एक सेट के विभाजन का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक कॉम्पैक्ट तरीका क्या है?

सेट विभाजन का प्रतिनिधित्व करने के लिए कुशल डेटा संरचनाएं मौजूद हैं । इन डेटा संरचनाओं में यूनियन और फाइंड जैसे संचालन के लिए अच्छी समय जटिलताएं हैं, लेकिन वे विशेष रूप से अंतरिक्ष-कुशल नहीं हैं।

एक सेट के विभाजन का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक अंतरिक्ष-कुशल तरीका क्या है?

यहाँ एक संभव शुरुआती बिंदु है:

मुझे पता है कि विभाजन की संख्या के साथ एक सेट के तत्वों है , वें बेल संख्या । तो तत्वों के साथ एक सेट के विभाजन का प्रतिनिधित्व करने के लिए इष्टतम स्थान जटिलता बिट्स है। इस तरह के प्रतिनिधित्व को खोजने के लिए, हम ( तत्वों के एक सेट के विभाजन के सेट ) और ( से के पूर्णांक का सेट) के बीच एक-से-एक मैपिंग की तलाश कर सकते हैं । $N$ $B_N$ $N$ $N$ $\log_2(B_N)$ $N$ $1$ $B_N$

क्या ऐसी मैपिंग है जो गणना करने के लिए कुशल हो? "कुशल" से मेरा तात्पर्य यह है कि मैं इस कॉम्पैक्ट प्रतिनिधित्व को / से आसान हेरफेर प्रतिनिधित्व (जैसे सूचियों की सूची) से या में बहुपद में परिवर्तित करना चाहता हूं । $N$ $\log_2(B_N)$

— cberzan
स्रोत

सोच रहा था,

कितनी दूर तक

कर सकता है / सेट के प्रत्येक तत्व को अद्वितीय पूर्णांक असाइन करने का भोले / प्राकृतिक एन्कोडिंग से जहां पूर्णांक विभाजन का प्रतिनिधित्व करता है #? शायद यह "इतना अंतर नहीं है" ...

\log_{2} (B_{N})

$\log_2(B_N)$

— vzn

आप अपनी एन्कोडिंग को खोजने के लिए नीचे दिए गए पुनरावृत्ति फॉर्मूला का उपयोग कर सकते हैं: यह तत्व वाले भाग में कितने अन्य तत्व हैं, इस पर विचार करके साबित किया जाता है । अगर इनमें से हैं , तो हमारे पास विकल्प हैं, और विकल्प बाकी के विभाजन के लिए हैं।

B_{n + 1} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) B_{k} .

$B_{n+1} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} B_k.$

n + 1

$n+1$

n - k

$n-k$

(\binom{n}{n - k}) = (\binom{n}{k})

$\binom{n}{n-k} = \binom{n}{k}$

B_{k}

$B_k$

इसका उपयोग करते हुए, हम किसी भी विभाजन को श्रेणी में एक संख्या में बदलने के लिए एक पुनरावर्ती एल्गोरिदम दे सकते हैं । मुझे लगता है आप पहले से ही आकार के एक सबसेट परिवर्तित करने का एक तरीका है की रेंज में एक नंबर करने के (जैसे एक एल्गोरिथ्म पास्कल की पुनरावृत्ति ) का उपयोग करके उसी तरह तैयार किया जा सकता है । $n+1$ $0,\ldots,B_{n+1}-1$ $k$ $\{1,\ldots,n\}$ $0,\ldots,\binom{n}{k}-1$ $\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k} + \binom{n-1}{k-1}$

मान लीजिए कि वाले भाग में अन्य तत्व हैं। उनका कोड खोजें । उस सीमा के सभी शेष तत्वों को "संपीड़ित" करके विभाजन की गणना करें । पुन: अपने कोड गणना । नया कोड $n+1$ $k$ $C_1$ $\{1,\ldots,n-k\}$ $C_2$

C = \sum_{l = 0}^{n - k - 1} (\binom{n}{l}) B_{l} + C_{1} B_{n - k} + C_{2} .

$C = \sum_{l=0}^{n-k-1} \binom{n}{l} B_l + C_1 B_{n-k} + C_2.$

दूसरी दिशा में, एक कोड दिया गया , इस तरह के अनूठे ढूंढें जैसे कि और चूंकि , यह रूप में लिखा जा सकता है , जहां । अब वाले हिस्से में तत्वों को कोड करता है , और कोड को विभाजन करता है $C$ $k$

\sum_{l = 0}^{n - k - 1} (\binom{n}{l}) B_{l} \leq C < \sum_{l = 0}^{n - k} (\binom{n}{l}) B_{l},

$\sum_{l=0}^{n-k-1} \binom{n}{l} B_l \leq C < \sum_{l=0}^{n-k} \binom{n}{l} B_l,$

C^{'} = C - \sum_{l = 0}^{n - k - 1} (\binom{n}{l}) B_{l} .

$C' = C - \sum_{l=0}^{n-k-1} \binom{n}{l} B_l.$

0 \leq C^{'} < (\binom{n}{k}) B_{n - k}

$0 \leq C' < \binom{n}{k} B_{n-k}$

C_{1} B_{n - k} + C_{2}

$C_1 B_{n-k} + C_2$

0 \leq C_{2} < B_{n - k}

$0 \leq C_2 < B_{n-k}$

C_{1}

$C_1$

n + 1

$n+1$

C_{2}

$C_2$

{1, \dots, n - k}

$\{1,\ldots,n-k\}$

, जो पुनरावर्ती रूप से डिकोड किया जा सकता है। डिकोडिंग को पूरा करने के लिए, आपको बाद वाले विभाजन को "अनप्लग" करना होगा ताकि इसमें सभी तत्व शामिल न हों जो कि भाग में दिखाई देते हैं ।

n + 1

$n+1$

यहाँ कैसे उसी तकनीक का उपयोग करने के लिए एक उप-समूह एन्कोड करने के लिए है के आकार के , रिकर्सिवली। यदि तो कोड , इसलिए मान लीजिए । यदि तो को का एक कोड हो , आकार के का उपसमूह के रूप में ; का कोड । यदि तो जाने का एक कोड होना , आकार के एक सबसेट के रूप में की ; का कोड $S$ $\{1,\ldots,n\}$ $k$ $k=0$ $0$ $k>0$ $n \in S$ $C_1$ $S \setminus \{n\}$ $k-1$ $\{1,\ldots,n-1\}$ $S$ $C_1$ $n \notin S$ $C_1$ $S$ $k$ $\{1,\ldots,n-1\}$ $S$ है । $C_1 + \binom{n-1}{k-1}$

कोड को डिकोड करने के लिए , दो मामले हैं। अगर तो डिकोड एक सबसेट की आकार की जिसका कोड है , और उत्पादन । अन्यथा, डिकोड एक सबसेट की आकार की जिसका कोड है , और उत्पादन । $C$ $C < \binom{n-1}{k-1}$ $S'$ $\{1,\ldots,n-1\}$ $k-1$ $C$ $S' \cup \{n\}$ $S'$ $\{1,\ldots,n-1\}$ $k$ $C - \binom{n-1}{k-1}$ $S'$

— युवल फिल्मस
स्रोत

उत्कृष्ट जवाब; धन्यवाद। माइनर बग: शीर्ष पर पुनरावृत्ति फार्मूले के लिए प्रूफ स्केच में, मुझे लगता है कि आप का मतलब है "वहाँ हैं" के बजाय "उन में से हैं" - फिर शेष तत्वों को तरीकों से विभाजित किया जा सकता है ।

n - k

$n - k$

k

$k$

k

$k$

B_{k}

$B_k$

— cberzan