यूनियनों की उपस्थिति में एनएफए और डीएफए के बीच घातीय पृथक्करण

हाल ही में एक दिलचस्प सवाल पूछा गया और बाद में हटा दिया गया।

एक नियमित भाषा $L$ , इसकी DFA जटिलता इसे स्वीकार करने वाले न्यूनतम DFA के आकार की है, और इसकी NFA जटिलता न्यूनतम NFA को स्वीकार करने का आकार है। यह सर्वविदित है कि दो जटिलताओं के बीच एक घातीय पृथक्करण है, कम से कम जब वर्णमाला का आकार अनबाउंड होता है। दरअसल, भाषा पर विचार $L_n$ वर्णमाला से अधिक $\{1,\ldots,n\}$ सभी शब्दों से मिलकर नहीं सभी प्रतीकों से युक्त। माइहिल-नेरोड प्रमेय का उपयोग करके डीएफए जटिलता गणना करना आसान है $2^n$ । दूसरी ओर, एनएफए जटिलता केवल $n$ (यदि कई प्रारंभिक अवस्थाओं की अनुमति है, अन्यथा यह $n+1$ )।

हटाए गए प्रश्न में किसी भाषा की DFA कवरिंग जटिलता से संबंधित है , जो कि न्यूनतम $C$ जैसे कि $L$ को सबसे अधिक पर DFA जटिलता की भाषाओं के संघ (जरूरी नहीं कि असंतुष्ट) के रूप में लिखा जा सकता $C$ । की जटिलता DFA $L_n$ केवल $2$ ।

क्या एनएफए जटिलता और डीएफए कवरिंग जटिलता के बीच एक घातीय पृथक्करण है?

regular-languages finite-automata

— युवल फिल्मस
स्रोत

भाषा पर विचार करें , जहां एक नया प्रतीक है। की NFA जटिलता है । हम यह दिखाएंगे कि इसकी DFA कवरिंग जटिलता । $M_n = \epsilon +(L_n \#)^*L_n$ $\#$ $M_n$ $n$ $2^n$

चलो एक DFA कुछ भाषा को स्वीकार हो , संक्रमण समारोह के साथ । एक राज्य कॉल व्यवहार्य अगर कोई शब्द है ऐसी है कि एक को स्वीकार करने वाला राज्य है। किसी भी दो गैर विफलता राज्यों के लिए , चलो $A$ $L(A) \subseteq M_n$ $q_A$ $s$ $w$ $q_A(s,w)$ $s,t$ यह जांच करने के लिए है कि हर शब्द कठिन नहीं है के रूप में लिखा जा सकता है जहां कुछ व्यवहार्य के लिए ।

A_{s, t} = {w \in (1 + \dots + n)^{*} : q_{A} (s, w) = t} .

$A_{s,t} = \{ w \in (1+\cdots+n)^* : q_A(s,w) = t \}.$

w \in L (A)

$w \in L(A)$

w = w_{1} # \dots # w_{l}

$w = w_1\# \cdots \#w_l$

w_{i} \in A_{s_{i}, t_{i}}

$w_i \in A_{s_i,t_i}$

s_{i}, t_{i}

$s_i,t_i$

मान लीजिए कि है, जहां प्रत्येक एक DFA है। चलो सभी द्वारा उत्पन्न भाषाओं जाली हो । हम देख सकते हैं एक भाषा के रूप में से अधिक , के लिए इसी किसी भी दो प्रतीकों के बीच की जगह । इस दृष्टिकोण के तहत, $M_n = \bigcup_{i=1}^N L(A^i)$ $A^i$ $P$ $A^i_{s,t}$ $L(A^i)$ $L_P(A^i)$ $P^*$ $\#$ $M_n$ से मेल खाती है । $P^*$

कॉल सार्वभौमिक अगर कुछ के लिए यह मामला है कि सभी के लिए है ऐसी है कि । हम दावा करते हैं कि कुछ सार्वभौमिक है। अन्यथा, प्रत्येक में सबसे अधिक होता है $L_P(A^i)$ $x \in P^*$ $y \in P$ $z \in P^*$ $xyz \in L_P(A^i)$ $L_P(A^i)$ $L_P(A^i)$ लंबाई शब्द। कुल मिलाकर, में सभी शामिल होने चाहिए लंबाई के शब्द , इसलिए , जो बड़ा पर्याप्त के लिए उल्लंघन किया जाता है । $(|P|-1)^l$ $l$ $L_P(A^i)$ $|P|^l$ $l$ $|P|^l \leq N (|P|-1)^l$ $l$

मान लीजिए कि सार्वभौमिक है, और संक्षिप्तता के लिए लिखें । चलो इसी उपसर्ग हो, और कुछ शब्द यह करने के लिए इसी हो। प्रत्येक के लिए इस प्रकार वहाँ कुछ है ऐसी है कि । $L_P(A^i)$ $A = A^i$ $x' \in P^*$ $x \in M_n$ $y \in L_n$ $z_y \in M_n$ $x\#y\#z_y \in L(A_i)$

एक सबसेट के लिए , चलो में पत्र से मिलकर आदेश में लिखा है। हम दावा करते हैं कि के Myhill-Nerode संबंध के लिए शब्द असमान हैं । दरअसल, लगता और कुछ को खोजने के (व्यापकता की हानि के बिना)। फिर $S \subseteq \{1,\ldots,n\}$ $y_S$ $S$ $x\#y_S$ $A$ $S \neq T$ $a \in S \setminus T$ , जबकि । इसलिए कम से कम राज्य होने चाहिए। $x\#y_T y_{\{1,\ldots,n\} - a} \# z_{y_T y_{\{1,\ldots,n\} - a}} \in L(A)$ $x\#y_S y_{\{1,\ldots,n\} - a} \# z_{y_T y_{\{1,\ldots,n\} - a}} \notin M_n$ $A$ $2^n$

— युवल फिल्मस
स्रोत