एक बहुभुज में यादृच्छिक नमूनाकरण

Question

मैं एक बहुभुज में समान रूप से यादृच्छिक बिंदु का नमूना करना चाहूंगा ...

यदि बड़ी संख्या में नमूने लिए जाते हैं तो उनके समान क्षेत्र में होने की संभावना दो क्षेत्रों में होगी।

यह काफी सरल होगा अगर यह एक वर्ग था क्योंकि मैं अपने निर्देशांक के रूप में [0,1] में दो यादृच्छिक संख्याओं को ले जाऊंगा।

मेरे पास आकार एक नियमित बहुभुज है, लेकिन मैं इसे किसी भी बहुभुज के लिए काम करना चाहूंगा।

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Answer 1

1. बहुभुज को त्रिभुज करें
2. निर्धारित करें कि किन त्रिभुजों में बिंदु झूठ (वजन त्रिकोण क्षेत्र) होना चाहिए
3. इस पोस्ट में बताए अनुसार त्रिकोण में बिंदु का नमूना

Comments

क्या यह प्रश्न आपके द्वारा लिंक किए गए पुराने का डुप्लिकेट नहीं है?

— राफेल

@ राफेल: संबंधित, लेकिन अधिक सामान्य, मैं कहूंगा।

— अचुलज़

Answer 2

एक आसान तरीका यह है कि अपने बहुभुज के लिए बाउंडिंग बॉक्स ढूंढें और अस्वीकृति नमूने का उपयोग करें: बाउंडिंग बॉक्स से नमूना लें और स्वीकार करें कि क्या यह बहुभुज के भीतर आता है, जो प्रायिकता साथ कम से कम होगा (मुझे लगता है)।$1/2$

एक अन्य संभावना आपके बहुभुज को त्रिभुज करना है। पहले एक त्रिकोण को आनुपातिक तरीके से नमूना दें, फिर त्रिकोण में एक यादृच्छिक बिंदु का नमूना लें। उत्तरार्द्ध सरल है: परिवर्तनों को परिभाषित करने के लिए, सभी त्रिकोण फॉर्म । समान रूप से उस वितरण से एक बिंदु का नमूना लिए, घनत्व अनुसार पहला नमूना (यानी एक समान नमूना और गणना ) और फिर समान रूप से एक समान नमूना और गणना । एक और भी सरल तरीका है , और यदि नमूना है$\{(x,y) : x,y \geq 0, x+y \leq 1\}$$x \in [0,1]$$2(1-x)$$r \in [0,1]$$x = 1-\sqrt{1-r}$$y \in [0,1-x]$$s \in [0,1]$$y = (1-x)s$$x,y \in [0,1]$$x+y > 1$ प्रतिस्थापित साथ ।$(x,y)$$(1-x,1-y)$

Comments

अस्वीकृति नमूनाकरण 2 आयामों में अधिकतम 1/2 पर संभावना के साथ अस्वीकार कर देगा, लेकिन उच्च आयामों में अस्वीकृति की संभावना बहुत अधिक खराब हो सकती है।

— DW

अस्वीकृति नमूनाकरण 1/2 से बड़ा अस्वीकृति दर हो सकता है। बस एक सर्पिल के बारे में सोचो, थोड़ा extruded।

— शुकुल

क्या होगा यदि बहुभुज को उत्तल होने की गारंटी दी जाती है?

— युवल फिल्मस

यदि आपके बाउंडिंग-बॉक्स अक्ष-संरेखित हैं, तो उत्तलता कोई मदद नहीं है; पिछले प्रश्न के उत्तर के रूप में, बस (0, 1), (1, 0) और (x, x) पर बहुत बड़े x के लिए त्रिभुज पर विचार करें - यह अपने बाउंडिंग बॉक्स के एक छोटे से छोटे अनुपात को लेगा। जैसा कि x अनंत तक जाता है। यदि आप सबसे छोटे संभव बाउंडिंग बॉक्स के बारे में बात कर रहे हैं, तो आप संभवतः अपने उत्तल आकार की मात्रा पर सीमा प्राप्त कर सकते हैं, लेकिन फिर आपको बॉक्स ढूंढना होगा ...

— स्टीवन स्टैडनिक

Answer 3

यह थोड़ा पागल है, लेकिन आपके बहुभुज बहुत अजीब होने पर भी अच्छी तरह से काम करना चाहिए।

रीमैन मैपिंग प्रमेय का उपयोग इकाई डिस्क से अपने बहुभुज के अनुरूप मानचित्र को खोजने के लिए करें, इसे सबसेट के रूप में । उदाहरण के लिए देखें:$\mathbb{C}$

http://siam.org/pdf/news/1297.pdf

फिर मेट्रोपोलिस-हेस्टिंग्स एमसीएमसी नमूने में प्रस्ताव घनत्व के रूप में डिस्क पर एक समान घनत्व के पुष्कर का उपयोग करें ।

Comments

अनुरूप नक्शे जरूरी क्षेत्र-संरक्षण नहीं हैं, हालांकि; वे कोण संरक्षण कर रहे हैं , लेकिन यह लगभग समान रूप से बहुभुज का नमूना नहीं करने की गारंटी है ।

— स्टीवन स्टैडनिक

इस प्रकार एमसीएमसी में एक प्रस्ताव के रूप में इसका उपयोग करने की आवश्यकता है, वास्तविक नमूना के रूप में नहीं। पॉइंकेयर असमानता के साथ आप एक अनुरूप नक्शे के बदलाव को एक निरंतरता से बांधे हुए दिखा सकते हैं।

— निक अल्जीरिया

मैं शायद अभी भी इसे याद कर रहा हूं; इंगित विकिपीडिया पृष्ठ पर चर्चा कहती है कि 'वितरण वितरण' को अभी भी वांछित वितरण के लिए सीधे आनुपातिक होना चाहिए ; अर्थात, कुछ स्थिरांक और लिए , बल्कि । मैप किए गए घनत्व में स्थानीय संस्करण अभी भी नमूने में स्थानीय संस्करण का नेतृत्व करेगा। $aP(x)\lt f(x)\lt bP(x)$$a$$b$$f(x) = cP(x) \forall x$

— स्टीवन स्टैडनिक

मेट्रोपोलिस हेस्टिंग्स एमसीएमसी का पूरा मुद्दा यह है कि यह प्रस्ताव सही वितरण नहीं है। एमसीएमसी श्रृंखला का अभिसरण गति इस बात पर निर्भर करता है कि प्रस्ताव सही वितरण का कितना अच्छा अनुमान लगाता है। सबसे आम प्रस्ताव वर्तमान बिंदु पर एक गौसियन डाल रहा है, चाहे आप जिस वितरण का प्रयास कर रहे हों ...

— निक अल्जीरिया