आपके शिक्षक द्वारा उपयोग की जाने वाली निरंतरता की परिभाषा एक अच्छाई है। यह आपको बताता है कि निरंतरता का मतलब क्या है।
मान लीजिए । का मतलब है कि सभी को जानकारी दी है कि एक्स , संभवतः टोकन (परमाणु) की एक अनंत सेट, समारोह कुछ तत्व जानकारी के परमाणु टुकड़ा है कि पैदा करता है ख । (इसकी अन्य जानकारी भी हो सकती है, लेकिन हम फिलहाल इससे चिंतित नहीं हैं।) आपके शिक्षक की परिभाषा कहती है कि आउटपुट सूचना b को बनाने के लिए x की सभी अनंत सूचनाओं को देखना आवश्यक नहीं है । एक्स का कुछ परिमित सबसेट इसका उत्पादन करने के लिए पर्याप्त है।b∈f(x)xbxbx
(मेल्विन फिटिंग की पुस्तक "कम्प्यूटेबिलिटी सिद्धांत, शब्दार्थ और तर्क प्रोग्रामिंग", ऑक्सफोर्ड, 1987, इस संपत्ति को कॉम्पैक्टनेस कहती है और एक निरंतर कार्य को एकरस और कॉम्पैक्ट होने के रूप में परिभाषित करती है।)
यह निरंतरता का सार है। किसी फ़ंक्शन के आउटपुट के बारे में कुछ बारीक जानकारी प्राप्त करने के लिए, आपको केवल इनपुट के बारे में जानकारी की एक सीमित मात्रा की आवश्यकता होती है। एक अनंत इनपुट के लिए फ़ंक्शन द्वारा उत्पादित आउटपुट को एक साथ piecing द्वारा प्राप्त किया जाता है, यह अनंत इनपुट के सभी परिमित सन्निकटन के लिए उत्पन्न जानकारी को एक साथ करता है । दूसरे शब्दों में, आपको परिमित सन्निकटन से उनके अनंत संघ में जाने में कोई जादुई छलांग नहीं लगती है। जो कुछ भी आपको अनंत में मिलता है, आपको पहले से ही कुछ परिमित अवस्था में मिलना चाहिए।
मानक समीकरण सुंदर को देखने के लिए है, लेकिन यह आप सभी अंतर्ज्ञान मैं ऊपर बताया गया है नहीं बताता है। हालाँकि, गणितीय रूप से, यह आपके शिक्षक की परिभाषा के बराबर है।f(⋃x∈Dx)=⋃x∈Df(x)
कि दिखाने के लिए , यह है कि दिखाने के लिए पर्याप्त है च ( एक्स ) में शामिल है च ( ⋃ एक्स ∈ डी एक्स ) , प्रत्येक के लिए एक्स ∈ डी । लेकिन उस की दिष्टता से सीधे इस प्रकार च क्योंकि एक्स ⊆ ⋃ एक्स ∈ डी एक्स । तो, यह "आसान" दिशा है।⋃x∈Df(x)⊆f(⋃x∈Dx)f(x)f(⋃x∈Dx)x∈Dfx⊆⋃x∈Dx
: दूसरी दिशा, अपने शिक्षक ने साबित कर दिया, दिलचस्प एक है । इसे देखने के लिए, ऊपर बताए गए अंतर्ज्ञान का उपयोग करें। जानकारी के किसी भी परमाणु टुकड़ा ख बाएं हाथ की ओर में इनपुट के कुछ परिमित सन्निकटन से आता है: एक्स 0 ⊆ च मैं n ⋃ एक्स ∈ डी एक्स । यह है कि, ख ∈ च ( एक्स 0 ) । चूंकि x 0f(⋃x∈Dx)⊆⋃x∈Df(x)bx0⊆fin⋃x∈Dxb∈f(x0)x0परिमित है और यह निर्देशित सेट के संघ में शामिल है, निर्देशित सेट में कुछ होना चाहिए जो से बड़ा है , शायद x 0 ही। उस एलिमेंट को ज़ेड । दिष्टता करके, च ( एक्स 0 ) ⊆ च ( z ) । तो, बी ∈ एफ ( जेड ) । के बाद से जेड ∈ डी , एफ ( जेड ) ⊆ ⋃ एक्स ∈ डी च ( एक्स ) । तो, अब बीx0x0zf(x0)⊆f(z)b∈f(z)z∈Df(z)⊆⋃x∈Df(x)bदाहिने हाथ की ओर भी देखा जाता है। QED।
जैसा कि आपने नोट किया है, यह दर्शाता है कि आपके शिक्षक की निरंतरता का अर्थ है कि सुंदर समीकरण आसान है। यह दिखाने के लिए बहुत कठिन है कि सुंदर समीकरण, यह देखने के बावजूद कि यह बहुत अधिक नहीं कह रहा है, वास्तव में आपके शिक्षक की परिभाषा में सब कुछ कहता है।