सबसे छोटा अनोखा सकारात्मक पूर्णांक अनुमान लगाता है

Question

आइए हम निम्नलिखित खेल पर विचार करें: कुछ खिलाड़ी और एक कंप्यूटर हैं। प्रत्येक खिलाड़ी एक सकारात्मक पूर्णांक का इनपुट करता है और उसका नाम (खिलाड़ी दूसरे के नंबरों को नहीं जानता है, सिर्फ अपना है)। जब सभी खिलाड़ियों ने अपनी चाल चल दी, तो कंप्यूटर विजेता का एक नाम आउटपुट करता है - जिसने सबसे कम अद्वितीय नंबर जमा किया ।

आप कैसे सोचते हैं, इस खेल के लिए सबसे अच्छी रणनीति क्या है?

Comments

परस्पर विरोधी उत्तरों के साथ इस समस्या के लिए वेबपृष्ठों का एक समूह है, लेकिन ऐसा लगता है कि यह सही हो गया है।

— पीटर शोर

@PeterShor या vortexxx192 - किसी उत्तर में दिए गए लिंक पर, जैसा कि लागू हो, जानकारी को सारांशित करने पर विचार करें।

— पैट्रिक87

यह खेल वास्तव में एक लोकप्रिय गणितज्ञ द्वारा एक डच समाचार पत्र के लिए चलाया गया था। 1607 प्रतिभागी थे और विजेता ने 35 को चुना। स्रोत (डच, पेवल

— अल्बर्ट हेंड्रिक्स

Answer 1

ऑनलाइन इस खेल की कई चर्चाएं हैं, लेकिन आपको सावधान रहना चाहिए क्योंकि उनमें से कुछ गलत समाधान देते हैं। यह वेबसाइट इस खेल को हल करने के लिए एक उत्कृष्ट प्रदर्शनी देती है। ( इस पेपर पर भाग के आधार पर ।) आप मानते हैं कि सभी खिलाड़ी एक ही मिश्रित रणनीति का उपयोग करते हैं, और जब सभी खिलाड़ी इस रणनीति का उपयोग करते हैं, तो नैश संतुलन होता है। इस समीकरण जो तीन खिलाड़ियों के लिए एक बंद फार्म समाधान देता है: आप पूर्णांक चुनें संभावना के साथ$i$

$$0.839286 \cdot (0.543689)^{\textstyle i}$$

जहाँ 0.543689 का हल है ।$x^3 + x^2 + x = 1$

के लिए खिलाड़ियों, अगर , समीकरण अभी भी प्राप्त किया जा सकता है, लेकिन वे नहीं बंद फ़ॉर्म समाधान दिखाई देते हैं। हालांकि, इष्टतम रणनीति में की तुलना में बड़ी संख्या में खेलने की संभावना बहुत कम है, इसलिए संख्यात्मक रूप से समीकरणों को हल करके एक स्पष्ट लगभग-इष्टतम रणनीति पाई जा सकती है।$k$$k \geq 4$$k$

Answer 2

टिप्पणी करने के लिए पर्याप्त प्रतिष्ठा नहीं है, लेकिन, यह ध्यान देने योग्य है कि यदि आपके प्रतिद्वंद्वी नैश संतुलन रणनीति द्वारा खेल रहे हैं, तो पीटर श्योर ने 3 खिलाड़ी खेल के लिए वर्णन किया है, आपके जीतने की संभावना आपके द्वारा चुने गए संख्या के बावजूद लगभग 29.6% है। यदि आप केवल एक ही गेम खेल रहे हैं (तो कोई भी आपकी रणनीति का निर्धारण नहीं कर सकता है) और सभी खिलाड़ियों के बीच ड्रॉ को नुकसान से बेहतर नहीं मानते हैं, तो बड़ी संख्या जैसे कि 89285829358008871 आपको 1 या 2 के रूप में जीत का मौका देगा।

इस विशिष्ट मामले में, एक अलग रणनीति की कोशिश करने से खोने के लिए कुछ भी नहीं है, बस अगर आपके विरोधी आपकी मान्यताओं के अनुरूप नहीं हैं।

Comments

मूल रूप से, आप जो कह रहे हैं कि ऐसी रणनीतियाँ हैं जो संतुलन की रणनीति के खिलाफ अच्छा करती हैं। यह अनिवार्य रूप से हमेशा मामला होता है और, वास्तव में, आप जो कर रहे हैं वह इस धारणा का उल्लंघन कर रहा है कि खिलाड़ी तर्कसंगत रूप से कार्य करते हैं। निश्चित रूप से, आप नैश संतुलन को हरा सकते हैं लेकिन यदि अन्य खिलाड़ियों को पता है कि आप ऐसा करने की कोशिश करने जा रहे हैं, तो वे इस तरह से खेल सकते हैं जिससे आपको (हारने की) संभावना है।

— डेविड रिचेर्बी

नहीं, यह वह नहीं था जो मैं कह रहा था! मैंने कभी नहीं कहा कि नैश संतुलन को पीटा जाएगा - यदि अन्य दो खिलाड़ी उस रणनीति के लिए चुनते हैं तो इसे पीटा नहीं जाएगा। बल्कि, तीसरे खिलाड़ी की प्रतिक्रिया अप्रासंगिक है क्योंकि इसका अंतिम परिणाम (औसतन) पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है, इसलिए स्विचिंग रणनीतियों में कोई लागत नहीं है (उदाहरण के लिए यदि कोई प्रतिद्वंद्वी उप-इष्टतम रणनीति का चुनाव करता है, तो ओपी में तर्कसंगतता की कोई धारणा नहीं है। )। प्रतिक्रिया नैश संतुलन के कुछ विशेष गुणों को उजागर करने के लिए अधिक थी, और कुछ व्यावहारिक निहितार्थों पर चर्चा की। क्या वह आपकी चिंताओं का समाधान करता है?

— मैट थॉम्पसन