लंबाई 6, आकार 32 और दूरी 2 अस्तित्व के साथ एक बाइनरी कोड करता है?

Question

समस्या को , st, के अस्तित्व को साबित करना या उसका विरोध करना है ; ; । ( आलोचनात्मक दूरी के लिए खड़ा है)$C$$|c| = 6,\forall c\in C$$|C| = 32$$d(c_i,c_j)\geq2,1\leq i<j\leq32$$d$

मैंने एक संतोषजनक कोड बनाने की कोशिश की। मुझे जो सबसे अच्छा मिल सकता है, वह है , एक , जो आकार 16 का है। 32 आकार के सैद्धांतिक ऊपरी बाउंड होने के लिए होता है, अब मैं डॉन समस्या को हल करने के लिए आगे क्या करना है, यह नहीं जानता।$C = C'\times C'$$C' = \{000,011,110,101\}$

Answer 1

हां, ऐसा एक सेट है। आप निम्न उदाहरण को खोजने के लिए वास्तव में सही रास्ते पर हैं।

चलो । आप निम्नलिखित की जांच कर सकते हैं।$C = \{c : |c|=6 \text{ and there are even number of 1's in c}\}$

• $|C|=32$ ।
• $d(u,v)\geq2$ सभी लिए , । (वास्तव में, या 4 या 6.)$u,v\in C$$u\not=v$$d(u,v)=2$

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बढ़ती कठिनाई के क्रम में सूचीबद्ध चार संबंधित व्यायाम हैं। जैसा कि प्रश्न में, केवल बाइनरी कोड का संबंध है।

व्यायाम 1. कम से कम 2 से लंबाई 6 और जोड़ो दूरी की 32 शब्दों का एक सेट का एक और उदाहरण दे।

व्यायाम 2. दिखाएँ कि केवल दो ऐसे सेट हैं, जैसा कि उत्तर में दिया गया है और व्यायाम 1 में है।

व्यायाम 3. किसी भी दी गई लंबाई और जोड़ीदार दूरी के शब्दों को कम से कम 2 के लिए सामान्य करें। (संकेत, ।)$32=2^{6-1}$

व्यायाम 4. (युवल के उत्तर में बताया गया सामान्यीकरण) यदि लंबाई कोड का अधिकतम आकार है और न्यूनतम जोड़ीदार दूरी , तो ।$A(n,d)$$n$$d$$A(d,2d)=A(n-1,2d-1)$

Comments

मुझे लगता है कि 6 भी हो सकता है, विशेष रूप से और , क्योंकि दोनों और क्योंकि दोनों की संख्या 1 है। या क्या मैं कुछ न कुछ भूल रहा हूं? $d(u,v)$$u=000000$$v=111111$$u\in C$$v\in C$

— सियगी

@siegi, धन्यवाद। अपडेट किया गया।

— जॉन एल

@Miangu क्या मेरा उत्तर सहायक था? क्या आपने इसे स्वीकार करने पर विचार किया है? (यह टिप्पणी प्रतिक्रिया पर हटा दी जाएगी।)

— जॉन एल

Answer 2

कोडवर्ड और न्यूनतम दूरी के साथ एक रैखिक कोड से समता के सभी शब्द ।$2^{n-1}$$2$

आम तौर पर, अगर लंबाई की एक कोड का अधिकतम आकार है और न्यूनतम दूरी , तो ।$A_2(n,d)$$n$$d$$A_2(n,2d) = A_2(n-1,2d-1)$

Comments

अच्छा तथ्य, उत्कीर्ण। वैसे, बजाय सिर्फ क्यों नहीं ? ओह, दो अक्षर। $A(n,d)$$A_2(n,d)$

— जॉन एल

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— युवल फिल्मस