मल्टीसेट की संख्या ऐसी है कि 1 से

Question

मेरी समस्या। को देखते हुए , मैं मान्य मल्टीसेटसेट की संख्या गिनना चाहता हूं । यदि एक मल्टीसेट वैध है$n$$S$$S$

• के तत्वों का योग है , और$S$$n$
• $1$ से तक की प्रत्येक संख्या $n$को के कुछ तत्वों के योग के रूप में विशिष्ट रूप से व्यक्त किया जा सकता है $S$।

उदाहरण। उदाहरण के लिए यदि $n=5$ तो $\{1,1,1,1,1\}, \{1,2,2\}, \{1,1,3\}$ मान्य हैं।

हालाँकि, $S=\{1,1,1,2\}$ अमान्य है क्योंकि 2 का गठन $\{1,1\}$ और दोनों द्वारा किया जा सकता है $\{2\}$(अर्थात, 2 को $2=1+1$ और दोनों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $2=2$) , इसलिए दूसरी शर्त नहीं है। इसी तरह 3 का गठन $\{2,1\}$ और $\{1,1,1\}$ ।

$S=\{1,2,4$ } भी अमान्य है क्योंकि$1$ से तक की सभी संख्याओं को$5$विशिष्ट रूप से बनाया जा सकता है, लेकिन के तत्वों का योग$S$ नहीं है।$5$

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मैंने काफी समय से इस समस्या के लिए एक अच्छा एल्गोरिथ्म खोजने की कोशिश की है, लेकिन इसे हल नहीं कर सकता। यह codec से है । मैंने कुछ प्रस्तुत समाधान देखे हैं, लेकिन मैं अभी भी समस्या को हल करने के लिए तर्क नहीं दे पाया। नोट: प्रश्न के लिए समय सीमा 10 सेकंड और $n<10^9$

एक मल्टीसेट के लिए मैं संकेतन का उपयोग होगा $S = \{(a_1, c_1), (a_2, c_2) ... \}$ $a_i<a_j$ अगर $i<j$ , जिसका अर्थ है $a_i$ होता $c_i$ मल्टीसेट एस में कई बार

अब तक मैंने कुछ निष्कर्ष निकाले हैं

• आवश्यक सॉर्ट किए गए मल्टीसेट का पहला तत्व 1 होना चाहिए$1$
• Let दो गुण निम्नलिखित तो एक सेट हो ∀ आर < कश्मीर एक आर + 1 = एक आर  या  ( Σ आर मैं = 0 एक मैं ) + $S=\{1,a_2 \cdots a_k\} | a_1 \leq a_2\cdots \leq a_k$$\forall r<k \ \ a_{r+1} = a_r \text{ or } (\sum_{i=0}^ra_i) + 1$
• चलो , जहां एक मैं हो रहा है ग मैं बार, ऊपर निष्कर्ष हम कह सकते हैं कि से तो आवश्यक गुण इस प्रकार ∀ मैं एक मैं | एन + 1 और$S=\{(1,c_1),(a_2,c_2) \cdots (a_k,c_k)\} | a_1 \leq a_2\cdots \leq a_k$$a_i$$c_i$$\forall i \ a_i|n+1$ अगर j > i । सबूत: एक मैं + 1 = ( एक मैं ग मैं + एक मैं - 1 ) + 1 ⇒ एक मैं | एक i + $a_i | a_j$$j > i$
  $a_{i+1} = (a_ic_i + a_i -1 ) + 1 \Rightarrow a_i | a_{i+1}$
• अब विचार करना यानी सभी 1 के बाद के बाद के नंबर डी के एक से अधिक होंगे । तो चलो एफ ( एन $S=\{ \underbrace{1,1 \cdots 1}_{d-1},d,d \cdots d,dm_1, dm_1 \cdots dm_1,dm_2, dm_2 \cdots dm_2, \cdots \}$$d$$f(n)$इस तरह के मल्टीसेट की गिनती संभव हो तो जहाँ मैं के सभी संभव नंबर पर संक्षेप हूँ1'एस(=घ-1)। अन्य शब्दों मेंच(n-1)=जी(एन)=Σघ| n,घ≠एनजी(घ$f(n) = \sum_{d|n+1, d\neq 1} f(\frac{n-(d-1)}{d})$$1's$$=d-1$$f(n-1)=g(n)=\sum_{d|n,d \neq n}g(d)$

अंत में मेरी समस्या इसे कम कर दी गई है - एक कुशल तरीके से ढूंढें ताकि यह समय सीमा से अधिक न हो।$g(n)$

Comments

क्या आपने जाँच की है कि क्या अन्य लोगों के लिए सार्वजनिक रूप से समाधान और एल्गोरिदम को अभ्यास समस्याओं के लिए पूछना उचित है? Codechef अकसर किये गए सवाल से लगता है कि समाधान सार्वजनिक रूप से (कुछ बहुत बुनियादी समस्याओं को छोड़कर) पोस्ट नहीं किए जाएंगे। क्या यहां कोई समाधान पोस्ट करना दूसरों के लिए अभ्यास की समस्याओं को "खराब" करेगा, या क्या इसे ठीक माना जाता है? मैं Codechef समुदाय के मानदंडों और शिष्टाचार से परिचित नहीं हूं।

— DW

मुझे सार्वजनिक डोमेन पर प्रश्न पोस्ट न करने से संबंधित कुछ भी नहीं मिला और यह प्रतिबंध चल रही प्रतियोगिता समस्याओं पर है, अभ्यास समस्या पर नहीं।

— न्याय लीग

@ मैं नहीं सोचता कि अगर हम उन चर्चाओं पर चर्चा करेंगे जो चल रही प्रतियोगिताओं से नहीं हैं।

— रवि उपाध्याय

आप इनपुट नंबर के विभाजन की संख्या की तलाश कर रहे हैं । मेरा सुझाव है कि आप इस चर्चा का उपयोग करके कुछ शोध करें।

— राफेल

@ राफेल, मैं सहमत हूं, पोस्टर को उन तकनीकों पर पढ़ना चाहिए। यह वास्तव में एक ही समस्या नहीं है - पोस्टर की पहली स्थिति के लिए यह आवश्यक है कि यह एक विभाजन हो, लेकिन दूसरी स्थिति अतिरिक्त प्रतिबंध (अद्वितीय परिवर्तन-निर्माण के लिए ) लगाती है - लेकिन संख्या की गणना के लिए उपयोग की जाने वाली समान तकनीकों को लागू करना संभव हो सकता है अतिरिक्त आवश्यकता से निपटने के लिए कुछ संशोधनों के साथ विभाजन।

— DW

Answer 1

यहां सबसे तेज समाधान क्या है। यह वास्तव में कंप्यूटिंग है अपने समारोह देखते हुए n , हम इसे कारक (देखें नीचे) और फिर सभी कारकों की गणना (नीचे देखें) च 1 , ... , च मीटर कुछ क्रम में ऐसा है कि च मैं | च जे तात्पर्य मैं ≤ j (संपत्ति पी)। अब हमदिए गए क्रम में कारकों पर जाकर सूत्र के अनुसार g की गणनाकरते हैं। संपत्ति पी सुनिश्चित है कि जब हम गणना जी ( घ ) , हम पहले से ही गणना की है जी ( ई ) के लिए सभी गैर तुच्छ कारकों

$$g(n) = \sum_{\substack{d \mid n \\ d < n}} g(d), \quad g(1) = 1.$$ $n$$f_1,\ldots,f_m$$f_i|f_j$$i \leq j$$g$$g(d)$$g(e)$$e$के । एक अनुकूलन भी है (नीचे देखें)।$d$

अधिक विस्तार से, हम कारकों के क्रम में चलते हैं, और प्रत्येक कारक , हम इसके गैर-तुच्छ कारकों में से सभी को खोजते हैं, जो f 1 , … , f i - 1 में से 1 को विभाजित करता है i i ।$f_i$$f_1,\ldots,f_{i-1}$$f_i$

फैक्टरिंग: प्रीप्रोसेसिंग: हम एराटोस्थनीज छलनी का उपयोग करके नीचे के सभी अपराधों की एक सूची बनाते हैं । N को देखते हुए , हम बस ट्रायल डिवीजन का उपयोग करते हैं।$10^9$$n$

सभी कारकों को उत्पन्न करना: यह पुनरावर्ती रूप से किया जाता है। मान लीजिए । हम चलाने टी नेस्टेड छोरों एल 1 ∈ { 0 , ... , कश्मीर 1 } , ... , एल टी ∈ { 0 , ... , कश्मीर टी } , और आउटपुट पी एल 1 1 ⋯ पी एल टी टी । आप संपत्ति पी को प्रेरण से साबित कर सकते हैं।$n = p_1^{k_1} \cdots p_t^{k_t}$$t$$l_1 \in \{0,\ldots,k_1\},\ldots,l_t \in \{0,\ldots,k_t\}$$p_1^{l_1}\cdots p_t^{l_t}$

अनुकूलन: चूंकि प्रोग्राम कई इनपुटों पर चलाया जाता है, इसलिए हम विभिन्न इनपुट्स में समय बचाने के लिए मेमोइज़ेशन का उपयोग कर सकते हैं। हम केवल छोटे मूल्यों ( ) को याद करते हैं, और यह हमें एक सरणी में सभी ज्ञापन मूल्यों को संग्रहीत करने की अनुमति देता है। सरणी को शून्य से आरंभ किया जाता है, और इसलिए हम बता सकते हैं कि कौन से मान पहले से ज्ञात हैं (क्योंकि सभी गणना मूल्य सकारात्मक हैं)।$10^5$

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यदि का अभाज्य गुणनखंडन p k 1 1 , … , p k t t है , तो f ( n ) केवल ( k 1 , … , k t ) पर निर्भर करता है , और वास्तव में केवल इस वेक्टर के छांटे गए संस्करण पर। । 10 9 से नीचे की प्रत्येक संख्या में सबसे अधिक 29 प्रमुख कारक हैं (पुनरावृत्ति के साथ), और चूंकि पी ( 29 ) = 4565 , यह f की गणना के लिए संभव लगता है$n+1$$p_1^{k_1},\ldots,p_t^{k_t}$$f(n)$$(k_1,\ldots,k_t)$$10^9$$29$$p(29)=4565$$f$(या बल्कि ) उन सभी के लिए, पुनरावर्ती रूप से। यदि कई अलग-अलग इनपुट थे, तो यह समाधान तेज हो सकता है; जैसा कि यह है, अधिकतम 10 हैं ।$g$$10$

यह भी संभव है कि इस फ़ंक्शन, संबंधित लिए विभाजन मैपिंग , एक स्पष्ट विश्लेषणात्मक रूप है। उदाहरण के लिए, g ( p k ) = 2 k - 1 , g ( p 1 … p t ) A000670 द्वारा दिया गया है , और g ( p 2 1 p 2 … p t ) A005649 या A172109 द्वारा दिया गया है ।$g$$g(p^k) = 2^{k-1}$$g(p_1\ldots p_t)$$g(p_1^2 p_2\ldots p_t)$

Answer 2

ठीक है, तो आप के लिए एक आवर्ती संबंध है (अपने प्रश्न के अंत देखें)।$g(\cdot)$

इस बिंदु पर ऐसा लगता है कि एक प्राकृतिक दृष्टिकोण गणना करने के लिए पुनरावर्ती एल्गोरिदम को लिखना होगा , और ज्ञापन को लागू करना होगा ताकि आप एक बार से अधिक जी ( आई ) की गणना न करें । दूसरे शब्दों में, जब आप g ( i ) की गणना करते हैं, तो आप इसे एक हैश तालिका में संग्रहीत करते हैं, जो कि i ( g ( i ) के नक्शे बनाता है ; यदि आपको भविष्य में फिर से g ( i ) को जानने की आवश्यकता है , तो आप इसे हैश तालिका में देख सकते हैं।$g(n)$$g(i)$$g(i)$$i \mapsto g(i)$$g(i)$

इस फैक्टरिंग की आवश्यकता होती है , लेकिन वहाँ फैक्टरिंग के लिए कुशल एल्गोरिदम हैं n जब n ≤ 10 9 ।$n$$n$$n\le 10^9$

तुम भी अनुक्रम इन्टर्जेन्स अनुक्रम के ऑन-लाइन विश्वकोश में देख सकते हैं । यदि आप उनके विश्वकोश में अनुक्रम पाते हैं, तो कभी-कभी वे अतिरिक्त उपयोगी जानकारी प्रदान करेंगे (उदाहरण के लिए, अनुक्रम की गणना के लिए कुशल एल्गोरिदम)। हालांकि, यह मज़ेदार है कि चीजों से मज़ा लिया जाए।$g(1),g(2),g(3),g(4),g(5),\ldots$

Answer 3

यहां आपको आरंभ करने का संकेत दिया गया है। पूर्णांक के विभाजनों के सेट की गणना करने के लिए मानक गतिशील प्रोग्रामिंग एल्गोरिदम लागू करें , और यह जांचने के लिए कुछ तर्क जोड़ें कि इनमें से कौन सा अद्वितीय परिवर्तन के लिए अनुमति देता है, सभी रकमों की जाँच करके, परिवर्तन करके , और अद्वितीयता की पुष्टि करें।

थोड़ा और विस्तार से: मान लीजिए कि आपके पास एक मल्टीसेट । एक नंबर को देखते हुए मैं के साथ 1 ≤ मैं ≤ n , तुम कैसे की एक submultiset की पहचान कर सकता है एस करने के लिए है कि रकम मैं ? आप कैसे जाँच सकते हैं कि क्या यह सबमुलिसेट अद्वितीय है? परिवर्तन करने के लिए मानक गतिशील प्रोग्रामिंग तकनीकों को अनुकूलित करने का प्रयास करें । ( यह सवाल भी देखें )$S$$i$$1 \le i \le n$$S$$i$

एक मल्टीसेट को देखते हुए , आप यह कैसे जांच सकते हैं कि क्या यह दूसरी स्थिति को संतुष्ट करता है, अर्थात, क्या 1 से n तक की प्रत्येक संख्या को विशिष्ट रूप से S के एक उप-कुल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है (अद्वितीय परिवर्तनशील स्थिति)? यदि आप पिछले एक को हल करते हैं तो यह बहुत आसान होना चाहिए।$S$$n$$S$

चलो multisets कि अपनी शर्तों के दोनों को संतुष्ट की सूची को दर्शाते हैं। यदि आप पी ( 1 ) , पी ( 2 ) , … , पी ( एन ) जानते हैं, तो आप पी ( एन + 1 ) के निर्माण के लिए उस जानकारी का उपयोग कैसे कर सकते हैं ? यहाँ आप एक पूर्णांक के विभाजनों की गणना के लिए मानक गतिशील प्रोग्रामिंग तकनीकों को अनुकूलित करना चाह सकते हैं।$P(n)$$P(1), P(2), \dots, P(n)$$P(n+1)$

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यहाँ एक दृष्टिकोण है जो शायद बेहतर होगा।

मान लीजिए कि एक मल्टीसेट है जो आपकी दोनों स्थितियों ( एन के लिए ) को संतुष्ट करता है । हम एक मल्टीसेट टी प्राप्त करने के लिए इसे कैसे बढ़ा सकते हैं जिसमें एक तत्व अधिक है? दूसरे शब्दों में, हम एक नए मल्टीसेट टी को प्राप्त करने के लिए एस को एक और तत्व जोड़ने के सभी तरीकों की पहचान कैसे कर सकते हैं जो आपकी दोनों स्थितियों (कुछ एन ′ के लिए ) को संतुष्ट करता है ?$S$$n$$T$$S$$T$$n'$

उत्तर: यदि को S के कुछ तत्वों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है , तो इसे S में जोड़ने का कोई मतलब नहीं है : जो T को विशिष्टता की स्थिति का उल्लंघन करने का कारण बनेगा । तो, हम सभी पूर्णांकों की गणना कर सकते हैं एक्स कि नहीं कर सकते हैं की तत्वों में से कुछ की राशि के रूप में व्यक्त किया जा एस ; प्रत्येक एक ऐसी चीज है जो संभवतः एक नया मल्टीसेट टी प्राप्त करने के लिए एस में जोड़ा जा सकता है जो दोनों स्थितियों (कुछ अन्य एन के लिए ) को संतुष्ट करेगा ।$x$$S$$S$$T$$x$$S$$S$$T$$n$

इसके अलावा, यह एन्यूमरेट करना संभव है कि कौन से पूर्णांकों को के कुछ तत्वों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है , और जो गतिशील प्रोग्रामिंग का उपयोग नहीं कर सकता है। आप एक दो आयामी सरणी का निर्माण एक [ 1 ... | एस | , 1 ... एन ] बूलियन्स, जहां की एक [ मैं , जे ] अगर वहाँ पूर्णांक व्यक्त करने के लिए एक तरीका है सच है j पहले से कुछ की राशि के रूप में मैं के तत्वों एस (केवल पहला मैं के तत्वों एस करने के पात्र हैं इस्तेमाल किया जा सकता है, जहां $S$$A[1\ldots |S|,1 \ldots n]$$A[i,j]$$j$$i$$S$$i$$S$$S$सॉर्ट किया गया है, इसलिए और रों 1 ≤ रों 2 ≤ ⋯ ≤ रों कश्मीर )। ध्यान दें कि A [ i , j ] A [ 1 … i - 1 , 1 … j - 1 ] के मूल्यों का उपयोग करके कंप्यूटिंग कर सकता है : विशेष रूप से, A [ i , j $S=\{s_1,s_2,\dots,s_k\}$$s_1\le s_2 \le \cdots \le s_k$$A[i,j]$$A[1\ldots i-1, 1\ldots j-1]$ अगर j > एस मैं , या एक [ मैं , जे ] = एक [ मैं - 1 , जे ] अन्यथा। यह हमें उन सभी नंबरों की पहचान करने में सक्षम बनाता है जो एस में जोड़े जाने वाले उम्मीदवार हैं।$A[i,j] = A[i-1,j] \lor A[i-1,j-s_i]$$j>s_i$$A[i,j]=A[i-1,j]$$S$

इसके बाद, प्रत्येक उम्मीदवार विस्तार के लिए के एस (एक तत्व जोड़कर प्राप्त एस ), हम है कि क्या जाँच करना चाहते हैं टी संतुष्ट दोनों स्थितियों। चलो n के तत्वों का योग निरूपित एस , और n ' के तत्वों का योग टी । हम जांच करने के लिए है कि क्या रेंज में हर पूर्णांक जरूरत n + 1 , n + 2 , ... , n ' के तत्वों में से कुछ की राशि के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $T$$S$$S$$T$$n$$S$$n'$$T$$n+1,n+2,\ldots,n'$$T$। यह भी परिवर्तनशील के लिए मानक एल्गोरिदम का उपयोग करते हुए, गतिशील प्रोग्रामिंग का उपयोग करके हल किया जा सकता है। (वास्तव में, अगर आप अभी भी सरणी है ऊपर उल्लेख किया है आप आसानी से इसे थोड़ा सा इस समस्या को हल करने के लिए विस्तार कर सकते हैं: हम इसे एक सरणी बनाने के एक [ 1 ... | टी | , 1 ... n ' ] , सभी में भरने के लिए जारी अतिरिक्त प्रविष्टियों की, और सुनिश्चित करें कि A [ | T | , n + 1 ] , A [ | T | , n + 2 ] $A$$A[1\ldots |T|, 1 \ldots n']$ सभी सही हैं।) तो, अब हम सभी multisets गणना कर सकते हैं टी कि विस्तार एस एक भी तत्व से और है कि दोनों शर्तों को पूरा।$A[|T|,n+1], A[|T|,n+2], \ldots, A[|T|,n']$$T$$S$

यह तुरंत सभी multisets की गणना करने के लिए एक एल्गोरिथ्म का सुझाव सभी के लिए, कि अपनी हालत को संतुष्ट n बाध्य कुछ करने के लिए कहते हैं, n ≤ 20 । हम एक सरणी होगा पी [ 1 ... 20 ] , जहां पी [ 5 ] भंडार सभी multisets एस 5 के लिए उस राशि, और आम तौर पर, पी [ एन ] भंडार सभी multisets के सेट एस करने के लिए उस राशि एन ।$S$$n$$n\le 20$$P[1\ldots 20]$$P[5]$$S$$P[n]$$S$$n$

अगला, हम पुनरावृति में भर सकते हैं । केवल एक मल्टीसेट { 1 } सम्‍मिलित करने के लिए P [ 1 ] सेट करके प्रारंभ करें । अगला, प्रत्येक के लिए n (1 से 20 से ऊपर बढ़ रहा है), प्रत्येक के लिए एस ∈ पी [ एन ] , सभी संभव एक्सटेंशन गणना टी के एस (ऊपर तकनीक का उपयोग), चलो n ' के तत्वों का योग निरूपित टी , और T को P [ n ′ ] में डालें$P[n]$$P[1]$$\{1\}$$n$$S \in P[n]$$T$$S$$n'$$T$$T$$P[n']$अगर यह पहले से ही मौजूद है और अगर नहीं है ।$n' \le 20$

यह बहुत उल्लेखनीय होना चाहिए। सौभाग्य! मज़े करो! विवरणों के माध्यम से काम करना गतिशील प्रोग्रामिंग में एक अच्छा शिक्षण-व्यायाम होगा।

Comments

मैं सभी पूर्णांक विभाजन की गणना नहीं कर सकता क्योंकि यह घातीय होगा। मैंने प्रश्न को संपादित किया है और इसमें और मेरे कुछ विचारों की सीमा शामिल है लेकिन फिर भी मैं फंस गया हूं। हो सकता है आप मदद कर सकते हैं $n$

— न्याय लीग