प्लेनर नियमित भाषाएं

Question

मेरी कक्षा में एक छात्र ने पूछा कि क्या सभी परिमित ऑटोमेटा को किनारों को पार किए बिना खींचा जा सकता है (ऐसा लगता है कि मेरे सभी उदाहरण हैं)। बेशक उत्तर नकारात्मक है, भाषा के लिए स्पष्ट ऑटोमोटन $\{\; x\in\{a,b\}^* \mid \#_a(x)+2\#_b(x) \equiv 0 \mod 5 \;\}$$K_5$ की संरचना है , पांच नोड्स पर पूरा ग्राफ; । युवल ने संबंधित भाषा के लिए एक समान संरचना दिखाई है ।

मेरा प्रश्न निम्नलिखित है: हम कैसे दिखाते हैं कि इस भाषा के लिए प्रत्येक परिमित राज्य ऑटोमेटन गैर-नियोजक है? माइहिल-नेरोड जैसे चरित्रों के साथ यह संभवतः स्थापित किया जा सकता है कि भाषा की संरचना आरेख में मौजूद है, लेकिन हम इसे कैसे सटीक बनाते हैं?

और अगर ऐसा किया जा सकता है, तो क्या "प्लानर रेगुलर लैंग्वेजेस" का कोई लक्षण वर्णन है?

Comments

इसके अलावा, यह तय करने की समस्या कि क्या एक नियमित भाषा को एक प्लानर DFA द्वारा पहचाना जा सकता है, कठिन लगता है। इसकी डिकैडेबिलिटी ओपन है, और इसमें ग्राफ सिद्धांत में खुली समस्याओं के साथ लिंक हैं।

— डेनिस

Answer 1

यह सच नहीं है कि इस भाषा के लिए हर DFA गैर-योजनाकार है:

यहाँ एक भाषा है जो वास्तव में गैर-

$$\left\{ x \in \{\sigma_1,\ldots,\sigma_6\}^* \middle| \sum_{i=1}^6 i\#_{\sigma_i}(x) \equiv 0 \pmod 7 \right\}.$$ : \ वाम \ {x \ in \ {\ sigma_1, \ ldots, \ sigma_6 \} ^ * * मध्य | \ sum_ {i = 1} ^ 6 i \ # \ _ \ _ sigma_i} (x) \ equiv 0 \ pmod 7 \ right \}। इस भाषा के लिए कोई भी प्लानर एफएसए लें। यदि हम सभी अप्राप्य अवस्थाओं को हटा देते हैं, तो भी हमें एक प्लानर ग्राफ मिलता है। प्रत्येक पहुंच योग्य राज्य में छह अलग-अलग आउटगोइंग किनारों होते हैं, जो ज्ञात तथ्य का खंडन करते हैं कि प्रत्येक प्लानर ग्राफ में अधिकतम पांच में डिग्री का शीर्ष होता है।

Answer 2

अवधारणा पर पहले भी शोध किया जा चुका है। (एक बार जब आप इसका उत्तर जान लेते हैं, तो इसके लिए Google ...)

पहले बुक और चंद्र द्वारा पुराना काम है, निम्नलिखित सार के साथ।

सारांश। यह दिखाया गया है कि प्रत्येक परिमित-राज्य ऑटोमेटन के लिए एक प्लांटर राज्य ग्राफ के साथ एक समान nondeterministic automaton मौजूद है। हालांकि वहाँ एक परिमित राज्य ग्राफ के साथ कोई समतुल्य नियतात्मक automaton के साथ परिमित राज्य ऑटोमेटा मौजूद हैं।

दिया गया उदाहरण और तर्क युवल ने अपने उत्तर में दिया है!

इसके अलावा वे बाइनरी वर्णमाला पर भी विचार करते हैं।

एक 2-अक्षर वर्णमाला पर एक 35-राज्य अंतर्निहित गैर-नियतात्मक नियतात्मक ऑटोमेटन है।

यह काम बोंफांटे और डेलूप द्वारा हाल ही में जारी रखा गया है। वे टोपोलॉजिकल एम्बेडिंग पर विचार करते हैं। अनौपचारिक रूप से एक ग्राफ का जीन छेद की संख्या है जो कि किनारों को पार किए बिना ग्राफ को सतह पर एम्बेड करने के लिए जोड़ा जाना है। जीनस जीरो वाले ग्राफ प्लानर होते हैं। फिर किसी भाषा का जीनस भाषा के लिए ऑटोमेटा का न्यूनतम जीन है।

प्रमेय 9 (जीनस-आधारित पदानुक्रम)। मनमाने ढंग से बड़े जीनस की नियमित भाषाएं हैं।

अनुभाग में "राज्य-न्यूनतम ऑटोमेटा बनाम जीनस-न्यूनतम ऑटोमेटा" एक परिणाम प्राप्त करता है, जिसका प्रमाण युवल (पांच राज्यों के 5 भाषा प्लानर बनाने के लिए दस राज्यों) द्वारा दिया गया पहला उदाहरण है।

प्रस्ताव 7. उनके संगत न्यूनतम ऑटोमेटोन के जीनस की तुलना में एक जीनस के साथ नियतात्मक ऑटोमेटा कड़ाई से कम हैं।

G.Bonfante, F.Deloup: कंप्यूटर विज्ञान में नियमित भाषाओं, गणितीय संरचनाओं के जीन 2018। doi 10.1017 / S0960129516000037 । इसके अलावा ArXiv 1301.4981 (2013)

आरवी बुक, एके चंद्रा, इनहेरेंटली नॉनप्लेनर ऑटोमेटा, एक्टा इंफॉर्मेटिका 6 (1976) doi 10.1007 / BF00263745