सबसे लंबा चक्र दो चक्रों में निहित है

क्या निम्न समस्या एनपी-पूर्ण है? (मुझे लगता है हाँ)।

इनपुट: एक अप्रत्यक्ष ग्राफ है जहां एज सेट को दो एज-डिसपॉइंट सिंपल साइकल में विघटित किया जा सकता है (ये इनपुट का हिस्सा नहीं हैं )। $k \in \mathbb{N},G=(V,E)$

प्रश्न: वहाँ में एक साधारण चक्र है की तुलना में अधिक से अधिक लंबाई के साथ ? $G$ $k$

जाहिर है समस्या एनपी में है और में अधिकतम डिग्री है , लेकिन वह मदद करने के लिए प्रतीत नहीं होता। $G$ $\leq 4$

graph-theory np-complete decision-problem

— लिस्टिंग
स्रोत

मुझे नहीं लगता कि आप "किसी भी जोड़ी को जोड़ने वाले अधिकांश 4 रास्तों" के बारे में सही हैं। देखें: i.imgur.com/mYL4n1V.png

— सविनजा

@svinja आप सही कह रहे हैं, मुझे कहना चाहिए कि दो जोड़ियों में से किसी भी जोड़ी के बीच सबसे अधिक 4 जोड़ीदार किनारे वाले रास्ते मौजूद हैं।

— सूचीबद्ध

आपका शीर्षक भ्रामक है, क्योंकि सबसे लंबा सरल चक्र

के अपघटन (किसी भी अपघटन) में दो चक्रों में से कोई भी नहीं हो सकता है ।

E

$E$

— डेनिस

@dkuper यह वास्तव में हो सकता है, दो चक्रों के संघ को सरल चक्रों से विमुख करें।

— सूचीबद्ध

मेरा कहना यह नहीं है कि यह कभी भी उनमें से एक नहीं हो सकता, यह है कि कभी-कभी यह उनमें से एक नहीं होता है। तो समस्या दो में से बड़ी नहीं मिल रही है।

— डेनिस

जवाबों:

कमी का प्रयास ...।

हैमिल्टन मार्ग से डिग्राफ पर अधिकतम डिग्री 3 के साथ कमी जो NPC [G & J] है $G = (V,E)$

किनारों की दिशा को अनदेखा करें, और एक मनमाना नोड से पहली गहराई (अप्रत्यक्ष) स्कैन का उपयोग करके, के किनारों को अलग-अलग (अप्रत्यक्ष) पथों के दो सेटों में विभाजित करें (आंकड़े में लाल और हरे); $G$
अतिरिक्त "लिंकिंग नोड्स" जोड़ने वाले लाल रास्तों से जुड़ें (चित्र B में बैंगनी नोड्स) और एक अप्रत्यक्ष लाल सर्किट बनाते हैं; अतिरिक्त "लिंकिंग नोड्स" (चित्रा में बैंगनी नोड्स) को जोड़ने वाले हरे रंग के रास्तों से जुड़ें और एक अप्रत्यक्ष ग्रीन सर्किट बनाएं;
प्रत्येक मूल नोड को बदलने indegree 1 और outdegree 2 (आंकड़ा सी) के बताया भीतर का पर पीले रंग नोड्स लाल किनारे , और जोड़ने पहले आउटबाउंड पर पीले रंग नोड्स लाल बढ़त ; अंत में पीला नोड्स को "दूसरे आउटबाउंड ग्रीन एज ओर जोड़ें" चारों ओर "लिपटे" पथ का उपयोग करते हुए जो लाल किनारों (आंकड़ा D) के सबसे बाहरी पीले नोड्स को छूता है। $b \in V$ $k$ $a\to b$ $k$ $b \to c$ $k$ $b \to d$ $b$

परिणामी ग्राफ़ में सभी पीले नोड्स को केवल एक सरल पथ द्वारा ट्रेस किया जा सकता है, जो कि आकृति E और आकृति F में दिखाए गए दो तरीकों से है, जो मूल नोड के दो मान्य ट्रैवर्सर्स के अनुरूप हैं ; अनौपचारिक रूप से यदि अतिरिक्त "लिंकिंग" बैंगनी नोड के लिए एक किनारे का उपयोग किया जाता है, तो पीले नोड्स का पता नहीं लगाया जा सकता है। $3k$ $b \in V$ $k$

एक समान तरीके से Indegree 2 और outdegree 1 के V के प्रत्येक मूल नोड को बदलना

एक बड़ा पर्याप्त चुनना , परिणाम ग्राफ की तुलना में अधिक से अधिक लंबाई की एक सरल मार्ग है यदि और केवल यदि मूल ग्राफ एक Hamiltonian पथ है (लंबाई की ) $k \gg |V|$ $G'$ $3k(|V|-1)$ $G$ $|V|-1$

यहाँ छवि विवरण दर्ज करें

बड़ी तस्वीर यहां डाउनलोड की जा सकती है

— vor
स्रोत

यह एक बहुत ही सुंदर प्रमाण है, हो सकता है कि आपको आंकड़े 'ए' में किनारों को निर्देशित करना चाहिए ताकि यह समझना आसान हो सके कि रास्ते कैसे प्राप्त करें (मुझे लगता है कि मैं इसे समझ गया हालांकि)।

— सूचीबद्ध

@ वर्तमान: पथ का निर्माण निर्देशित किनारों पर निर्भर नहीं करता है (वास्तव में मैंने उत्तर में "अप्रत्यक्ष" खोज लिखी थी)। आपको एक मनमाना नोड से शुरू करना चाहिए, लाल रंग के किनारों के साथ रंग से गहराई पहले स्कैन करें, फिर पीछे की ओर पहली डिग्री 3 नोड का सामना करना पड़ा और गहराई से पहले स्कैन को जारी रखें ताकि हरे रंग के किनारों के साथ रंग हो, और इसी तरह। .. शायद इसकी अधिक औपचारिक परिभाषा है, लेकिन यह अब मेरे दिमाग में नहीं आया है। अगर आपको और जानकारी चाहिए तो मुझे बताएं।

— Vor

मैं देख रहा हूं कि किनारों को 'सही' दिशा में पार करने वाली संपत्ति को अंतिम परिवर्तन द्वारा लागू किया गया है। स्पष्टीकरण के लिए धन्यवाद।

— सूचीबद्ध

वोर के जवाब से प्रेरित होकर, मैं एक सरल देना चाहता हूं।

ग्रिड ग्राफ की समस्या के लिए हैमिल्टनियन चक्र समस्या के साथ शुरू करें जो कि ईताई द्वारा कठिन साबित हुई थी।

यह आसानी से देखा जा सकता है कि एक ग्रिड ग्राफ के किनारे सेट को 2 असमान सबसेट में विभाजित किया जा सकता है: क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर।

तो अब, हमें सभी क्षैतिज लोगों को एक सरल चक्र में बुनाई की जरूरत है, और सभी ऊर्ध्वाधर लोगों को एक और सरल चक्र में बुनाई।

यह बहुत आसान काम है: ऊर्ध्वाधर लोगों के लिए, सबसे बाईं ओर से सबसे दाईं ओर स्वीप करें, बस किसी भी ऊर्ध्वाधर अंतराल को कनेक्ट करें, फिर लगातार एक्स-समन्वित ऊर्ध्वाधर रेखा से कनेक्ट करें, फिर सबसे निचले बाएं शीर्ष को उच्चतम दाएं शिखर से कनेक्ट करें। क्षैतिज किनारों के लिए भी ऐसा ही करें।

ध्यान दें कि प्राप्त ग्राफ अभी भी सरल है, अप्रत्यक्ष और आवश्यकता को संतुष्ट करता है। यह सरल है क्योंकि ऊर्ध्वाधर चरण और क्षैतिज चरण के अंतिम चरणों में, हम दो अलग-अलग शीर्ष जोड़े के साथ सौदा करते हैं।

$k$ $k$ $2k|V|$

— तिन्ह डी। गुयेन
स्रोत