स्टार मुक्त भाषा बनाम नियमित भाषा

Question

मैं सोच रहा था, चूँकि अपने आप में एक स्टार-मुक्त भाषा है, क्या कोई नियमित भाषा है जो स्टार-मुक्त भाषा नहीं है? क्या आप एक उदाहरण दे सकते हैं?$a^*$

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( विकिपीडिया से ) लॉसन ने स्टार-फ्री भाषाओं को परिभाषित किया है:

एक नियमित भाषा को स्टार-मुक्त कहा जाता है यदि इसे वर्णमाला के अक्षरों, खाली सेट प्रतीक, सभी बूलियन ऑपरेटरों - पूरक सहित एक नियमित अभिव्यक्ति द्वारा वर्णित किया जा सकता है - जिसमें पूरक - और संघनन लेकिन कोई क्लेन स्टार नहीं है।

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यहाँ स्टार मुक्त होने का प्रमाण दिया गया है :$a^*$

$\emptyset$⟹ Σ * = ˉ ∅ ⟹ एक ⊆ Σ Σ * एक Σ * ⟹ एक ⊆ Σ एक * = ¯ Σ * ( Σ ∖ एक ) Σ * स्टार-मुक्त है, स्टार-रहित यदि तो स्टार-मुक्त यदि फिर स्टार-फ्री है$\Longrightarrow$
$\Sigma^*=\bar{\emptyset}$$\Longrightarrow$
$A\subseteq\Sigma$$\Sigma^*A\Sigma^*$$\Longrightarrow$
$A\subseteq\Sigma$$A^*=\overline{\Sigma^*(\Sigma \setminus A)\Sigma^*}$

अंतिम पंक्ति में हमारे पास , क्योंकि कोई भी शब्द जो फॉर्म का नहीं है, उसमें में एक अक्षर होता है। और इसके विपरीत।$A^*=\overline{\Sigma^*(\Sigma \setminus A)\Sigma^*}$$A^*$$\Sigma \setminus A$

Comments

$A^* \not = \Sigma^* A \Sigma^*$

— reinierpost

@reinierpost आप समीकरण को गलत बता रहे हैं। ऊपर और पूरे समीकरण के शीर्ष पर दो पूरक बार हैं । क्षमा करें, मुझे लगता है कि मैं 2013 में प्रारूपण में अच्छा नहीं था।$A$

— शीर्षकहीन

@reinierpost मैंने पोस्ट को आसानी से पढ़ने के लिए संपादित किया। प्रतिक्रिया के लिए धन्यवाद।

— शीर्षकहीन

धन्यवाद! अब याद करना मुश्किल है।

— रीइनियरियरपोस्ट

Answer 1

नियमित भाषा वे हैं जिन्हें कमजोर मोनडिक सेकंड ऑर्डर लॉजिक (WMSO) [1] द्वारा वर्णित किया जा सकता है ।

स्टार-मुक्त भाषा वे हैं जिन्हें (FO [<]) [2] के साथ पहले क्रम तर्क$<$ द्वारा वर्णित किया जा सकता है ।

दो लॉजिक्स समान रूप से शक्तिशाली नहीं हैं। ऐसी भाषा के लिए एक उदाहरण जो डब्ल्यूएमएसओ-निश्चित है, लेकिन एफओ के लिए नहीं [<] - निश्चित है (जो स्पष्ट रूप से नियमित है); यह Ehrenfeucht-Fraissé गेम्स ra का उपयोग करके दिखाया जा सकता है ।$(aa)^*$

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1. बूची द्वारा कमजोर दूसरा-क्रम अंकगणित और परिमित ऑटोमेटा (1960)
2. McNaughton और Papert द्वारा काउंटर-फ्री ऑटोमेटा (1971)

3. WMSO- सूत्र के लिए है$(aa)^*$

   $\ \begin{align} \bigl[ \forall x. P_a(x)\bigr] \land \Bigl[ \exists x. P_a(x) \to \bigl[ \exists X. X(0) &\land [\forall x,y. X(x) \land \operatorname{suc}(x,y) \to \lnot X(y)] \\ &\land [\forall x,y. \lnot X(x) \land \operatorname{suc}(x,y) \to X(y)] \\ &\land [\forall x. \operatorname{last}(x) \to \lnot X(x)] \bigr] \Bigr] \;. \end{align}$

   (यदि शब्द खाली नहीं है, तो सभी सूचकांकों का समूह है।)$X$

4. यह भी देखें यहाँ ।

Comments

मुझे पता है कि तर्क में "मोनैडिक" क्या है। क्या आपको पता है कि "कमजोर" प्रतिबंध क्या है?

— हेन्ड्रिक जान

@ हेंड्रिकजन: यह सिर्फ इतना है कि मॉडल और सेट दोनों को परिमित करना होगा; एमएसओ अनंत शब्दों से संबंधित है (यह सटीक होने के लिए _ अनियमित भाषाओं से मेल खाता है )। $\omega$

— राफेल

Answer 2

Schützenberger (1965) ने स्टार-मुक्त भाषाओं का बीजगणितीय लक्षण वर्णन दिया: एक नियमित भाषा स्टार-मुक्त होती है यदि और केवल तभी, जब उसकी संश्लिष्ट मोनोकार एपेरियोडिक हो। तार्किक लक्षण वर्णन (स्टार-फ्री = एफओ [<]) के विपरीत, यह बीजगणितीय लक्षण वर्णन यह निर्धारित करने के लिए एक एल्गोरिथ्म देता है कि क्या एक दी गई नियमित भाषा स्टार-फ्री है (नियमित भाषा एक परिमित ऑटोमोटन, एक नियमित अभिव्यक्ति या एक नियमित अभिव्यक्ति द्वारा दी जा सकती है) नियमित व्याकरण)। तार्किक लक्षण वर्णन (McNaughton और Papert के कारण) का उपयोग करके कोई भी निम्न समस्या तय कर सकता है: WMSO सूत्र दिया गया है, क्या कोई एफओ सूत्र समान भाषा का वर्णन कर रहा है?

एमपी। Schützenberger, परिमित मौद्रिकों में केवल तुच्छ उपसमूह, सूचना और नियंत्रण 8 (1965), 19054 है।

आर। ~ मैकनगटन और एस। ~ पैपर्ट, काउंटर-फ्री ऑटोमेटा, द एमआईटी प्रेस, कैम्ब्रिज, मास।-लंदन, 1971।

Schützenberger की प्रमेय का एक पूरा प्रमाण विभिन्न पाठ्य पुस्तकों या सर्वेक्षण पत्रों में पाया जा सकता है। संबंधित एल्गोरिथ्म (बिना प्रमाण के) की एक प्रारंभिक प्रस्तुति के लिए, देखें

J.-É. पिन, परिमित परिग्रहों और पहचानने योग्य भाषाओं: एक परिचय, नाटो एडवांस्ड स्टडी इंस्टीट्यूट सेमीग्राफ, फॉर्मल लैंग्वेजेज एंड ग्रुप्स में , जे। फाउंटेन (éd।), 1-32, क्लूवर अकादमिक प्रकाशक, (1995)।

Answer 3

स्टार मुक्त भाषाओं को नियमित अभिव्यक्तियों द्वारा वर्णित किया जाता है, जिसमें शामिल हैं, समाकलन, पूरकता, संघ, चौराहे, लेकिन कोई क्लेन-स्टार नहीं।

चूंकि इन सभी परिचालनों के तहत नियमित भाषाएं बंद हैं (जहां पूरकता महत्वपूर्ण बिंदु है), तो हर स्टार-मुक्त भाषा भी नियमित है।

शायद आप मतलब है? क्या सभी नियमित भाषाएँ स्टार-मुक्त हैं? उत्तरार्द्ध का उत्तर नहीं है। देखें इस पत्र के विवरण के लिए।

Comments

हां, मेरा मतलब था कि इस सवाल को संपादित किया गया था।

— अनटाइल्ड

Answer 4

एक सरल अलग उदाहरण है (आ) *। अधिक परिष्कृत: सम (या विषम) समता के साथ सभी बाइनरी स्ट्रिंग्स।

Comments

स्वीकृत उत्तर पर यह क्या जोड़ता है?

— राफेल

@ राफेल समता उदाहरण। हालांकि यह अच्छा होगा अगर होल्गर ने समझाया कि यह स्टार-फ्री क्यों नहीं है।

— डेविड रिचेर्बी