क्वांटम ट्यूरिंग मशीनों को कैसे परिभाषित करें?

52

क्वांटम गणना में, ट्यूरिंग मशीन के समतुल्य मॉडल क्या है? यह मेरे लिए काफी स्पष्ट है कि क्वांटम सर्किट का निर्माण क्वांटम गेट्स से कैसे किया जा सकता है, लेकिन हम क्वांटम ट्यूरिंग मशीन (क्यूटीएम) को कैसे परिभाषित कर सकते हैं जो वास्तव में क्वांटम प्रभाव से लाभान्वित हो सकते हैं, अर्थात् उच्च-आयामी सिस्टम पर प्रदर्शन करते हैं?

quantum-computing turing-machines computation-models

— रान जी।
स्रोत

9

बर्कले का यह व्याख्यान नोट एक जवाब देता है। www.eecs.berkeley.edu/~vazirani/f97qcom/lec19.ps

— मोहम्मद अल-तुर्किस्टनी

1

वास्तव में क्वांटम सर्किट मॉडल और क्वांटम ट्यूरिंग मशीन समतुल्य हैं, जिन्हें ACYao ने साबित किया है।

— स्ट्रिन

30

^{( ध्यान दें : पूर्ण विक्षेपण थोड़ा जटिल है, और इसमें कई सूक्ष्मताएं हैं जिन्हें मैंने अनदेखा करना पसंद किया। निम्नलिखित केवल क्यूटीएम मॉडल के लिए उच्च-स्तरीय विचार हैं)}

जब क्वांटम ट्यूरिंग मशीन (क्यूटीएम) को परिभाषित किया जाता है, तो कोई व्यक्ति एक साधारण मॉडल को शास्त्रीय टीएम (यानी, एक परिमित राज्य मशीन और एक अनंत टेप) के समान बनाना चाहेगा, लेकिन नए मॉडल को क्वांटम यांत्रिकी का लाभ देगा।

शास्त्रीय मॉडल के समान, क्यूटीएम में है:

$Q=\{q_0,q_1,..\}$ - राज्यों का एक परिमित सेट। आज्ञा दें एक प्रारंभिक अवस्था है। $q_0$
$\Sigma=\{\sigma_0,\sigma_1,...\}$ , - इनपुट / वर्किंग वर्णमाला का सेट $\Gamma=\{\gamma_0,..\}$
एक अनंत टेप और एक "सिर"।

हालांकि, संक्रमण फ़ंक्शन को परिभाषित करते समय, किसी को याद रखना चाहिए कि किसी भी क्वांटम गणना को प्रतिवर्ती होना चाहिए । स्मरण करो कि TM का विन्यास tuple है और यह दर्शाता है कि TM राज्य , टेप में और सिर th cell की ओर इंगित करता है। टेप। $C=(q,T,i)$ $q\in Q$ $T\in \Gamma^*$ $i$

चूंकि, किसी भी समय, टेप में केवल गैर-रिक्त कोशिकाओं की एक सीमित मात्रा होती है, इसलिए हम कॉन्फ़िगरेशन स्पेस द्वारा उत्पन्न हिल्बर्ट स्पेस में एक यूनिट वेक्टर के रूप में क्यूटीएम की (क्वांटम) स्थिति को परिभाषित करते हैं। । विशिष्ट कॉन्फ़िगरेशन को राज्य के रूप में दर्शाया गया है_{(टिप्पणी: इसलिए, टेप में प्रत्येक कोशिका isa}_{-dimensional हिल्बर्ट स्थान है।)} $\mathcal{H}$ $Q\times\Sigma^*\times \mathrm{Z}$ $C=(q,T,i)$

| C ⟩ = | q ⟩ | T ⟩ | i ⟩ .

$|C\rangle = |q\rangle |T\rangle |i\rangle.$ _$\Gamma$

को राज्य के लिए आरंभीकृत किया गया है , जहाँ इनपुट साथ है। आवश्यकतानुसार कई "रिक्त" (अधिकतम लंबाई निर्धारित करने के लिए यहां एक सूक्ष्मता है, लेकिन मैं इसे अनदेखा करता हूं)। $|\psi(0)\rangle = |q_0\rangle |T_0\rangle |1\rangle$ $T_0\in \Gamma^*$ $x\in\Sigma^*$

प्रत्येक समय कदम पर, क्यूटीएम की स्थिति कुछ एकात्मक अनुसार विकसित होती है $U$

| ψ (i + 1) ⟩ = U | ψ (i) ⟩

$|\psi(i+1)\rangle = U|\psi(i)\rangle$

ध्यान दें कि राज्य किसी भी समय द्वारा दिया जाता है । कोई भी एकात्मक हो सकता है जो केवल टेप को बदलता है जहां सिर स्थित है और सिर को दाएं या बाएं एक कदम चलता है। यही कारण है, शून्य है, जब तक कि और अलग से केवल स्थिति में । $n$ $|\psi(n)\rangle = U^n|\psi(0)\rangle$ $U$ $\langle q',T',i'|U|q,T,i\rangle$ $i'= i \pm 1$ $T'$ $T$ $i$

अभिकलन के अंत में (जब एक राज्य पहुंचता है ) टेप को मापा जा रहा है (उपयोग, कहते हैं, कम्प्यूटेशनल आधार)। $q_f$

ध्यान देने वाली दिलचस्प बात यह है कि प्रत्येक "चरण" क्यूटीएम की स्थिति संभव कॉन्फ़िगरेशन का एक सुपरपोज़िशन है, जो क्यूटीएम को "क्वांटम" लाभ देता है।

इसका जवाब मासानो ओजवा पर है, ऑन द हॉल्टिंग प्रॉब्लम फॉर क्वांटम ट्यूरिंग मशीन । डेविड डिक्शन, क्वांटम सिद्धांत, चर्च-ट्यूरिंग सिद्धांत और सार्वभौमिक क्वांटम कंप्यूटर भी देखें ।

— रान जी।
स्रोत

7

मुझे यकीन नहीं है कि डेविड डिक्शन की मूल परिभाषा सबकुछ सही हो जाती है ... यह पहली बार था जब किसी ने इसे परिभाषित करने की कोशिश की, और सही गणितीय रूप से सटीक परिभाषा का पता लगाने के लिए कुछ परिशोधन किए।

— पीटर शोर

7

जैसा कि नोट्स से संकेत मिलता है, क्यूटीएम को परिभाषित करने का तरीका संक्रमण फ़ंक्शन को राज्य और पत्र के एकात्मक परिवर्तन के रूप में परिभाषित करना है। इसलिए प्रत्येक चरण में, आप एक नया (राज्य, पत्र) प्राप्त करने के लिए एक परिवर्तन द्वारा राज्य (राज्य, पत्र) वेक्टर को गुणा करने की कल्पना करते हैं। यह विशेष रूप से सुविधाजनक नहीं है, लेकिन इसे परिभाषित किया जा सकता है।

— सुरेश
स्रोत