में विषय से मुक्त भाषाएं हैं

Question

संदर्भ-मुक्त भाषाएं पूरक के तहत बंद नहीं हैं, हम जानते हैं कि।

जहां तक मैं समझता हूँ, विषय से मुक्त करने वाली भाषाएं का एक सबसेट है $a^*b^*$ कुछ पत्र के लिए $a,b$ पूरक के तहत बंद हो जाती हैं (!?)

यहाँ मेरा तर्क है। प्रत्येक सीएफ भाषा $L$ एक अर्द्ध रैखिक पारिख छवि है $\pi(L) = \{ (m,n) \mid a^mb^n \in L \}$ । सेमिनिलियर सेट पूरक के तहत बंद हैं। वैक्टर का सेट जो अर्ध-रैखिक सेट का प्रतिनिधित्व करता है, आसानी से एक रैखिक व्याकरण में बदल सकता है।

सवाल। क्या इस तथ्य का आसानी से सुलभ संदर्भ है?

तकनीकी तौर पर इन भाषाओं कर रहे हैं कहा जाता है घिरा , यानी, के एक सबसेट कुछ शब्दों के लिए डब्ल्यू 1 , ... , w कश्मीर ।$w_1^* \dots w_k^*$$w_1,\dots,w_k$

इस प्रश्न के लिए मेरी प्रेरणा हाल ही में एक से है प्रश्न के संदर्भ-freeness पर । भीतर इसकी पूरक एक * ख * संभाल करने के लिए आसान लगता है।$\{ a^nb^m \mid n^2 \neq m \}$$a^*b^*$

Comments

क्या आपने गिंसबर्ग की "द थ्योरीकलिकल थ्योरी ऑफ़ कॉन्टेक्स्ट-फ्री लैंग्वेजेस" की जाँच की है? जाहिरा तौर पर, प्रमेय 5.4.2 आप को संदर्भित संदर्भ मुक्त भाषाओं का लक्षण वर्णन देता है, और मैं शर्त लगाता हूं कि गिन्सबर्ग बंधे हुए संदर्भ-मुक्त भाषाओं (दो आयामी मामले में) के पूरक के लिए निहितार्थ का उल्लेख करेंगे।

— युवल फिल्मस Yu

Answer 1

बंधी हुई संदर्भ-मुक्त भाषाओं का यह चरित्र-चित्रण गिन्सबर्ग ("गणितीय सिद्धांत-मुक्त भाषाओं का सिद्धांत") के कारण है, और अपनी पुस्तक में कोरोलरी 5.3.1 के रूप में प्रकट होता है। सामान्य के लिए वहाँ semilinear सेट पर कुछ प्रतिबंध रहे हैं, लेकिन के लिए कश्मीर ≤ 2 इन प्रतिबंधों हमेशा संतुष्ट हैं, और इसलिए यह स्पष्ट है अनुमान है कि इस तरह एक भाषा के पूरक (भीतर डब्ल्यू * 1 डब्ल्यू * 2 ) विषय से मुक्त है ।$k$$k \leq 2$$w_1^* w_2^*$

गिंसबर्ग ने अपनी पुस्तक में इन निहितार्थों का उल्लेख किया है।

परिणाम 5.6.1 तो और एम 2 , [विषय से मुक्त] भाषाएं हैं w 1 और डब्ल्यू 2 शब्द है, तो एम 1 ∩ एम 2 एक [विषय से मुक्त] भाषा है।$M_1 \subseteq w_1^*w_2^*$$M_2$$w_1$$w_2$$M_1\cap M_2$

परिणाम 5.6.2 तो और एम 2 हैं [विषय से मुक्त] भाषाएं, w 1 और डब्ल्यू 2 शब्द है, तो एम 1 - एम 2 और एम 2 - एम 1 [विषय से मुक्त] कर रहे हैं भाषाओं।$M_1 \subseteq w_1^*w_2^*$$M_2$$w_1$$w_2$$M_1 - M_2$$M_2-M_1$

Answer 2

एक अन्य प्रमाण इस उत्तर में दिए गए निम्नलिखित लक्षण वर्णन का उपयोग करता है :

भाषा विषय से मुक्त iff है एक Presburger गणित में definable है।$\{ a^i b^j : (i,j) \in A \}$$A$

जाहिर है Presburger अंकगणित iff में definable है ¯ एक Presburger गणित में definable है।$A$$\overline{A}$

यह दिखाता है कि अगर भाषाओं विषय से मुक्त तो भाषाओं (संघ, चौराहे, और पूरक शामिल) में हर बूलियन अभिव्यक्ति विषय से मुक्त रूप में अच्छी तरह कर रहे हैं।$L_i \subseteq a^*b^*$