कंकड़ समस्या

कंकड़ एक अप्रत्यक्ष ग्राफ पर खेला जाने वाला एक सॉलिटेयर गेम है , जिसमें प्रत्येक शीर्ष पर शून्य या अधिक कंकड़ होते हैं। एक एकल कंकड़ चाल में एक शीर्ष से दो कंकड़ निकालने होते हैं $G$ $v$ और की एक मनमाना पड़ोसी को एक कंकड़ जोड़ने । (जाहिर है, इस कदम से पहले वर्टेक्स वी में कम से कम दो कंकड़ होने चाहिए।) पेब्बलडिस्ट्रक्शन समस्या पूछती है, जिसमें एक ग्राफ और प्रत्येक वर्टेक्स लिए एक कंकड़ गिनती , चाहे कोई अनुक्रम हो। कंकड़ की चाल जो सभी को हटाती है लेकिन एक कंकड़। सिद्ध करें कि PebbleDestruction एनपी-पूर्ण है। $v$ $G = ( V; E )$ $p ( v )$ $v$

सबसे पहले, मैं दिखाता हूं कि यह एनपी में है क्योंकि मैं बहुपद समय में समाधान को सत्यापित कर सकता हूं, केवल एक कंकड़ से कंकड़ की गिनती को वापस ले सकता हूं।

अगला, कुछ विचार क्या हैं जिन पर एक बहुपद-समय में कमी के आधार के रूप में उपयोग करने के लिए समस्याएं हैं?

क्या वर्टेक्स कवर काम करना पसंद करेगा? या विभिन्न आकारों का एक शीर्ष कवर?

यदि हां, तो यह प्रत्येक चाल पर कंकड़ की बदलती संख्या को कैसे संभाल सकता है?

धन्यवाद।

प्रेषक: http://courses.engr.illipedia.edu/cs473/sp2011/hw/disc/disc_14.pdf

algorithms graph-theory np-complete

— टीटी
स्रोत

क्या यह दिखाना सरल है कि समस्या एनपी में है? इनपुट आकार पर चालों की संख्या घातीय नहीं हो सकती है?

— विनीसियस डॉस सैंटोस

@ViniciusSantos, चाल की संख्या कंकड़ की संख्या से बड़ी नहीं हो सकती (जो इनपुट का हिस्सा भी है)।

लेकिन हम मान सकते हैं कि कंकड़ की संख्या बाइनरी में है, है ना? इस मामले में, इनपुट का आकार कंकड़ की संख्या पर लॉगरिदमिक है। मुझे अभी भी लगता है कि समस्या के लिए एक छोटा प्रमाण पत्र है लेकिन, जहां तक मैं समझता हूं, चालों की सूची एक नहीं है।

— विनीसियस डॉस सैंटोस

@ViniciusdosSantos, क्या आपने यह नहीं देखा कि पूरा ग्राफ इनपुट के रूप में है, दूसरी ओर प्रत्येक वर्टेक्स (p (v)) के लिए कंकड़ की संख्या ग्राफ के आकार से बंधी होनी चाहिए, अन्यथा जाँच की जाए कि चालों का एक क्रम है या नहीं वैध या घातीय की जरूरत नहीं है। और मुझे लगता है कि प्रत्येक शीर्ष पर कंकड़ की संख्या को मानने के लिए सही है।

मैं मानता हूं कि यदि प्रत्येक शीर्ष पर कंकड़ की संख्या बहुपद के रूप में ग्राफ के आकार से बंधी हुई है, तो यह एनपी में तुच्छ है। लेकिन मुझे लगता है कि यह धारणा आवश्यक नहीं है, हालांकि इसके बिना प्रमाण कठिन हो जाता है।

— विनीसियस डॉस सैंटोस

मान लीजिए कि ग्राफ प्रत्येक शीर्ष पर एक कंकड़ है जिसमें साथ एक शीर्ष को छोड़कर है , तो उपरोक्त कंकड़ समस्या का समाधान पर हैमिल्टनियन सर्किट है। यह जांचना आसान है कि क्या हैमिल्टनियन सर्किट है, तो पर कंकड़ के लिए एक समाधान है । दूसरी ओर, कंकड़ के किसी भी समाधान में, हमें शीर्ष से शुरू करना चाहिए । मान लीजिए कि हम कुछ शीर्ष दो बार जाते हैं जैसे कि यह पहला शीर्ष है जो दो बार $G$ $v$ $p(v) = 2$ $G \space iff \space G$ $G$ $v$ $u$ $u$ $G$ $u$ $u$ $u$ $p(u) = 1$ $u=v$ $v$