एक निश्चित भाषा के साथ सही भागफल के खिलाफ बंद

मैं निम्नलिखित के साथ वास्तव में आपकी मदद करना पसंद करूंगा:

के लिए किसी भी तय मैं जरूरत तय करने के लिए निम्नलिखित ऑपरेटरों के तहत बंद है या नहीं: $L_2$

$A_r(L)=\{x \mid \exists y \in L_2 : xy \in L\}$
$A_l(L)=\{x \mid \exists y \in L : xy \in L_2\}$ ।

प्रासंगिक विकल्प हैं:

तहत नियमित भाषाएं बंद हैं । , किसी भी भाषा $A_l$ $A_r$ $L_2$
कुछ भाषाओं , नियमित भाषाएँ तहत बंद हैं । , और कुछ भाषाओं , नियमित भाषाएँ तहत बंद नहीं हैं । । $L_2$ $A_l$ $A_r$ $L_2$ $A_l$ $A_r$

मेरा मानना था कि (1) के लिए उत्तर (2) होना चाहिए, क्योंकि जब मुझे में एक शब्द मिलता है और मैं एक ऑटोमेटन का निर्माण कर सकता हूं जो अनुमान लगा सकता है कि कहां ओर मुड़ रहा है , लेकिन फिर इसे सत्यापित करने की आवश्यकता है यह से और यदि यह नियमित नहीं होगा, तो यह कैसे होगा? उसके लिए उत्तर (1) है। $w \in L$ $w=xy$ $x$ $y$ $y$ $L_2$

मुझे उन ऑपरेटरों का सही ढंग से विश्लेषण करने और यह निर्धारित करने के लिए क्या करना चाहिए कि क्या नियमित भाषाएं उनके अधीन बंद हैं या नहीं?

formal-languages regular-languages closure-properties

— जोज़ेफ़
स्रोत

क्या है ? क्या आपका मतलब है (बी) के दूसरे भाग में 'बंद नहीं हैं '? क्या है ?

A

$A$

L

$L$

— एलेक्स दस ब्रिंक

आपने अभी भी परिभाषित नहीं किया है ?

L

$L$

— गोपी

@ गोपी एक इनपुट भाषा है। दोनों मामलों में भाषाओं पर एक ऑपरेटर है।

L

$L$

A (\cdot)

$A(\cdot)$

— लुकास कुक

@ गोपी: का एक पैरामीटर है , तय है।

L

$L$

A

$A$

L_{2}

$L_2$

— राफेल

ओफ़्फ़ माय बैड, मैंने इस ओओ को कैसे नहीं देखा।

— गोपी

जवाबों:

इन सवालों के जवाब के लिए, हमें किसी भी की अनुमति देने की आवश्यकता है । तो चलिए सोचते हैं कि एक बहुत ही जटिल भाषा है (जैसे, कुछ अयोग्य भाषा।) $L_2$ $L_2$

आसान प्रश्न से शुरू करें: (प्रश्न भाग 2)। को लिए लें , और । क्या होता है? $A_l(L)$ $L_2$ $L=\{\varepsilon\}$

(नैतिक: हमेशा "चरम" की जाँच करें: खाली , और ...) $L$ $L=\{\varepsilon\}$ $L=\Sigma^*$

अब । यह एक महान प्रश्न है (आमतौर पर अंतिम / होमवर्क में बोनस प्रश्न)। वास्तव में, नियमित भाषा के तहत किसी भी भाषा लिए बंद हैं । यहां तक कि । बिल्कुल सटीक? $A_r$ $A_r$ $L_2$ $L_2$

तो हम लिए एक निर्माण कैसे कर सकते हैं यदि कोई मशीन नहीं है जो स्वीकार ? $A_r(L)$ $L_2$

यहाँ "अमूर्त सोच" का जादू आता है, यानी अस्तित्वगत प्रमाण । अगर कोई हमें देता है हम इस जानकारी का उपयोग यह दिखाने के लिए कर सकते हैं कि को हल करने के लिए कुछ मौजूद हैं । अब विवरण। $L_2$ $A(L)$

हम से शुरू करते हैं (कॉल )। मान लें कि प्रसंस्करण बाद हम एक अवस्था में समाप्त हो जाते हैं । हमें यह स्वीकार करने की आवश्यकता है कि क्या मौजूद है जैसे कि यदि हम प्रसंस्करण से जारी रखते हैं तो हम की अंतिम स्थिति में । कोई मशीन है कि हमें बता सकते हैं यदि है में है , लेकिन हम कर सकते हैं के अंतिम राज्य अगर ऊपर हालत रखती है, यानी, अगर वहाँ कुछ मौजूद है इस तरह के हैं कि अगर हम पर शुरू और प्रक्रिया $L$ $DFA_L$ $x$ $q$ $y\in L_2$ $q$ $y$ $DFA_L$ $y$ $L_2$ $q$ $DFA_{A_L}$ $y\in L_2$ $q$ $y$ हम की अंतिम स्थिति में । $DFA_L$

इसलिए निर्माण करने के लिए हम के राज्यों में से हर एक की जांच और बनाने के प्रत्येक राज्य एक को स्वीकार राज्य अगर हम कुछ समय लग सकता है और यह से हमें का नेतृत्व करेंगे के स्वीकार करने के लिए राज्य । $DFA_{A_L}$ $DFA_L$ $q$ $y\in L_2$ $y$ $q$ $DFA_L$

तो ठीक है, अनंत है, और हमारे पास सभी शब्दों को सूचीबद्ध करने के लिए कोई कंप्यूटर नहीं हो सकता है , लेकिन यह सब कोई मायने नहीं रखता है ... ऊपर दिए गए को अच्छी तरह से परिभाषित किया गया है, भले ही मैं इसे आपको आकर्षित न कर । राज्य द्वारा राज्य। जादू। $L_2$ $L_2$

— रान जी।
स्रोत

लगता है कि आपने उसी समय समस्या का उत्तर पोस्ट कर दिया था। :]

— लुकास कुक

अच्छा .. मेरा उत्तर इसमें खराब हो गया है .. शायद मुझे स्पॉइलर अलर्ट लगाना चाहिए, इसलिए कोई आपके उत्तर के साथ शुरू कर सकता है और यदि यह पर्याप्त नहीं है - तो विवरण प्राप्त करें ..

— Ran G.

वाह, बहुत बढ़िया जवाब, बहुत मददगार। बहुत बहुत धन्यवाद Ran!

— जोजफ

मुझे यकीन नहीं है कि आप समस्या का उत्तर ढूंढ रहे हैं या नहीं, इसलिए मैं इसे सीधे प्रदान नहीं करता हूं। (यदि आप चाहें तो कर सकते हैं, हालांकि)

तुम ने पूछा था:

मुझे उन ऑपरेटरों का सही ढंग से विश्लेषण करने और यह निर्धारित करने के लिए क्या करना चाहिए कि क्या नियमित भाषाएं उनके अधीन बंद हैं या नहीं?

आपका शुरुआती दृष्टिकोण एक अच्छा है। सभी "खुले" सिद्धांत प्रश्नों के साथ, आपको एक सहज ज्ञान प्राप्त करना चाहिए कि क्या यह सच है या नहीं। आमतौर पर यह उदाहरणों (दोनों सामान्य और धार-मामले) या विशेष मामलों की जांच (उदाहरण के लिए यदि है - संदर्भ-मुक्त?) की जाँच करके है। इस समस्या के लिए, आपको कुछ अनुमान लगाने की आवश्यकता है कि क्या आप ऑपरेटरों के लिए एक ऑटोमेटन / रेगेक्स का निर्माण कर सकते हैं या नहीं। उसके बाद: $L_2$

अगर आपको लगता है कि आप कर सकते हैं, तो आपको किसी भी नियमित इनपुट भाषा लिए इस ऑटोमेटन / रेगेक्स का निर्माण करने में सक्षम होना चाहिए । $L$
अगर आपको लगता है कि आप नहीं कर सकते हैं, तो आप आमतौर पर उदाहरण भाषाओं और जैसे कि बंद नहीं है। $L$ $L_2$ $A_x$

(और यदि एक दृष्टिकोण काम नहीं कर रहा है, तो आप हमेशा दूसरे को आज़मा सकते हैं।)

समस्या के लिए ही:

ये दोनों सही भागफल ऑपरेटर हैं। (मेरा मानना है कि बाएं भागफल में उपसर्ग के बजाय को छोड़ना शामिल है।) दोनों के बीच अंतर यह है कि जबकि , जहां दोनों मामलों में तय है। $A_l(L) = L_2 / L$ $A_r(L) = L / L_2$ $L_2$

$A_r$ $A_l$ $A_l$ $L_2$ $L_2$ $A_l$ $L_2$ $A_l$ $A_l$ $L_2$

— लुकास कुक
स्रोत