निर्माण दो कार्यों

Question

निर्माण दो कार्यों संतोषजनक:$f,g: R^+ → R^+$

1. $f, g$ निरंतर हैं;
2. $f, g$ नीरस रूप से बढ़ रहे हैं;
3. $f \ne O(g)$ और ।$g \ne O(f)$

Comments

क्या आपने इस संभावना पर विचार किया है कि ऐसे कार्य मौजूद नहीं हो सकते हैं?

— jmite

यदि दोनों लॉगरिदमिको-एक्सपोनेंशियल हैं, तो या तो f = O ( g ) या g = O ( f ) हैं । व्यवहार में सामना किए गए अधिकांश कार्य इस रूप के हैं। $f,g$$f=O(g)$$g=O(f)$

— युवल फिल्मस

Answer 1

ऐसे कार्यों के लिए कई उदाहरण हैं। शायद यह समझने का सबसे आसान तरीका है कि इस तरह के उदाहरण को कैसे प्राप्त किया जाए, यह मैन्युअल रूप से इसका निर्माण कर रहा है।

आइए प्राकृतिक नंबरों पर कार्य शुरू करें, क्योंकि वे वास्तविक रूप से लगातार पूरे किए जा सकते हैं।

एक अच्छा तरीका है कि यह सुनिश्चित करने के और जी ≠ हे ( च ) के लिए है वैकल्पिक परिमाण के अपने आदेश के बीच। उदाहरण के लिए, हम परिभाषित कर सकते हैं$f\neq O(g)$$g\neq O(f)$

$f(n)=\begin{cases} n & n \text{ is odd}\\ n^2 & n \text{ is even}\\ \end{cases}$

फिर, हम हो सकता है बाधाओं और evens पर विपरीत व्यवहार। हालाँकि, यह आपके लिए काम नहीं करता है , क्योंकि ये फ़ंक्शन नीरस रूप से नहीं बढ़ रहे हैं।$g$

हालाँकि, की पसंद कुछ हद तक मनमानी थी, और हम सिर्फ एकरसता बढ़ाने के लिए परिमाण बढ़ा सकते थे। इस तरह, हम साथ आ सकते हैं:$n,n^2$

, और g ( n ) = { n 2 n - 1 n  विषम n 2 n n $f(n)=\begin{cases} n^{2n} & n \text{ is odd}\\ n^{2n-1} & n \text{ is even}\\ \end{cases}$$g(n)=\begin{cases} n^{2n-1} & n \text{ is odd}\\ n^{2n} & n \text{ is even}\\ \end{cases}$

स्पष्ट रूप से ये मोनोटोन कार्य हैं। इसके अलावा, , अजीब पूर्णांकों पर के बाद से, च बर्ताव करता है जैसे एन 2 n जबकि जी की तरह बर्ताव करता है n 2 n - 1 = n 2 n / n = ओ ( n 2 n$f(n)\neq O(g(n))$$f$$n^{2n}$$g$$n^{2n-1}=n^{2n}/n=o(n^{2n})$ , और बुराइयों पर विपरीत असर डालती है।

अब आप सभी की जरूरत है कि उन्हें वास्तविक रूप से पूरा करें (जैसे पूर्णांक के बीच रैखिक भागों को जोड़कर, लेकिन यह वास्तव में बिंदु के बगल में है)।

इसके अलावा, अब जब आपके पास यह विचार है, तो आप ऐसे कार्यों के लिए `` बंद फ़ार्मुलों 'का निर्माण करने के लिए त्रिकोणमितीय फ़ंक्शंस का उपयोग कर सकते हैं, क्योंकि और कॉस दोलन कर रहे हैं, और वैकल्पिक बिंदुओं पर चोटी।$\sin$$\cos$

Comments

हम कह सकते हैं कि और जी ( एन ) ∈ हे ( एन 2 n ) ? f ( n ) और g ( n ) आपके उत्तर में परिभाषित हैं। $f(n) \in O(n^{2n})$$g(n) \in O(n^{2n})$$f(n)$$g(n)$

— मयंक

हाँ। हम भी कह सकते हैं कि (के लिए इसी तरह ग्राम ) है, जो अधिक मजबूत है हे । $f(n)\le n^{2n}$$g$$O$

— शाऊल

Answer 2

मेरे लिए अच्छा चित्रण है: http://www.wolframalpha.com/input/?i=sin%28x%29%2B2x%2C+cos%28x%29%2B2x

जी ( एन ) = 2 x + ग ओ एस ( एक्स ) च ≠ हे ( जी ) जी ≠ हे ( च

$$f(n) =2x+sin(x)$$ $$g(n) =2x+cos(x)$$ $$f\neq O(g)$$ $$g\neq O(f)$$

Comments

दरअसल वे दोनों एक दूसरे के हैं । $O$

— करोलिस जुओडेलो