एक मिन-ढेर (या अन्य विदेशी) राज्य मशीनों की क्षमताओं का निर्धारण

Question

मिन-हीप ऑटोमेटा की परिभाषा (ओं) पर कुछ स्पष्टीकरण के लिए इस पोस्ट का अंत देखें।

एक राज्य मशीनों द्वारा उपयोग के लिए जानकारी संग्रहीत करने के लिए विभिन्न डेटा संरचनाओं का उपयोग करने की कल्पना कर सकता है। उदाहरण के लिए, एक स्टैक में पुश-डाउन ऑटोमेटा स्टोर जानकारी, और ट्यूरिंग मशीनें एक टेप का उपयोग करती हैं। राज्य मशीनों का उपयोग कर कतारों, और दो कई ढेर या टेप का उपयोग करने वाले, ट्यूरिंग मशीनों के लिए शक्ति के बराबर दिखाए गए हैं।

मिन-हीप मशीन की कल्पना करें। यह निम्नलिखित अपवादों के साथ एक पुश-डाउन ऑटोमेटन की तरह काम करता है:

1. आपने जिस अंतिम चीज़ को ढेर में जोड़ा है, उसे देखने के बजाय, आप केवल वर्तमान में हीप पर मौजूद सबसे छोटे तत्व (प्रति-मशीन आधार पर परिभाषित क्रम के साथ) को देखने के लिए मिलते हैं।
2. आपने जो अंतिम चीज़ को हीप में जोड़ा है, उसे निकालने के बजाय, आपको केवल वर्तमान में हीप पर मौजूद सबसे छोटे तत्व (प्रति-मशीन आधार पर परिभाषित आदेश के साथ) को हटाने के लिए मिलता है।
3. ढेर के शीर्ष पर एक तत्व जोड़ने के लिए प्राप्त करने के बजाय, आप केवल एक तत्व जोड़ सकते हैं ढेर के साथ अन्य तत्वों के अनुसार इसकी स्थिति निर्धारित की जा रही है (प्रति-मशीन आधार पर परिभाषित आदेश के साथ)।

यह मशीन केवल ढेर का उपयोग न करके, सभी नियमित भाषाओं को स्वीकार कर सकती है। यह भी भाषा स्वीकार कर सकते हैं जोड़कर , ढेर करने के लिए है ' और जब यह पढ़ता है, तो ढेर से निकाल देता । यह कई अन्य संदर्भ-मुक्त भाषाओं को स्वीकार कर सकता है। हालाँकि, यह स्वीकार नहीं कर सकता है, उदाहरण के लिए, (बिना प्रमाण के कहा गया है)। संपादित करें: या यह कर सकते हैं? मुझे नहीं लगता कि यह हो सकता है, लेकिन मुझे पहले आश्चर्य हुआ है, और मुझे यकीन है कि मैं आश्चर्यचकित रहूंगा जब मेरी धारणाएं मुझे ... एक अच्छी तरह से बनाए रखेंगी।$\displaystyle \{a^{n}b^{n} \in \{a, b\}^{*} \mid n \ge 0\}$$a$$a$$b$$\displaystyle \{w \in \{a, b\}^{*} \mid w = w^{R}\}$

क्या यह किसी भी संदर्भ-संवेदनशील या ट्यूरिंग-पूर्ण भाषाओं को स्वीकार कर सकता है?

अधिक आम तौर पर, क्या अनुसंधान, यदि कोई हो, इस दिशा में पीछा किया गया है? यदि कोई परिणाम हो, तो क्या होगा? मुझे विदेशी राज्य मशीनों की अन्य किस्मों में भी दिलचस्पी है, संभवतः भंडारण के लिए अन्य डेटा संरचनाओं का उपयोग कर रहे हैं या पहुंच पर विभिन्न प्रकार के प्रतिबंध हैं (उदाहरण के लिए, एलबीए प्रतिबंधित टीएम कैसे हैं)। संदर्भ की सराहना की है। मैं पहले से माफी मांगता हूं अगर यह सवाल अज्ञानता का प्रदर्शन कर रहा है।

---

औपचारिक परिभाषा:

मैं इस सामग्री को संदर्भित करने वाले प्रश्नों में आगे की चर्चा को स्पष्ट करने के लिए यहाँ मिन-हीप ऑटोमेटा की कुछ और विस्तृत परिभाषाएँ प्रदान करता हूँ।

हम एक टाइप -1 नॉनडेर्मिनिस्टिक मिन-हीप 7-ट्यूपल जहां ...

$$(Q, q_0, A, \Sigma, \Gamma, Z_0, \delta)$$

1. $Q$ राज्यों का एक परिमित, गैर-खाली सेट है;
2. $q_0 \in Q$ में प्रारंभिक अवस्था है;
3. $A \subseteq Q$ राज्यों को स्वीकार करने का समुच्चय है;
4. $\Sigma$ एक परिमित, गैर-रिक्त इनपुट वर्णमाला है;
5. γ ∈ गामा डब्ल्यू ( γ ) ∈ एन डब्ल्यू ( γ 1 ) = डब्ल्यू ( γ 2$\Gamma$ एक परिमित, गैर-रिक्त इनपुट वर्णमाला है, जहां , , एक प्रतीक का वजन ऐसा है जो ;$\gamma \in \Gamma$$w(\gamma) \in \mathbb{N}$$w(\gamma_1) = w(\gamma_2) \iff \gamma_1 = \gamma_2$
6. $Z_0 \notin \Gamma$ विशेष नीचे का प्रतीक है;
7. $\delta : Q \times (\Sigma \cup \{\epsilon\}) \times (\Gamma \cup \{Z_0\}) \rightarrow \mathcal{P}({Q \times \Gamma^*})$ है संक्रमण समारोह।

संक्रमण फ़ंक्शन केवल मिलकर शुरू में खाली हीप मानकर काम करता है । संक्रमण फ़ंक्शन तत्वों के एक मनमाना संग्रह (परिमित, लेकिन संभवतः खाली या दोहराए जाने के लिए) जोड़ सकता है । वैकल्पिक रूप से, संक्रमण समारोह तत्व का एक उदाहरण निकाल सकते हैं सबसे कम वजन के साथ ढेर (यानी, ढेर के शीर्ष पर तत्व) पर शेष सभी तत्वों की। संक्रमण फ़ंक्शन किसी भी दिए गए संक्रमण को निर्धारित करने में केवल शीर्ष-सबसे (न्यूनतम वजन का) प्रतीक उदाहरण का उपयोग कर सकता है।γ 1 , गामा 2 , । । । , Γ कश्मीर ∈ गामा γ डब्ल्यू ( γ $Z_0$$\gamma_1, \gamma_2, ..., \gamma_k \in \Gamma$$\gamma$$w(\gamma)$

इसके अलावा, टाइप -1 नियतात्मक मिनी-हीप ऑटोमैटन को टाइप -1 के रूप में परिभाषित करें- nondeterministic min-heap automaton, जो निम्नलिखित संपत्ति को संतुष्ट करता है: सभी स्ट्रिंग्स ऐसा और ; ।| x | = N σ ∈ Σ | δ n + 1 ( क्यू 0 , एक्स σ y , जेड 0 ) | ≤ $x{\sigma}y \in \Sigma$$|x| = n$$\sigma \in \Sigma$$|\delta^{n+1}(q_0, x{\sigma}y, Z_0)| \leq 1$

निम्न प्रकारों को छोड़कर टाइप -2 नॉनडेर्मिनिस्टिक मिन-हीप ऑटोमैटन को भी टाइप -1 नॉन्डेटर्मिनिस्टिक मिन-हीप ऑटोमेटन के समान ही परिभाषित करें :

1. γ ∈ गामा डब्ल्यू ( γ ) ∈ एन डब्ल्यू ( γ 1 ) = डब्ल्यू ( γ 2 ) γ 1 = γ $\Gamma$ एक परिमित, गैर-रिक्त इनपुट वर्णमाला है, जहां , , एक प्रतीक का वजन ऐसा है जो जरूरी नहीं कि ; दूसरे शब्दों में, अलग-अलग ढेर प्रतीकों का एक ही वजन हो सकता है।$\gamma \in \Gamma$$w(\gamma) \in \mathbb{N}$$w(\gamma_1) = w(\gamma_2)$$\gamma_1 = \gamma_2$
2. जब समान वजन वाले विशिष्ट हीप प्रतीकों के उदाहरणों को ढेर में जोड़ा जाता है, तो उनका सापेक्ष क्रम एक अंतिम-इन, पहले-आउट (एलआईएफओ) स्टैक-जैसे ऑर्डर के अनुसार संरक्षित होता है।

इस अधिक प्राकृतिक परिभाषा को इंगित करने के लिए राफेल का धन्यवाद, जो संदर्भ-मुक्त भाषाओं को पकड़ता है (और फैलाता है)।

---

अब तक प्रदर्शित कुछ परिणाम:

1. टाइप -1 मिन-हीप ऑटोमेटा उन भाषाओं का एक सेट पहचानता है जो न तो एक उपसमुच्चय है और न ही संदर्भ-मुक्त भाषाओं का सुपरसेट है। [ १ , २ ]
2. टाइप -2 मिन-हीप ऑटोमेटा, उनकी परिभाषा से, भाषाओं का एक सेट पहचानते हैं जो संदर्भ-मुक्त भाषाओं का एक उचित सुपरसेट है, साथ ही टाइप -1 मिनट-हीप ऑटोमेटा द्वारा स्वीकार की गई भाषाओं का एक उचित सुपरसेट भी है।
3. टाइप -1 मिन-हीप ऑटोमेटा द्वारा स्वीकार की जाने वाली भाषाएं संघ, संघ, और क्लेन स्टार के तहत बंद दिखाई देती हैं, लेकिन पूरकता के तहत नहीं [ 1 ], चौराहे या अंतर;
4. टाइप -1 नॉन्डेटेरिमिनिस्टिक मिन-हीप ऑटोमेटा द्वारा स्वीकार की जाने वाली भाषाएं टाइप -1 निर्धारक मिन-हीप ऑटोमेटा द्वारा स्वीकार की जाने वाली भाषाओं का एक उचित सुपरसेट हैं।

मेरे द्वारा याद किए गए कुछ अन्य परिणाम हो सकते हैं। अधिक परिणाम (संभवतः) रास्ते में हैं।

---

अनुवर्ती प्रश्न

1. उत्क्रमण के तहत बंद? -- खुला
2. पूरकता के तहत बंद? -- नहीं!
3. क्या नॉनडेटर्मिनिज़्म से शक्ति बढ़ती है? -- हाँ?
4. क्या टाइप -2 के लिए ? $HAL \subsetneq CSL$-- खुला
5. क्या टाइप 1 के लिए ढेर बढ़ाने से शक्ति बढ़ती है? - for (?)$HAL^1 \subsetneq HAL^2 = HAL^k$$k > 2$
6. क्या टाइप -1 के लिए स्टैक वृद्धि शक्ति को जोड़ना है? -- खुला

Comments

वैसे शानदार सवाल। मैं इन ऑटोमेटा के लिए पम्पिंग लेम्मा के लिए खुदाई करने के लिए लुभाता हूं।

— राफेल

@ राफेल: मुझे लगता है कि आप इस तरह के लेम्मा के लिए मेरे (अपडेट किए गए) प्रमाण का उपयोग कर सकते हैं: किसी भी भाषा जिसके लिए आपको बाद के विकल्प को सही ढंग से मिलान करने के लिए कुछ प्रतिस्थापन में सूचनाओं की एक रैखिक राशि से अधिक 'याद रखने' की आवश्यकता नहीं है, को पार्स नहीं किया जा सकता है मिन-हीप ऑटोमेटा। मुझे यकीन नहीं है कि अगर एक सच्ची पम्पिंग-स्टाइल लेम्मा संभव है - तो यह मेरी लेम्मा का एक विशेष मामला भी हो सकता है।

— एलेक्स दस ब्रिंक

@AlextenBrink ढेर प्रतीक संख्याओं के संयोजन के रूप में सामान को एन्कोड करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है, मुझे यकीन नहीं है कि एक रैखिक बाध्य पर्याप्तता है।

— राफेल

Answer 1

आप इस प्रकार की स्टेट मशीन से विहित गैर-संदर्भ-मुक्त (लेकिन संदर्भ-संवेदनशील) भाषा को पहचान सकते हैं। जड़ है कि आप हर के लिए ढेर करने के लिए टोकन जोड़ने है चरित्र है, और जब पार्स करने वर्ण, आप 'बड़ा' टोकन ढेर करने के लिए, इसलिए वे केवल ढेर के नीचे अंत जब आप सभी पार्स किया हुआ है पात्र।$\{ a^n b^n c^n\ |\ n \geq 1 \}$$a$$b$$b$

ढेर प्रतीक और , जहां । हम सब का उपभोग इनपुट पर प्रतीकों और जोड़ने के ढेर के प्रतीकों। हम एक का सामना करते हैं , हम रणनीतियों स्विच: हर के लिए हम बाद में मुठभेड़ हम एक को दूर ढेर से और एक जोड़ने ढेर करने के लिए। जब हम एक मुठभेड़ हम समाप्त हो गया है चाहिए दूर करने के लिए है, और उसके बाद हर के लिए शेष इनपुट में हम एक को दूर ढेर से। यदि अंत में ढेर खाली है, तो स्ट्रिंग भाषा में है। जाहिर है, अगर कुछ गलत हो जाता है तो हम खारिज कर देते हैं।$a$$b$$a < b$$a$$a$$b$$b$$a$$b$$c$$a$$c$$b$

अपडेट करें:

भाषा को मिन-हीप ऑटोमेटा द्वारा मान्यता नहीं दी जा सकती है। मान लीजिए कि हमारे पास एक मिन-हीप ऑटोमैटन है जो को पहचान सकता है । हम 'स्टेट' को देखते हैं ऑटोमेटन (इनपुट का पहला भाग है, इसलिए अगला है) पढ़ने के बाद है । हमारे पास एकमात्र राज्य हीप की सामग्री और ऑटोमेटन की विशेष स्थिति है जो यह है। इसका मतलब है कि को पहचानने के बाद , इस 'राज्य' को से मेल खाने के लिए पर्याप्त जानकारी रखने की आवश्यकता है ।$EPAL = \{ ww^R | w \in \{a, b\}^* \}$$EPAL$$w$$w^R$$w$$w^R$

विशेष रूप से, ऐसा करने के लिए, संभव भिन्न होना चाहिए 'राज्य का (जहां )।, क्योंकि और अक्षरों से मिलकर संभव शब्द हैं । जैसा कि केवल राज्यों की एक सीमित संख्या और ढेर वर्णों की केवल एक सीमित संख्या होती है, इसका अर्थ है कि कुछ शब्द मौजूद हैं , जिसके लिए ढेर में कुछ ढेर वर्णों की घातांक संख्या होती है, कहते हैं ।$2^n$$n = |w|$$2^n$$a$$b$$w$$x$

हम पहले निर्धारक मिन-हीप ऑटोमेटा के लिए प्रमेय को सिद्ध करते हैं, और फिर इस प्रमाण को गैर-नियतात्मक मिनी-हीप ऑटोमेटा तक विस्तारित करते हैं। विशेष रूप से, निर्धारक ऑटोमेटा जो कुछ भाषा को पहचानते हैं, खुद को अनंत लूप में नहीं डालेंगे, जो एक उपयोगी संपत्ति है।

हम यह साबित करेंगे कि ढेर में ढेर ढेर टोकन हो सकते हैं जो इनपुट से पढ़े गए अक्षरों की संख्या में रैखिक हों। यह तुरंत नियम बताता है कि ढेर पर एक घातांक संख्या प्रकट करता है, जो इस प्रमाण को पूरा करता है कि को मिन-हीप ऑटोमेटा द्वारा मान्यता नहीं दी जा सकती है।$x$$EPAL$

क्योंकि हमारे पास हमारे ऑटोमेटन में केवल राज्यों की एक सीमित संख्या है और क्योंकि एक नियतात्मक ऑटोमेटन खुद को अनंत लूप में नहीं डालेगा, इनपुट सिग्नल पढ़ने पर यह ढेर पर लगातार ढेर सारे अक्षरों को जोड़ देगा। इसी तरह, कुछ ढेर प्रतीक उपभोग करने पर , यह केवल ढेर सारे निरंतर वर्णों को जोड़ सकता है, जो कि से कड़ाई से बड़े होते हैं और यह केवल ढेर पर प्रतीकों की संख्या को कम कर सकता है (अन्यथा हमें एक अनंत लूप मिलता है)।$y$$y$$y$

इसलिए ढेर के प्रतीकों का उपभोग करने से बड़े ढेर प्रतीकों का निर्माण (बड़ा) हो सकता है, लेकिन चूंकि विभिन्न प्रकार के ढेर प्रतीकों की एक निरंतर संख्या होती है, यह केवल एक निरंतर संख्या है जो पर निर्भर नहीं है । तात्पर्य यह है कि ढेर प्रतीकों की संख्या अभी तक पढ़े गए इनपुट प्रतीकों की संख्या में सबसे अधिक (बड़े) निरंतर कुछ (बड़े) पर है। यह निर्धारक मामले के लिए सबूत को पूरा करता है।$n$

गैर-नियतात्मक मामले में, प्रमाण समान है, लेकिन थोड़ा पेचीदा है: ढेर में कुछ निरंतर संख्या में ढेर टोकन को जोड़ने के बजाय, यह ढेर के ढेर के कुछ मनमानी संख्या को जोड़ता है। हालाँकि, महत्वपूर्ण बिंदु यह है कि यह संख्या पर निर्भर नहीं करती है । विशेष रूप से, यदि हम को पहचानने के बाद ही सही पर गैर-नियतात्मक रूप से सही ढेर के चिह्न प्राप्त कर सकते ( को पहचानने का अधिकार ), तो हम गैर-नियतात्मक रूप से उन हीप प्रतीकों को भी चुन सकते हैं जो किसी अन्य शब्द मेल खाते हैं , और इसी तरह पहचान , इस प्रकार विरोधाभास है कि न्यूनतम हीप automaton बिल्कुल पहचानता है ।$n$$w$$w^R$$w'$$w w'^R$$EPAL$

अपडेट 3: मैं अंतिम तर्क (गैर-नियतत्ववाद के बारे में) को कठोर बनाऊंगा। ऊपर तर्क तक, शब्द की एक अनंत सेट मौजूद होना चाहिएइस तरह के हर के लिए है कि, पहचानने के बाद, ढेर होता हैतत्वों ( ध्यान दें कि हमबारे में बात कर सकते हैंक्योंकि हमारे पास शब्दों का एक अनंत सेट है)। जैसा कि हम यह नहीं कर सकते हैं कि निर्धारक माध्यमों के माध्यम से ढेर पर कई तत्व हैं, हमारे पास एक लूप का कुछ रूप होना चाहिए जिसमें हमने पहले गैर-नियतात्मक रूप से ढेर में अधिक तत्वों को जोड़ने के लिए चुना (इनपुट का उपभोग किए बिना), और बाद में इसे बाहर निकलने के लिए चुना। लूप, और हमें इस लूपबार कापता लगाना चाहिए।$W \subseteq \{a,b\}^*$$w \in W$$w$$\omega(|w|)$$O(f(|w|))$$\omega(1)$

द्वारा उपयोग किए जाने वाले ऐसे सभी छोरों का सेट लें । जैसा कि केवल राज्य हैं, इस सेट का आकार , और इसके सभी सबसेट का सेट भी । अब ध्यान दें कि निष्पादन मार्गों के 'निर्धारक' भाग केवल टोकन के में योगदान दे सकते हैं , जिसका अर्थ है कि बहुत से अलग-अलग शब्दों के घातांक संख्या में निष्पादन पथ होने चाहिए जिनके 'निर्धारक' भाग समान योगदान करते हैं। ढेर के लिए टोकन। विशेष रूप से, अधिक टोकन प्राप्त करने का एकमात्र तरीका उन छोरों को लेना है जिन्हें हमने ऊपर पहचाना था।$W$$O(1)$$O(1)$$O(1)$$O(|w|)$

इन अवलोकनों को मिलाकर, इसका अर्थ है कि , और में दो अलग-अलग शब्द होने चाहिए , जिनके निष्पादन पथ के 'नियतात्मक' भाग ढेर में उसी टोकन का योगदान करते हैं, और जो कि ऊपर दिए गए छोरों के सबसेट को प्राप्त करके विभेदित होते हैं कई बार, लेकिन जो लूप्स का एक ही सबसेट उपयोग करते हैं (याद रखें कि इन लूपों में केवल )।$W$$w_1$$w_2$$O(1)$

अब हम दिखा सकते हैं कि को मिन-हीप द्वारा भी पहचाना जा सकता है: हम ऊपर दिए गए लिए निष्पादन पथ का अनुसरण करते हैं , लेकिन हम लूपों को ट्रैवर्स के लिए निष्पादन पथ का एक ही समय पार करते हैं। यह -हीप को टोकन से भरता है जैसे कि को प्रत्यय के रूप में स्वीकार किया जाता है, इस प्रकार प्रमाण पूरा होता है।$w_1 w_2$$w_1$$w_2$$w_2$

अपडेट 2:

यह सिर्फ मेरे लिए हुआ है कि ऊपर का अर्थ है कि हम केवल लघुगणक स्थान का उपयोग करके एक नियतकालिक मिनी-हीप ऑटोमेटन का अनुकरण कर सकते हैं: हम मिनी-हीप में हर प्रकार के चरित्र के लिए एक काउंटर रखते हैं। जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, यह काउंटर सबसे अधिक , और इसलिए इसे केवल स्थान का उपयोग करके संग्रहीत किया जा सकता है (क्योंकि इन काउंटरों की केवल एक निरंतर संख्या है)। यह हमें देता है:$O(n)$$O(\log n)$

$\mathrm{DHAL} \subset \mathrm{L}$

$\mathrm{HAL} \subset \mathrm{NL}$

जहाँ कुछ निर्धारक न्यूनतम-हीप ऑटोमैटन द्वारा मान्यता प्राप्त भाषाओं का समूह है।$\mathrm{DHAL}$

Comments

उत्कृष्ट अंतर्दृष्टि के लिए +1, लगता है आपने मेरा अर्थ पूरी तरह से समझ लिया है। क्या मैं अपने आकलन में सही हूं कि ऐसी मशीनें पैलिंड्रोम्स को पहचान नहीं सकती हैं? चूँकि प्रतीकों का क्रम संरक्षित नहीं है, इसलिए यह संभव नहीं लगता।

— पैट्रिक87

@ पैट्रिक87: मैं उस समस्या के बारे में अभी सोच रहा हूँ :)

— एलेक्स दस ब्रिंक

@ राफेल लॉगरिदमिक संसाधन बाधाओं के साथ ट्यूरिंग मशीनों के संबंध में बहुत अच्छा अवलोकन, आप दोनों लोगों ने इन ऑटोमेटा की जांच का शानदार काम किया है। तुम्हें पता है, मुझे लगता है कि मैं जिस चीज़ में दिलचस्पी रखता था, उसके उदाहरण के रूप में मिन-हीप ऑटोमेटोन को फेंक दिया था, लेकिन ऐसा लगता है कि यह अच्छी तरह से प्राप्त हुआ है। ऐसे ऑटोमेटा के बारे में और कौन से सवालों का जवाब दिया जा सकता है? DHAL = HAL है? एचएएल के बंद होने के गुण क्या हैं? क्या आगे की खोज सार्थक है, और यदि हां, तो क्या उन्हें यहां रहना चाहिए, या एक नए प्रश्न में डाल दिया जाना चाहिए? उत्कृष्ट अंतर्दृष्टि के लिए फिर से धन्यवाद।

— 14:87 पर पैट्रिक87

@ राफेल: मैंने उस हिस्से को पूरी तरह से कठोर बना दिया है। आप सही हैं कि को पर्याप्त रूप से बड़ा होना चाहिए - मैंने कुछ विवरणों को बाएं और दाएं पर चमकाया। $n$

— एलेक्स दस ब्रिंक

@ राफेल: वास्तव में, यह करता है। , इसलिए स्थान पदानुक्रम प्रमेय और कुछ समावेशन द्वारा । $CSL = NLINSPACE$$DHAL \subset CSL$

— एलेक्स टेन ब्रिंक

Answer 2

यहाँ हम जानते हैं कि क्या विश्वास है:

• $\mathrm{HAL} \setminus \mathrm{CFL} \neq \emptyset$ (टाइप -1, टाइप -2)
• $\mathrm{CFL} \setminus \mathrm{HAL} \neq \emptyset$ (टाइप -1)
• $\mathrm{CFL} \subseteq \mathrm{HAL}$ (टाइप -2, परिभाषा के अनुसार)
• $\mathrm{CSL} \setminus \mathrm{HAL} \neq \emptyset$ (टाइप -1, टाइप -2)

नीचे दिए गए विवरण और कुछ अन्य नोट्स देखें।

---

$\mathrm{HAL} \setminus \mathrm{CFL} \neq \emptyset$

उत्तर का यह भाग टाइप -1 और टाइप -2 दोनों से संबंधित है।

परिमित के साथ एक मिन-हीप ऑटोमेटन (एचए), पूरी तरह से हीप वर्णमाला का आदेश दिया ।$L = \{ a^nb^nc^n \mid n \in \mathbb{N} \} \in \mathrm{CSL} \setminus \mathrm{CFL}$

मान्यताओं: पीडीए के समान, हमारा संक्रमण फ़ंक्शन शीर्ष सबसे ढेर प्रतीक का उपभोग करता है और ढेर प्रतीकों का एक मनमाना संख्या लिखता है। ढेर में शुरू में एक प्रतिष्ठित प्रतीक होता है जो अन्य सभी ढेर प्रतीकों से बड़ा होता है।$\$$

चलो एक मिनट-ढेर के साथ automaton$A = (Q,\Sigma_I, \Sigma_H, \rightarrow, q_0, Q_F)$

• $Q = \{q_0, q_1, q_2, q_f\}$ राज्यों का समूह
• $\Sigma_I = \{a,b,c\}$इनपुट वर्णमाला ।
• $\Sigma_H = {a,b,\$}$ ऑर्डर करने के साथ ढेर वर्णमाला ।$a \lt b \lt \$$
• $Q_F = \{q_f\}$
• $\rightarrow\ \subseteq (Q \times \Sigma_I \times \Sigma_H) \times (Q \times \Sigma_H^*)$ साथ
  • $(q_0,a,\sigma) \rightarrow (q_0, a\sigma)$ all$\sigma \in \Sigma_H$
  • $(q_0,b,a) \rightarrow (q_1,b)$
  • $(q_1,b,a) \rightarrow (q_1,b)$
  • $(q_1,c,b) \rightarrow (q_2,\varepsilon)$
  • $(q_2,c,b) \rightarrow (q_2, \varepsilon)$
  • $(q_2,c,\$) \rightarrow (q_f, \varepsilon)$

Automaton एक लिखता है हर के लिए ढेर करने के लिए इनपुट में। जब एक होता है, यह कई के रूप में खपत के रूप में वहाँ गया है , एक लेखन हर पाया के लिए ढेर करने के लिए । यह गिनती में गड़बड़ी नहीं करता है क्योंकि ढेर आसानी से शीर्ष पर रहता । केवल सभी के बाद ढेर से लिया जाता है कर रहे हैं स्वीकार किए जाते हैं; के बाद ही कई के रूप में के रूप में (और के रूप में उससे ) पाए जाते हैं, है खाली ढेर और अंतिम राज्य के साथ स्वीकार करते हैं।$a$$a$$b$$b$$a$$b$$b$$a$$a$$c$$c$$b$$a$$A$

इसलिए, ।$\cal{L}(A) = L$

---

$\mathrm{CFL} \setminus \mathrm{HAL} \neq \emptyset$

उत्तर का यह भाग केवल टाइप -1 से संबंधित है।

पर विचार करें भी खोल देना के सेट और मान हा है साथ ।$\mathrm{EPAL} = \{ww^R \mid w \in \{a,b\}\}$$A$$\cal{L}(A) = L$

अनुमान: हम साथ औरऐसा है कि समान अवस्था में है और क्रमशः और पढ़ने के बाद समान हीप सामग्री है। जैसा कि और दोनों को स्वीकार करता है , इसलिए यह भी (और ) को स्वीकार करता है , जो कि ।$w_1, w_2 \in \{a,b\}^*$$w_1 \neq w_2$$|w_1| = |w_2|$$A$$w_1$$w_2$$A$$w_1w_1^R$$w_2w_2^R$$w_1w_2^R \notin \mathrm{EPAL}$$w_2w_1^R$$\cal{L}(A) = \mathrm{EPAL}$

---

$\mathrm{CSL} \setminus \mathrm{HAL} \neq \emptyset$

उत्तर का यह भाग टाइप -1 और टाइप -2 दोनों से संबंधित है।

वही तर्क जो हमने (टाइप -1 के लिए) पर उपयोग किया है, यह दिखाने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है कि संदर्भ-संवेदनशील भाषा में नहीं है ।$\mathrm{EPAL}$$\{ww \mid w \in \{a,b\}^*\}$$\mathrm{HAL}$

---

$\mathrm{HAL} \overset{?}{\subseteq} \mathrm{CSL}$

यह अभी भी टाइप -1 और टाइप -2 दोनों के लिए खुला है।

---

आगे के तथ्य

हा एंबेडेड पुशड ऑटोमेटा द्वारा स्वीकार किए जाने वाले हल्के-संदर्भ- सीनेटिव भाषाओं के एक सबसेट के लिए रूढ़िवादी प्रतीत होते हैं : जबकि एचए स्टैक किए गए ढेर की एक सीमित संख्या का अनुकरण कर सकते हैं, वे मनमाने ढंग से कई (ईपीए के रूप में) अनुकरण नहीं कर सकते हैं। हालांकि, एचए स्टैक के शीर्ष प्रतीकों का उपयोग कर सकता है वर्तमान में शीर्ष पर नहीं (जो ईपीए नहीं कर सकता है)।

Comments

+1, उत्कृष्ट प्रतिक्रिया। अनिवार्य रूप से ब्रिंक विधि के बराबर, है ना? फिर भी, कठोरता और परिशुद्धता बकाया हैं। क्या आपने कोई विचार दिया है कि क्या ऐसी मशीनें सभी सीएफएल को स्वीकार कर सकती हैं? यह असंभव लगता है, क्योंकि आदेश की जानकारी ढेर से खो गई है ...

— 23:87 पर पैट्रिक87

यह वही विचार है जो एलेक्स के पास था, हाँ। खुशी है कि आप इससे कुछ प्राप्त कर सकते हैं। मैंने दूसरी दिशा के लिए एक विचार जोड़ा है लेकिन एक बड़ा (विशाल?) अंतर है। कल एक स्पष्ट सिर के साथ इसके बारे में सोचने की जरूरत है और शायद कुछ सहयोगियों को छीन लें।

— राफेल

मुझे लगता है कि मुझे कठोरता के लिए अतिरिक्त क्रेडिट अर्जित करने के लिए शुद्धता का प्रमाण शामिल करना चाहिए था। ;) यह पर प्रेरण द्वारा बहुत मुश्किल नहीं होना चाहिए , मुझे लगता है। $n$

— राफेल

प्रमाण की रूपरेखा आप एक अनुमान के रूप में बताते हैं कि मेरे मन में क्या था, और मुझे यह बहुत अच्छा लगता है ... यह भी, और यह एक मामूली तकनीकी बिंदु है, मुझे लगता है कि आप समान-लंबाई वाले palindromes की भाषा का उपयोग कर रहे हैं, सभी नहीं palindromes ... हालांकि प्रमाण निश्चित रूप से किसी भी तरह से काम करता है (ध्यान दें कि यह सरल palindromes के लिए भी काम करता है, इसलिए HAL DPDAs, एक और परिणाम के रूप में भी मजबूत नहीं है)।

— पैट्रिक87

@ पैट्रिक87 समस्या यह है कि अधिक संभव कॉन्फ़िगरेशन हो सकते हैं किसी दिए गए हा में प्रतीकों को पढ़ने के बाद हो सकता है , जैसे कि शब्द हैं, विशेष रूप से अगर हम -transitions की अनुमति देते हैं जो प्रतीकों को ढेर पर रखते हैं। $n$$\varepsilon$

— राफेल