खिलाड़ियों के देर से जुड़ने पर फेयर केक-कटिंग

Question

निष्पक्ष केक काटने की समस्या का सामान्य कथन मानता है कि सभी खिलाड़ियों को एक ही समय में अपना हिस्सा मिलता है। हालांकि, कई मामलों में खिलाड़ी आकस्मिक रूप से पहुंचते हैं। उदाहरण के लिए, हम एक केक को n खिलाड़ियों पर विभाजित कर सकते हैं , लेकिन फिर एक नया खिलाड़ी आता है और एक हिस्सा चाहता है।$n$$n$

आमतौर पर, निष्पक्ष केक विभाजन के लिए बहुत प्रयास की आवश्यकता होती है (उदाहरण के लिए, खिलाड़ियों को कई प्रश्नों का उत्तर देने की आवश्यकता होती है), खासकर जब खिलाड़ियों की संख्या बड़ी हो।

यह संभव से अधिक केक का मौजूदा विभाजन का उपयोग है क्रम में केक का एक नया विभाजन पैदा करने के लिए खिलाड़ियों, n + 1 कम से कम अतिरिक्त प्रयास के साथ, खिलाड़ियों (से यानी काफी कम प्रयास फिर से वितरण खरोंच से केक)?$n$$n+1$

Comments

क्या पहले खिलाड़ियों ने खाना शुरू किया है? क्या एक खिलाड़ी को कई टुकड़े देना उचित है, या सभी को एक टुकड़ा प्राप्त करना है? $n$

— राफेल

@ राफेल, मैं भूमि के निष्पक्ष विभाजन में विशेष रूप से दिलचस्पी रखता हूं, इसलिए खिलाड़ी सचमुच अपने हिस्से को खाना शुरू नहीं कर सकते हैं (वे अपने हिस्से पर निर्माण कर सकते हैं, लेकिन आइए फिलहाल इस समस्या को अनदेखा करें)। प्रत्येक खिलाड़ी को वास्तव में एक टुकड़ा देना बेहतर होता है, हालांकि, केवल एक ही नए व्यक्ति के आने की स्थिति में ऐसा करना संभव नहीं है। शायद मैं, आप से पूछना चाहिए है तो क्या होगा नए खिलाड़ियों पहुंचें। उस स्थिति में, पहले n खिलाड़ियों के प्रत्येक शेयर को 2 नए शेयरों में बांटना संभव है (सिद्धांत में कम से कम) । किसी भी मामले में, किसी भी संदर्भ का स्वागत है। $n$$n$

— ईगल सहगल-हलेवी

अप्रयुक्त भूमि के मामले में, सब कुछ पुनर्वितरित क्यों नहीं किया जाता है?

— राफेल

मुझे लगता है कि आपको स्पष्ट करना होगा कि आपका लक्ष्य क्या है। अद्यतन कटौती की संख्या को कम करें? नए कटौती की कुल लंबाई कम करें? क्या हम पुराने खिलाड़ियों को कुछ हिस्सों को फिर से सौंप सकते हैं, या केवल कभी खो सकते हैं?

— राफेल

आह, अब मैं देख रहा हूं कि आपका क्या मतलब है: आप का मतलब है कि कुछ खिलाड़ियों ने अपना हिस्सा खाना शुरू कर दिया है, और अब नए खिलाड़ी आ गए हैं, और हम अनुस्मारक को उचित रूप से विभाजित करना चाहते हैं, यह ध्यान में रखते हुए कि प्रत्येक खिलाड़ी ने पहले ही क्या खाया है। हालांकि यह अपने आप में एक दिलचस्प समस्या है, मेरा इरादा अलग था - मुझे उम्मीद है कि मेरा हालिया संपादन यह स्पष्ट करता है।

— इरेल सेगल-हलेवी

Answer 1

मैं आगे कहूंगा कि मैं आपके प्रश्न का एक अच्छा उत्तर नहीं दे सकता (मुझे लगता है कि अगर आप कर सकते हैं तो आप इसे एक शोध पत्र प्राप्त कर सकते हैं), लेकिन मुझे लगता है कि मैं समस्या को औपचारिक रूप से परिभाषित करके और कुछ बताते हुए मदद कर सकता हूं कठिनाइयों का झूठ।

पृष्ठभूमि । मुझे केक काटने के लिए मॉडल स्पष्ट रूप से बताएं। हम एन खिलाड़ियों के बीच अंतराल को विभाजित करना चाहते हैं । प्रत्येक खिलाड़ी को मैं एक मूल्यांकन कार्य है v मैं ( एस ) सबसेट से अधिक एस केक का। हम मान लेंगे कि यह फ़ंक्शन एक प्रायिकता उपाय है; यह गैर नकारात्मक और additive (संबंध तोड़ना के लिए है एक , बी ⊆ [ 0 , 1 ] , वी मैं ( एक ∪ बी ) = वी मैं$[0,1]$$n$$i$$v_i(S)$$S$$A,B \subseteq [0,1]$ ) और v i ( [ 0 , 1 ] ) = 1 । इस समस्या का एक समाधान एकप्रोटोकॉलया एल्गोरिथ्म है जो खिलाड़ियों से पूछताछ करता है और अंतराल के हिस्से को असाइन करता है। ध्यान दें कि खिलाड़ी प्रश्नों का उत्तर देने में गलत / झूठ बोल सकते हैं।$v_i(A \cup B) = v_i(A) + v_i(B)$$v_i([0,1]) = 1$

कुछ कागजात में अधिक विशिष्ट प्रतिबंध होंगे; उदाहरण के लिए , मूल्यांकन कार्य निरंतर हैं, या टुकड़ा-रैखिक, या टुकड़ा-स्थिर।

$\{S_1,\dots,S_n\}$

• $i$$(1/n)v_i([0,1])$$i$$1/n$
• $v_i(S_i) \geq v_i(S_j)$$j$

ध्यान दें कि ईर्ष्या-निर्मलता आनुपातिकता का अर्थ है।

ऐसे "ऑपरेशनल" गुण भी हैं जो हम चाहते हैं, जैसे कि कुछ टुकड़ों में काटना, बहुपद में चलने का समय (या वास्तव में कम्प्यूटेबिलिटी / कंस्ट्रक्टेबिलिटी) - हम केक के सबसेट का चयन करने के लिए विकल्प के Axiom का उपयोग नहीं करना चाहते हैं! ), और इसी तरह।

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$1$

दूसरा, हम हमेशा आपकी समस्या को सभी से वापस ले कर और खरोंच से पुनर्वितरित करने के लिए एक ज्ञात एल्गोरिथ्म का उपयोग करके आपकी समस्या को हल कर सकते हैं। तो सवाल बस यह है कि ऐसा करने के लिए कुछ और सुरुचिपूर्ण तरीका है। मुझे लगता है कि इसे परिमाणित करने का एक अच्छा तरीका है "जब पुनर्वितरण को खरोंच से शुरू होने की तुलना में कम समय या कम कटौती की आवश्यकता होती है? और / या खिलाड़ियों को अपने वर्तमान स्लाइस का एक महत्वपूर्ण हिस्सा रखने के लिए कब मिलता है?"

1. $n$$n+1$

$n+1$

1. $n$$n+1$

$1/n$$1$$1/n$$2$$(n-1)/n$$2$$1/n$$3$$(n-1)/n$$n$$1/n$$1$$(n-1)/n$$2$$1$$3$$2$

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एल्गोरिथम निर्णय थ्योरी 2011 (पीडीएफ लिंक) में एक संदर्भ वॉल्श, ऑनलाइन केक कटिंग हो सकता है । लेकिन मुझे लगता है कि पेपर मानता है कि हम आने वाले एजेंटों की संख्या को पहले से जानते हैं, और मानता है कि खिलाड़ियों को एक टुकड़ा बिल्कुल ठीक आवंटित किया जाना चाहिए जब वे छोड़ देते हैं (जो कि प्रोटोकॉल के अंत से पहले है), इसलिए यह वास्तव में आपकी समस्या पर लागू नहीं होता है।

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$n$$n+1$$n+1$$n$

Comments

मुझे यकीन नहीं है कि सामान्य समस्या (गैर-समान वरीयता के साथ) यहां कैसे मदद करती है; ओह ? अपरिवर्तित खिलाड़ियों (और उचित आकार) के लिए समस्या का समाधान करना आसान है। मुझे लगता है कि हम क्या "कुशल" सम्मान "अच्छा" तय करना होगा कि इसका मतलब है कि cuttings / आवंटन और उसके परिवर्तन।

— राफेल

@ राफेल - जहां तक ​​मैं बता सकता हूं, सवाल सामान्य समस्या को हल करने के बारे में पूछता है। (मैं मानता हूं कि यदि कोई निर्दिष्ट है तो हमें अतिरिक्त संरचना का उपयोग करना चाहिए।)

— usul

धन्यवाद, आपकी परिभाषा ने ठीक मेरे इरादे को पकड़ लिया। और ऑनलाइन केक काटने के बारे में संदर्भ दिलचस्प और प्रासंगिक है।

— इरगल सहगल-हलेवी

Answer 2

$C$$r$$n$$\frac{\pi r^2}{n}$$(n+1)$$n+1$

संख्याओं को पूरा करना सरल है; पहले नए खिलाड़ी के लिए, बस हल करें

$\qquad \pi r_1^2 = \frac{\pi r^2}{n+1}$

अपने भूखंड के लिए त्रिज्या प्राप्त करने के लिए। दूसरे के लिए, हल

$\qquad\begin{align} \pi r_1^2 &= \frac{\pi r^2}{n+2} \\ \pi r_2^2 - \pi r_1^2 &= \frac{\pi r^2}{n+2} \end{align}$

$n + i$$r_i = \frac{r\sqrt{i}}{\sqrt{n+k}}$$k$

$n=6$$k=0,1,2,3$

^{[ स्रोत ]}

$n$$n$

Comments

यह इस क्षेत्र की तुलना करने के लिए दिलचस्प होगा जो इस पद्धति से उस क्षेत्र की तुलना करता है जो केक के एक नए टुकड़े (यानी सेक्टर) को सम्मिलित करके और सभी मौजूदा टुकड़ों को चालू करके (और सिकुड़ते हुए) दक्षिणावर्त किया जाता है। एक चाल से प्रभावित दलों की संख्या (न केवल एक नुकसान) एक निरंतर द्वारा ही भिन्न होती है। यह भी ध्यान दें कि रिंग सेक्टरों की तुलना में अधिक प्रभावी नहीं हैं, लेकिन एक विधि से दूसरे में परिवर्तन पहली विधि द्वारा निर्दिष्ट क्षेत्र को स्थानांतरित करने की अनुमति नहीं देता है।

— फ्राफ्ल

@ फ्राफ़ल मैं सहमत हूँ। क्या आप एक उत्तर में दूसरे संस्करण को प्रस्तुत कर सकते हैं? (मान केक पहले से ही कटौती की गई है, क्या करना है आप ठीक कह रहे हैं: वहाँ तरीकों मिश्रण के लिए एक अच्छा कारण हो प्रतीत नहीं होता है मेरे लिए यह केक समस्या से प्रेरित हुआ।?)

— राफेल

$n+1$

यह एक सुंदर जेओमेट्रिक समाधान है, हालांकि यह केवल एकसमान केक और एकसमान पूर्वगामी के लिए प्रासंगिक है। मैंने सामान्य केक काटने की समस्या का उल्लेख किया : en.wikipedia.org/wiki/Fair_division जो मानता है कि केक गैर-समान हो सकता है, और विभिन्न खिलाड़ियों के केक के अलग-अलग हिस्सों में अलग-अलग मूल्यांकन हो सकते हैं।

— इरेल सेगल-हलेवी