स्कॉट-निरंतर कार्य: एक वैकल्पिक परिभाषा

Question

मैं वास्तव में इस संपत्ति के साथ संघर्ष कर रहा हूँ:

चलो हो जुटना रिक्त स्थान और एक नीरस समारोह हो। निरंतर है यदि और केवल अगर , सभी ऐसा है कि एक निर्देशित सेट है।$X,Y$च च ( ⋃ एक्स ∈ डी एक्स ) = ⋃ एक्स ∈ डी च ( एक्स ) डी ⊆ सी एल ( एक्स ) $f: Cl(X) \rightarrow Cl(Y)$$f$$f(\bigcup_{x\in D} x)=\bigcup_{x \in D}f(x)$$D \subseteq Cl(X)$$D$

निर्देशित सेट इस प्रकार परिभाषित किया गया है: POSET एक निर्देशित सेट है iff जैसे कि और । अर्थ X: सुसंगत ।$D \subseteq$∃ z ∈ डी एक्स ⊆ जेड एक्स ' ⊆ जेड सी एल ( एक्स ) { x ⊆ | एक्स | | एक , ख ∈ एक्स ⇒ एक ख $\forall x, x' \in D$ $\exists z \in D$$x \subseteq z$$x' \subseteq z$
$Cl(X)$$\{x \subseteq |X| \mid a,b \in x \Rightarrow a$$b \}$

कई किताबें स्कॉट-निरंतर कार्यों की परिभाषा के रूप में देती हैं , लेकिन मेरे शिक्षक नहीं हैं। उन्होंने हमें निरंतर की यह परिभाषा दी:

$f : Cl(X) \rightarrow Cl(Y)$ निरंतर iff है, अगर यह monotone और , जहाँ मोनोटोन को परिभाषित किया गया है: एक मोनोटोन है अगर$\forall x \in Cl(X), \forall b \in f(x), \exists x_0 \subseteq_{fin} x, b \in f(x_0)$
एक ⊆ ख ⇒ च ( एक ) ⊆ च ( ख $f$$a \subseteq b \Rightarrow f(a) \subseteq f(b)$

यह मेरे पास प्रस्तावित प्रमाण है, लेकिन मैं अंतिम समीकरण नहीं समझ सकता।

का प्रमाण निरंतर निकलता हैच ( ⋃ डी ) = ⋃ च ( डी $f$$f(\bigcup D)=\bigcup f(D)$ :
Let । निरंतरता की परिभाषा के अनुसार, । ध्यान दें कि में का मिलन है । यदि प्रत्यक्ष है, तो फिर । नीरसता की परिभाषा से, तो (???) । और यहां तक ​​कि यह सच है कि हमें दिखा देना चाहिए कि , सिर्फ नहीं$b \in f(\bigcup D)$$\exists x_0 \subset_{fin} x \mid b \in f(x_0)$$x_0$$\{ x_i \mid x_i \in D\}$
$D$$\exists z \in D \mid x_i \subseteq z$$x_0 \subseteq z$$f(x_0)\subseteq f(z)$$b \in f(z)$ $\subseteq \bigcup f(D)$$\bigcup f(D) = f(\bigcup D)$$\subseteq$ ।

दूसरे निहितार्थ का प्रमाण और भी बुरा है इसलिए मैं इसे यहाँ नहीं लिख सकता ... क्या आप मुझे समझा सकते हैं कि प्रमाण कैसे काम कर सकता है?

Comments

@ राफेल: यह स्पष्ट रूप से कंप्यूटर विज्ञान है। इन अवधारणाओं का उपयोग प्रोग्रामिंग भाषाओं को शब्दार्थ देने के लिए किया जाता है। सुसंगत रिक्त स्थान रैखिक तर्क के लिए शब्दार्थ प्रदान करते हैं। मूल पेपर टीसीएस में दिखाई देता है।

— डेव क्लार्क

@ राफेल: मुझे नहीं लगता कि यह बिल्कुल आवश्यक है। स्कॉट-निरंतरता वाले पृष्ठ पर कहा गया है "स्कॉट-निरंतर कार्य कंप्यूटर प्रोग्रामों के गूढ़ अर्थ के अध्ययन में दिखाई देते हैं।"

— डेव क्लार्क

@ राफेल: यह सामान्य नियम अच्छी तरह से हो सकता है, लेकिन यह इस सवाल पर लागू नहीं होता है, जो मैंने कहा है कि विषय पर है।

— डेव क्लार्क

@ राफेल मैं आपको विश्वास दिलाता हूं कि यह एक शब्द है, जो अर्थ-संबंधी शब्दार्थ के बारे में है । स्कॉट निरंतरता का नाम एक कारण के लिए एक कंप्यूटर वैज्ञानिक के नाम पर रखा गया है (अच्छी तरह से, स्कॉट ने गणित और सीएस के बीच की सीमा को फैलाया, लेकिन यह उसका सीएस काम है)।

— गिलेस एसओ- बुराई को रोकना '

Cl (•) क्या है? मैं इसे बंद करने के लिए लेता हूं, लेकिन यह भ्रामक है, क्योंकि इस सेटअप के बिंदु से प्रतीत होता है कि निर्देशित सेट बंद हैं।

— लुईस

Answer 1

आपके शिक्षक द्वारा उपयोग की जाने वाली निरंतरता की परिभाषा एक अच्छाई है। यह आपको बताता है कि निरंतरता का मतलब क्या है।

मान लीजिए । का मतलब है कि सभी को जानकारी दी है कि एक्स , संभवतः टोकन (परमाणु) की एक अनंत सेट, समारोह कुछ तत्व जानकारी के परमाणु टुकड़ा है कि पैदा करता है ख । (इसकी अन्य जानकारी भी हो सकती है, लेकिन हम फिलहाल इससे चिंतित नहीं हैं।) आपके शिक्षक की परिभाषा कहती है कि आउटपुट सूचना b को बनाने के लिए x की सभी अनंत सूचनाओं को देखना आवश्यक नहीं है । एक्स का कुछ परिमित सबसेट इसका उत्पादन करने के लिए पर्याप्त है।$b \in f(x)$$x$$b$$x$$b$$x$

(मेल्विन फिटिंग की पुस्तक "कम्प्यूटेबिलिटी सिद्धांत, शब्दार्थ और तर्क प्रोग्रामिंग", ऑक्सफोर्ड, 1987, इस संपत्ति को कॉम्पैक्टनेस कहती है और एक निरंतर कार्य को एकरस और कॉम्पैक्ट होने के रूप में परिभाषित करती है।)

यह निरंतरता का सार है। किसी फ़ंक्शन के आउटपुट के बारे में कुछ बारीक जानकारी प्राप्त करने के लिए, आपको केवल इनपुट के बारे में जानकारी की एक सीमित मात्रा की आवश्यकता होती है। एक अनंत इनपुट के लिए फ़ंक्शन द्वारा उत्पादित आउटपुट को एक साथ piecing द्वारा प्राप्त किया जाता है, यह अनंत इनपुट के सभी परिमित सन्निकटन के लिए उत्पन्न जानकारी को एक साथ करता है । दूसरे शब्दों में, आपको परिमित सन्निकटन से उनके अनंत संघ में जाने में कोई जादुई छलांग नहीं लगती है। जो कुछ भी आपको अनंत में मिलता है, आपको पहले से ही कुछ परिमित अवस्था में मिलना चाहिए।

मानक समीकरण सुंदर को देखने के लिए है, लेकिन यह आप सभी अंतर्ज्ञान मैं ऊपर बताया गया है नहीं बताता है। हालाँकि, गणितीय रूप से, यह आपके शिक्षक की परिभाषा के बराबर है।$f(\bigcup_{x \in D} x) = \bigcup_{x \in D} f(x)$

कि दिखाने के लिए , यह है कि दिखाने के लिए पर्याप्त है च ( एक्स ) में शामिल है च ( ⋃ एक्स ∈ डी एक्स ) , प्रत्येक के लिए एक्स ∈ डी । लेकिन उस की दिष्टता से सीधे इस प्रकार च क्योंकि एक्स ⊆ ⋃ एक्स ∈ डी एक्स । तो, यह "आसान" दिशा है।$\bigcup_{x \in D} f(x) \subseteq f(\bigcup_{x \in D} x)$$f(x)$$f(\bigcup_{x \in D} x)$$x \in D$$f$$x \subseteq \bigcup_{x \in D} x$

: दूसरी दिशा, अपने शिक्षक ने साबित कर दिया, दिलचस्प एक है । इसे देखने के लिए, ऊपर बताए गए अंतर्ज्ञान का उपयोग करें। जानकारी के किसी भी परमाणु टुकड़ा ख बाएं हाथ की ओर में इनपुट के कुछ परिमित सन्निकटन से आता है: एक्स 0 ⊆ च मैं n ⋃ एक्स ∈ डी एक्स । यह है कि, ख ∈ च ( एक्स 0 ) । चूंकि x $f(\bigcup_{x \in D} x) \subseteq \bigcup_{x \in D} f(x)$$b$$x_0 \subseteq_{fin} \bigcup_{x \in D} x$$b \in f(x_0)$$x_0$परिमित है और यह निर्देशित सेट के संघ में शामिल है, निर्देशित सेट में कुछ होना चाहिए जो से बड़ा है , शायद x 0 ही। उस एलिमेंट को ज़ेड । दिष्टता करके, च ( एक्स 0 ) ⊆ च ( z ) । तो, बी ∈ एफ ( जेड ) । के बाद से जेड ∈ डी , एफ ( जेड ) ⊆ ⋃ एक्स ∈ डी च ( एक्स ) । तो, अब $x_0$$x_0$$z$$f(x_0) \subseteq f(z)$$b \in f(z)$$z \in D$$f(z) \subseteq \bigcup_{x \in D} f(x)$$b$दाहिने हाथ की ओर भी देखा जाता है। QED।

जैसा कि आपने नोट किया है, यह दर्शाता है कि आपके शिक्षक की निरंतरता का अर्थ है कि सुंदर समीकरण आसान है। यह दिखाने के लिए बहुत कठिन है कि सुंदर समीकरण, यह देखने के बावजूद कि यह बहुत अधिक नहीं कह रहा है, वास्तव में आपके शिक्षक की परिभाषा में सब कुछ कहता है।

Comments

अन्य परिभाषा कम ठोस हो सकती है, लेकिन यह आम तौर पर अधिक काम करती है, जबकि शिक्षक द्वारा उपयोग किए जाने वाले को बीजीय डोमेन की आवश्यकता होती है।

— लेडी बाउर

Answer 2

यह मेरे लिए संक्षिप्त रूप से हुआ, जब मैंने अंतिम प्रतिक्रिया लिखी थी, कि शिक्षक की निरंतरता की परिभाषा जो मैं अपनी प्रतिक्रिया में बता रहा था, वह निरंतरता की सामयिक धारणा है। निरंतरता का बीजगणितीय निरूपण जो आमतौर पर कंप्यूटर विज्ञान की पाठ्य पुस्तकों में उल्लिखित है, सभी सामयिक अंतर्ज्ञान को छिपाता है। (वास्तव में, डाना स्कॉट ने अक्सर लिखा है कि उन्होंने जानबूझकर सामयिक योगों से बचा है क्योंकि कंप्यूटर वैज्ञानिक इससे परिचित नहीं हैं।)

बीजगणितीय और सामयिक योगों के बीच संबंध को स्टोन द्वंद्व कहा जाता है , और अब यह स्पष्ट होता जा रहा है कि यह लिंकेज स्वयं कंप्यूटर विज्ञान के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण है।

इन कनेक्शनों के एक वैचारिक विस्तार के लिए (और भी बहुत कुछ), अब्रामस्की की सूचना, प्रक्रिया और खेल देखें ।

Comments

आप इसे अपने पुराने उत्तर में संपादित क्यों नहीं करते?

— राफेल

@ राफेल, आमतौर पर मुझे लगता है कि जब वे प्रश्न के अलग-अलग उत्तर होते हैं, तो कई उत्तर पोस्ट करना ठीक है। (यह एक सीमा पर थोड़ा सा लगता है।)

— केवह

मैं एक अलग "उत्तर" पोस्ट करता हूं जब मुझे लगता है कि जो लोग पहले से ही पुराने उत्तर को पढ़ चुके हैं वे शायद नए से लाभ उठा सकते हैं। मुझे लगता है कि स्टोन द्वैत एक बड़ी बात है, और हम इसे हर समय बिना सोचे समझे करते हैं।

— रेड में उदय रेड्डी