दी गई लंबाई की एक नियमित भाषा में शब्दों की संख्या के असममित

एक नियमित भाषा , को की लंबाई में शब्दों की संख्या । जॉर्डन कैनोनिकल फॉर्म ( लिए कुछ डीएफए के अघोषित संक्रमण मैट्रिक्स पर लागू ) का उपयोग कर, कोई यह दिखा सकता है कि बड़े पर्याप्त , जहाँ जटिल बहुपद हैं और जटिल "eigenvalues" हैं। (छोटे के लिए , हम फार्म की अतिरिक्त शर्तें हो सकती हैं , जहां है अगर और $L$ $c_n(L)$ $L$ $n$ $L$ $n$

c_{n} (L) = \sum_{i = 1}^{k} P_{i} (n) λ_{i}^{n},

$c_n(L) = \sum_{i=1}^k P_i(n) \lambda_i^n,$

P_{i}

$P_i$

λ_{i}

$\lambda_i$

n

$n$

C_{k} [n = k]

$C_k[n=k]$

[n = k]

$[n=k]$

1

$1$

n = k

$n=k$

0

$0$ अन्यथा। ये जेंगलू साथ कम से कम आकार के जॉर्डन ब्लॉक के अनुरूप हैं ।)

k + 1

$k+1$

0

$0$

यह प्रतिनिधित्व स्पष्ट रूप से प्रतीत होता है कि यदि अनंत है तो asymptotically, कुछ । हालाँकि, यह वर्तमान में गलत है: समान लंबाई के सभी शब्दों की भाषा ओवर के लिए, लेकिन । इससे पता चलता है कि कुछ और सभी , या तो बड़े पर्याप्त या । यह फ्लाजोलेट और सेडगेविक में साबित होता है $L$ $c_n(L) \sim C n^k \lambda^n$ $C,\lambda>0$ $L$ $\{0,1\}$ $c_{2n}(L) = 2^{2n}$ $c_{2n+1}(L) = 0$ $d$ $a \in \{0,\ldots,d-1\}$ $c_{dm+a}(L) = 0$ $m$ $c_{dm+a} \sim C_a (dm+a)^{k_a} \lambda_a^{dm+a}$ (प्रमेय V.3), जो बर्कल के लिए प्रमाण का श्रेय देता है।

फ्लैजोलेट और सेडगविक द्वारा प्रदान किया गया प्रमाण कुछ तकनीकी है; इतना तकनीकी, वास्तव में, कि वे केवल इसे स्केच करते हैं। मैंने पेरोन-फ्रोबेनियस सिद्धांत का उपयोग करते हुए एक अधिक प्राथमिक प्रमाण का प्रयास किया। हम डीएफए के संक्रमण ग्राफ को डिग्राफ के रूप में मान सकते हैं। यदि डिग्राफ आदिम है तो परिणाम लगभग सीधे पेरोन-फ्रोबेनियस प्रमेय से निकलता है। यदि डाइग्राफ irrucible है, लेकिन अनुक्रमणिका साथ imprimitive है , तो DFA की " वें शक्ति" पर विचार करके (प्रत्येक संक्रमण प्रतीकों से मेल खाती है ), हमें एक ही परिणाम मिलता है। मुश्किल मामला तब है जब डिग्ग रिड्यूसबल है। हम दृढ़ता से जुड़े घटकों के एक पथ के मामले में कम कर सकते हैं, और फिर हम फॉर्म के योगों का अनुमान लगाकर परिणाम प्राप्त करते हैं $r$ $r$ $r$

\sum_{m_{1} + \dots + m_{k} = m} \prod_{i = 1}^{k} λ_{i}^{m_{i}} .

$\sum_{m_1+\cdots+m_k=m} \prod_{i=1}^k \lambda_i^{m_i}.$ (प्रत्येक ऐसी राशि एक शब्द को स्वीकार करने के एक विशेष तरीके से मेल खाती है, एक निश्चित तरीके से अलग-अलग घटकों के माध्यम से जा रही है।) इस राशि का अनुमान सबसे बड़ा शब्द करके लगाया जा सकता है, जो । प्रत्येक eigenvalue के लिए जिसे बार दोहराया जाता है , हमें एक अतिरिक्त कारक मिलता है ।

m_{i} \propto \log λ_{i}

$m_i \propto \log \lambda_i$

r

$r$

Θ (m^{r - 1})

$\Theta(m^{r-1})$

प्रमाण में इसके मोटे किनारे हैं: करने के मामले में, हमें उपर्युक्त राशि से तक asymptotic पास करने की आवश्यकता है , और फिर हमें योग का अनुमान लगाने की आवश्यकता है। $C \lambda_i^m$

फ्लैजोलेट और सेडगविक द्वारा प्रमाण शायद अधिक सरल है, लेकिन कम प्राथमिक है। इसका प्रारंभिक बिंदु का तर्कसंगत निर्माण कार्य है , और इसमें (!) की संख्या पर प्रेरण शामिल है। मूल विचार यह है कि बर्स्टेल के एक (मामूली आसान) प्रमेय के कारण, अधिकतम मापांक के सभी प्रतिजनी एकता की जड़ें हैं (यदि उनके मापांक द्वारा सामान्यीकृत)। एक उपयुक्त चयन और लंबाई शब्दों को देखें , तो ये सभी स्वदेशी वास्तविक बन जाते हैं। आंशिक अंश विस्तार को ध्यान में रखते हुए, हमें यह पता चलता है कि यदि मैक्सिमम मापांक "" जीवित रहता है "" का स्वदेशी, तो यह एसिम्पटोटिक्स को निर्धारित करता है, जो कि $c_n(L)$ $d$ $dm+a$ $Cn^k\lambda^n$ । अन्यथा, हम एक नया तर्कसंगत निर्माण फ़ंक्शन पाते हैं जो इस लंबाई के शब्दों (एक हैडमर्ड उत्पाद का उपयोग करके) से मेल खाती है, और तर्क को दोहराता है। पूर्वोक्त मात्रा घटती रहती है, और अंतत: हमें वांछित विषमताएँ मिल जाती हैं; को प्रक्रिया में विकसित करना पड़ सकता है, जो कि आगमनात्मक चरणों में होने वाली हर चीज को प्रतिबिंबित करने के लिए है। $d$

क्या की संपत्ति के लिए एक सरल और प्राथमिक प्रमाण है ? $c_n(L)$

— युवल फिल्मस
स्रोत

आप किस "विषम संपत्ति" की बात कर रहे हैं, जो सबसे ऊपर है?

— राफेल

बिल्कुल वैसी संपत्ति।

— युवल फिल्मस

Reducible मामले के लिए, क्या कोई सरल कॉम्बिनेटरियल सीमाएं नहीं हैं (शायद रास्तों के सबसेट, और पथों के मल्टीसेट पर विचार करके प्राप्त किया गया है)?

— एन्द्रस सलामोन

वहाँ आसान सीमाएं हैं, लेकिन आप शायद वहाँ बहुपद कारकों को खो देते हैं। बहुपद के साथ कई शब्द हैं, और हम सबसे बड़े शब्द का उपयोग करके इसका अनुमान लगा सकते हैं। हालाँकि, यह हमें सही विषमता देने वाला नहीं है, क्योंकि अन्य शब्द बहुत जल्दी नष्ट हो जाते हैं। शायद एक अभिन्न के साथ एक अनुमान संभव है, लेकिन वह पहले से ही थोड़ा गड़बड़ हो रहा है।

— युवल फिल्मस ५ '

आम तौर पर, समस्याओं का वैकल्पिक या अधिक प्राथमिक प्रमाण ढूंढना बहुत कठिन हो सकता है और ज्यादातर एक सैद्धांतिक अभ्यास है ... क्या कोई और प्रेरणा / bkg / आवेदन है? सुझाव है कि cstheory में प्रवास करें।

— vzn

आपके द्वारा स्केच किए गए तर्क रिचर्ड स्टेनली के एन्युमेरिटिक कॉम्बिनेटरिक्स में ट्रांसफर-मैट्रिक्स विधि के उपचार के अनुरूप प्रतीत होते हैं , खंड 1 (लिंक: पीपी 573; प्रिंट: पीपी 500)।

वह जनरेटिंग फ़ंक्शन के साथ शुरू होता है, और डिग्राफ और अनुमेय और निषिद्ध कारकों पर विचार करके इसे अनपैक करता है। फिर वह मोनड्रॉइड को मुक्त करने के लिए सार करता है, जहां वह आपके द्वारा दिए गए रकमों के परिष्कृत संस्करण का उपयोग करता है:

4.7.11 प्रस्ताव Let का एक सबसेट हो कि स्वतंत्र रूप से उत्पन्न । फिर $B$ $A^*$ $B$ $B^*(\lambda)=(I-B(\lambda))^{-1}$

कुछ अनुप्रयोगों के माध्यम से काम करने के बाद, वह इसी तरह क्षैतिज-उत्तल पॉलीमिनोइज के संबंध में हैडमार्ड उत्पादों पर चर्चा करके अनुभाग को बंद कर देता है।

— जेएसएस
स्रोत

क्या आप स्टैम्ले के पाठ में एक प्रमेय पर संकेत दे सकते हैं जो कि विषम अनुमान दे रहा है?

— युवल फिल्मस

मैं स्टेनली में कोई तात्कालिक, स्पष्ट संदर्भ नहीं पा सकता हूं, लेकिन फ्लैजलेट और सेडगविक खंड V.6 में स्थानांतरण मैट्रिक्स विधि के उनके उपचार पर उनके प्रभाव को स्वीकार करते हैं। विशेष रूप से, कोरोलरी V.1 पिछले सिद्धांतों (V.7, V.8) को ग्रहण करता है जो आपके तर्क की रेखा का पालन करते हैं। वे स्टेनली की रूपरेखा का अनुसरण वी 5 में शुरू करते हुए वी 5 में दिखाई देते हैं, जहां प्रस्ताव V.6 स्टेनली के प्रमेय 4.7.2 और कोरोलरी 4.7.3 के साथ मेल खाता है

— JSS

मैं विशेष रूप से स्पर्शोन्मुख विश्लेषण के लिए देख रहा हूँ। ट्रांसफ़र मैट्रिक्स विधि द्वारा दी गई लंबाई के शब्दों की संख्या का सटीक सूत्र, वह है जो मैं प्रदान करता हूं।

— युवल फिल्मस