध सत्य नहीं है: एक भाषा जो इन स्थितियों को संतुष्ट करती है, वह अभी भी नियमित नहीं हो सकती है", लेकिन (1) के बारे में क्या कहा जा सकता है? (2)?

Comments

मैं यह कहूंगा कि (4) सही है: पम्पिंग लेम्मा को यह दिखाने के लिए डिज़ाइन किया गया है कि कुछ भाषा नियमित नहीं है (यह बताता है कि यदि एल नियमित है तो ..)। इसके अलावा, (3) गलत है: en.wikipedia.org/wiki/…

— jmad

@Jmad से सहमत: पम्पिंग लेम्मा पर्याप्त है, आवश्यक नहीं है।

— पैट्रिक87

@jmad: मेरे प्रश्न में जिस WP लेख को जोड़ा गया है, वह इस बात पर टिका है कि "पम्पिंग लेम्मा का मूल और सामान्य संस्करण दोनों ही एक भाषा को नियमित करने के लिए आवश्यक लेकिन पर्याप्त स्थिति नहीं देते हैं ।"

— गिगिली

@ गिगली: हाँ। नियमित रूप से। "गैर-नियमित" नहीं।

— jmad

@ जैमद: उफ़, आप सही कह रहे हैं। मैं प्रश्न संपादित करूंगा, धन्यवाद।

— गिगिली

Answer 1

किसी भाषा के नियमित होने के लिए यहां कुछ आवश्यक और पर्याप्त शर्तें हैं।

प्रमेय। चलो । निम्नलिखित स्थितियाँ समतुल्य हैं:$L\subseteq\Sigma^*$

• $L$ एक नियमित अभिव्यक्ति (यानी, नियमित भाषा की परिभाषा) से उत्पन्न होता है।
• $L$ को एक nondeterministic finite automaton ( क्लेन ) द्वारा मान्यता प्राप्त है ।
• $L$ को एक nondeterministic परिमित ऑटोमोटन द्वारा -transitions के बिना पहचाना जाता है ।$\varepsilon$
• $L$ एक नियतात्मक परिमित ऑटोमोटन ( स्कॉट और राबिन ) द्वारा मान्यता प्राप्त है ।
• ( एन , Σ , पी , एस ) एन Σ $L$ एक व्याकरण द्वारा उत्पन्न होता है , जहाँ , ( फ्रेज़ियर और पेज ) का एक उपसमुच्चय है ।$(N,\Sigma,P,S)$$N$$\Sigma^*$
• $L$ एक बाएं (सम्मान दाएं) नियमित संदर्भ-मुक्त व्याकरण द्वारा उत्पन्न होता है।
• Nerode relation का सूचकांक परिमित है (अनिल , रेखीय ट्रांसफॉर्मेशन , 1958)। यह व्यापक रूप से (और गलत तरीके से) मायहिल-नेरोड प्रमेय के रूप में जाना जाता है। एक नियमित भाषा के न्यूनतम DFA के निर्माण के लिए उपयोग किया जाने वाला संबंध है।≡ $\equiv_L$$\equiv_L$
• Myhill relation का सूचकांक परिमित है (John Myhill, Automata और The Representation of Events , 1957)। एक अनियंत्रित भाषा के वाक्य-विन्यास को बनाने के लिए प्रयुक्त संबंध है।∼ $\sim_L$$\sim_L$
• का सिंटैक्टिक मोनॉयड परिमित है (Myhill के परिणाम का परिणाम)। हम यहाँ ध्यान दें कि सिंटैक्टिक , संबंध का उपयोग करके परिभाषित होने के अलावा , एक न्यूनतम मोनॉइड (आकार में) के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जो को एक होमोमोर्फिज्म के रूप में पहचानता है ।~ एल$L$$\sim_L$$L$
• $L$ को केवल-पढ़ने वाली ट्यूरिंग मशीन (तुच्छ) द्वारा पहचाना जा सकता है।
• $L$ को स्ट्रिंग्स ( बुची ) पर मोनडिक दूसरे क्रम के तर्क में एक सूत्र द्वारा परिभाषित किया जा सकता है ।

यदि कोई भाषा नियमित भाषाओं के लिए पम्पिंग लेम्मा की शर्तों को पूरा नहीं करती है , तो यह नियमित नहीं है । इसका मतलब है कि किसी भाषा की नियमितता के लिए लेम्मा पंप करना एक पर्याप्त स्थिति है ।

सारांश में, कथन 1, 2 और 3 गलत हैं, जबकि कथन 4 सत्य है, जैसा कि आपने उल्लेख किया है।

Comments

ध्यान दें कि अंतिम कथन के लिए, हमें अपने आप को WMSO या, समकक्ष रूप से, सीमित शब्दों में सीमित करना होगा। सामान्य तौर पर एमएसओ भी अनियमित भाषाओं को व्यक्त कर सकता है । $\omega$

— राफेल

पूर्णता के लिए आप ' को एक बाएँ / दाएँ नियमित संदर्भ-मुक्त व्याकरण द्वारा मान्यता प्राप्त है ' जोड़ना चाह सकते हैं । $L$

— एलेक्स दस ब्रिंक

@AlextenBrink भूल गए कि एक! इसका उल्लेख करने के लिए धन्यवाद। क्या आपके पास शामिल करने के लिए एक संदर्भ है?

— Janoma

@ जानोमा: क्षमा करें, मुझे कोई नहीं मिल रहा है। हालांकि यह प्रमाण बेहद सरल है (एनएफए और वापस जाना)।

— एलेक्स दस ब्रिंक

Answer 2

एक डीएफए, एनएफए या नियमित अभिव्यक्ति के अस्तित्व को दिखाने के लिए पर्याप्त (और आवश्यक) यह साबित करना है कि एक भाषा नियमित है, जो (1) और (2) का खंडन करती है। यह दिखाने के लिए कि कोई भाषा नियमित नहीं है यह दिखाने के लिए आवश्यक है कि डीएफए, एनएफए या नियमित अभिव्यक्ति मौजूद नहीं है।

पम्पिंग लेम्मा दिखाने के लिए एक उपयोगी उपकरण है (संभवतः विरोधाभास द्वारा) कि कोई भाषा नियमित नहीं है, यह दिखा कर कि कोई एफएफए मौजूद नहीं है।

Comments

पंपिंग लेम्मा, तकनीकी रूप से बोलना दर्शाता है कि भाषा के लिए एक डीएफए मौजूद नहीं है।

— पैट्रिक87

@ पैट्रिक87: धन्यवाद। मैंने इस विवरण को जोड़ने का उत्तर संपादित किया।

— विक्टर स्टैफुसा

सिर्फ पांडित्य होने के लिए: पंपिंग लेम्मा का उपयोग करने वाले सबूत विरोधाभास से प्रमाणित नहीं होते हैं। चूंकि आप एक नकारात्मक कथन (P -> गलत) साबित करते हैं, इसलिए यह माना जाता है कि अंतर्ज्ञानवादी के दृष्टिकोण से यह ठीक है कि P धारण करता है।

— गैल

आप विरोधाभास द्वारा एक सबूत के रूप में यह लिख सकते हैं: "मान लें एल नियमित रूप से है तो फिर वहाँ है निरंतर पंप। चुनें। ... पंप शब्द में नहीं है विरोधाभास $।।डब्ल्यू $p$$w$$L$

— राफेल

आप इसे लिख सकते हैं, लेकिन आपको विरोधाभास की आवश्यकता नहीं है । मुद्दा यह है।

— Janoma

Answer 3

शर्त 'वहाँ एक नियमित अभिव्यक्ति मौजूद है जो वास्तव में उत्पन्न करता है ' एक भाषा की नियमितता के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति है , इसकी परिभाषा होने की कृपा से।$L$$L$

हालांकि यह स्थिति किसी भाषा की नियमितता को साबित करना आसान नहीं है। मुझे ऐसी किसी भी स्थिति के बारे में पता नहीं है जो यह जांचना आसान है कि हमेशा गैर-नियमित भाषा की नियमितता साबित हो।

दो और 'परीक्षण' हैं जो किसी भाषा की गैर-नियमितता को साबित कर सकते हैं (हालांकि वे काम नहीं कर सकते हैं): आप कुछ नियमित भाषा देने की कोशिश कर सकते हैं जैसे कि उनका मिलन / अंतर / अंतर / सहमति / भागफल गैर-नियमित है ( इस तरह के और भी कार्य हैं), और आप यह गिनने की कोशिश कर सकते हैं कि यह कितने शब्द उत्पन्न करता है और जाँचता है कि क्या यह एक नियमित भाषा में शब्दों की संख्या के लिए अभिव्यक्ति का खंडन करता है (जैसा कि आपके द्वारा जुड़े विकिपीडिया पृष्ठ पर पाया जा सकता है)।

Answer 4

चॉम्स्की और श्टज़ेनबर्गर [CS63] द्वारा प्रमाणित औपचारिक भाषा सिद्धांत और औपचारिक शक्ति श्रृंखला के बीच यह अद्भुत संबंध है । [SS78] चैप में पाए गए फॉर्म में। II, प्रमेय 5.1

चलो एक नियमित रूप से भाषा और हो एक semiring। तब is -rational।K c h a r ( L ) $L$$\mathbb{K}$$\mathrm{char}(L)$$\mathbb{K}$

इसलिए यदि आप किसी भाषा की विशेषता श्रृंखला को देखते हैं और यह तर्कसंगत नहीं है, तो यह एक नियमित भाषा नहीं हो सकती है। इसलिए आपको हर समय पम्पिंग लेम्मा का उपयोग करने की आवश्यकता नहीं है। कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियों की मदद से ऐसा चेक करना बहुत कठिन नहीं है।$\mathrm{char}(L)$

[एसएस o [] आर्टो सलोमा और मैटी सोइतोला। औपचारिक शक्ति श्रृंखला के ऑटोमैटा-थोरेटिक पहलू। स्प्रिंगर-वर्लग, न्यूयॉर्क, 1978।

[CS63] नोम चोम्स्की और मार्सेल पी। श्टज़ेनबर्गर । संदर्भ-मुक्त भाषाओं का बीजगणितीय सिद्धांत। पी। ब्रैफोर्ट और डी। हिर्शबर्ग में, संपादकों, कंप्यूटर प्रोग्रामिंग और औपचारिक भाषाओं, पृष्ठ 118-161। उत्तर हॉलैंड, 1963।

Answer 5

मायहिल-नेरोड प्रमेय द्वारा, एक भाषा नियमित रूप से iff होती है, जिसमें संबंध कई समतुल्य वर्ग होते हैं । दो तार और को कहा जाता है, लिखित , iff: x y x I L$I_{L}$$x$$y$$x I_{L} y$

1. सभी स्ट्रिंग्स जैसे कि , भी । एक्स जेड एक्स ∈ एल वाई जेड एक्स ∈ $z_{x}$$xz_{x} \in L$$yz_{x} \in L$
2. सभी स्ट्रिंग्स के लिए जैसे कि , । y z y ∈ एल एक्स जेड y ∈ $z_{y}$$yz_{y} \in L$$xz_{y} \in L$

सहज रूप से, यह इस विचार से मेल खाता है कि राज्य मशीन में कई राज्य हैं। वास्तव में, संबंध के तहत विभिन्न समतुल्य वर्गों की संख्या ठीक लिए एक न्यूनतम DFA में राज्यों की संख्या है ।$I_{L}$$L$

Myhill-Nerode विशेष रूप से उपयोगी है क्योंकि आप एक ही ढांचे का उपयोग करके सकारात्मक प्रमाण (भाषा नियमित है) और नकारात्मक प्रमाण (भाषा नियमित नहीं है) का निर्माण कर सकते हैं: संबंध ।$I_{L}$