किसी नियमित भाषा में दी गई लंबाई के शब्दों की संख्या

क्या एक नियमित भाषा में किसी दिए गए लंबाई के शब्दों की संख्या का बीजगणितीय लक्षण वर्णन है?

विकिपीडिया कुछ हद तक अभेद्य रूप से बताता है:

किसी भी नियमित भाषा $L$ स्थिरांक मौजूद है $\lambda_1,\,\ldots,\,\lambda_k$ और बहुपद $p_1(x),\,\ldots,\,p_k(x)$ ऐसी है कि हर एक के लिए $n$ संख्या $s_L(n)$ की लंबाई के शब्दों के $n$ में $L$ संतुष्ट समीकरण $s_L(n)=p_1(n)\lambda_1^n+\dotsb+p_k(n)\lambda_k^n$ ।

यह नहीं बताया गया है कि किस स्थान पर $\lambda$ का निवास है ( $\mathbb{C}$ , मुझे लगता है) और क्या सभी पर अप्रतिष्ठित पूर्णांक मान होना आवश्यक है $\mathbb{N}$ । मैं एक सटीक बयान, और सबूत के लिए एक स्केच या संदर्भ चाहूंगा।

बोनस प्रश्न: क्या यह सच है कि इस फॉर्म का एक फ़ंक्शन दिया गया है, क्या हमेशा एक नियमित भाषा होती है, जिसकी लंबाई प्रति शब्द इस फ़ंक्शन के बराबर होती है?

_{इस प्रश्न का सामान्यीकृत संख्या नियमित रूप से भाषा में शब्दों के $(00)^*$}

formal-languages regular-languages word-combinatorics

— गिल्स 'SO- बुराई होना बंद करो'
स्रोत

एक प्रमाण का एक स्केच यहाँ है

— आर्टेम काज़नाचेव

@ArtemKaznatcheev दिलचस्प, धन्यवाद। क्या आप इस प्रश्न पर अपने उत्तर को आगे बढ़ाने पर विचार करेंगे, जो यह बेहतर है?

— गिल्स एसओ- बुराई को रोकना '

मुझे लगता है कि यह सवाल थोड़ा बेमानी है (हालांकि अधिक सामान्य)। सबूत के लिए मेरे दृष्टिकोण को सामान्य करना थोड़ा बालों वाला है, लेकिन मैं रात के खाने के बाद देखूंगा।

— आर्टेम काज़नाचेव

@ArtemKaznatcheev धन्यवाद। मुझे आपके उत्तर के दूसरे भाग से परेशानी थी, जो डीएएफए को कम करने के लिए था।

— गिल्स एसओ- बुराई को रोकना '

@vzn यह एक शास्त्रीय तथ्य है कि एक नियमित भाषा में शब्दों की संख्या का सृजन कार्य तर्कसंगत है, जो तुरंत ओपी के सूत्र (इसके सही रूप में) का अर्थ है। कठिन हिस्सा एसिम्पोटिक्स निकाल रहा है। विवरण के लिए आप मेरे उदाहरण में उल्लिखित पुस्तक एनालिटिक कॉम्बिनेटरिक्स की जाँच कर सकते हैं (उदाहरण के लिए) ।

— युवल फिल्मस

जवाबों:

एक नियमित भाषा को देखते हुए , कुछ DFA को स्वीकार करते हैं , को इसका स्थानांतरण मैट्रिक्स मानें ( , राज्य से राज्य ओर जाने वाले किनारों की संख्या है ), को प्रारंभिक अवस्था का चारित्रिक सदिश मानें, और दें। स्वीकार किए जाते हैं राज्यों की विशेषता वेक्टर हो। तब $L$ $L$ $A$ $A_{ij}$ $i$ $j$ $x$ $y$

s_{L} (n) = x^{T} A^{n} y .

$s_L(n) = x^T A^n y.$

जॉर्डन के प्रमेय में कहा गया है कि जटिल संख्याओं पर, एक प्रकार के ब्लॉक मैट्रिक्स के समान है यदि , तो $A$

(\begin{matrix} λ \end{matrix}), (\begin{matrix} λ & 1 \\ 0 & λ \end{matrix}), (\begin{matrix} λ & 1 & 0 \\ 0 & λ & 1 \\ 0 & 0 & λ \end{matrix}), (\begin{matrix} λ & 1 & 0 & 0 \\ 0 & λ & 1 & 0 \\ 0 & 0 & λ & 1 \\ 0 & 0 & 0 & λ \end{matrix}), \dots

$\begin{pmatrix} \lambda \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix}, \ldots$

λ \neq 0

$\lambda \neq 0$

n

$n$ इन ब्लॉकों की शक्तियां हैं

यहाँ बताया गया है कि हमें ये सूत्र कैसे मिलते हैं: ब्लॉक को

लिखें।

की क्रमिक शक्तियांमैट्रिक्स की क्रमिक माध्यमिक विकर्ण हैं। द्विपद प्रमेय का उपयोग करना (तथ्य का उपयोग कर कि

के साथ आवागमन

(\begin{matrix} λ^{n} \end{matrix}), (\begin{matrix} λ^{n} & n λ^{n - 1} \\ 0 & λ^{n} \end{matrix}), (\begin{matrix} λ^{n} & n λ^{n - 1} & (\binom{n}{2}) λ^{n - 2} \\ 0 & λ^{n} & n λ^{n - 1} \\ 0 & 0 & λ^{n} \end{matrix}), (\begin{matrix} λ^{n} & n λ^{n - 1} & (\binom{n}{2}) λ^{n - 2} & (\binom{n}{3}) λ^{n - 3} \\ 0 & λ^{n} & n λ^{n - 1} & (\binom{n}{2}) λ^{n - 2} \\ 0 & 0 & λ^{n} & n λ^{n - 1} \\ 0 & 0 & 0 & λ^{n} \end{matrix}), \dots

$\begin{pmatrix} \lambda^n \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \lambda^n & n\lambda^{n-1} \\ 0 & \lambda^n \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \lambda^n & n\lambda^{n-1} & \binom{n}{2} \lambda^{n-2} \\ 0 & \lambda^n & n\lambda^{n-1} \\ 0 & 0 & \lambda^n \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \lambda^n & n\lambda^{n-1} & \binom{n}{2}\lambda^{n-2} & \binom{n}{3}\lambda^{n-3} \\ 0 & \lambda^n & n\lambda^{n-1} & \binom{n}{2}\lambda^{n-2} \\ 0 & 0 & \lambda^n & n\lambda^{n-1} \\ 0 & 0 & 0 & \lambda^n \end{pmatrix}, \ldots$

B = λ + N

$B = \lambda + N$

N

$N$

λ

$\lambda$

N

$N$

जब

, ब्लॉक nilpotent है, और हम निम्नलिखित मैट्रिक्स मिल (संकेतन

है

यदि

और

अन्यथा):

{बी}^{n} = (λ + n)^{एन} = λ^{n} + n λ^{n - 1} एन + (\binom{n}{2}) λ^{n - 2} {एन}^{2} + \dots ।

$B^n = (\lambda + n)^N = \lambda^n + n \lambda^{n-1} N + \binom{n}{2} \lambda^{n-2} N^2 + \cdots.$

λ = 0

$\lambda = 0$

[n = k]

$[n = k]$

1

$1$

n = k

$n=k$

0

$0$

(\begin{matrix} [n = 0] \end{matrix}), (\begin{matrix} [n = 0] & [n = 1] \\ 0 & [n = 0] \end{matrix}), (\begin{matrix} [n = 0] & [n = 1] & [n = 2] \\ 0 & [n = 0] & [n = 1] \\ 0 & 0 & [n = 0] \end{matrix}), (\begin{matrix} [n = 0] & [n = 1] & [n = 2] & [n = 3] \\ 0 & [n = 0] & [n = 1] & [n = 2] \\ 0 & 0 & [n = 0] & [n = 1] \\ 0 & 0 & 0 & [n = 0] \end{matrix})

$\begin{pmatrix} [n=0] \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} [n=0] & [n=1] \\ 0 & [n=0] \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} [n=0] & [n=1] & [n=2] \\ 0 & [n=0] & [n=1] \\ 0 & 0 & [n=0] \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} [n=0] & [n=1] & [n=2] & [n=3] \\ 0 & [n=0] & [n=1] & [n=2] \\ 0 & 0 & [n=0] & [n=1] \\ 0 & 0 & 0 & [n=0] \end{pmatrix}$

$A^n$ $\binom{n}{k} \lambda^{n-k}$ $[n=k]$

s_{L} (n) = \sum_{i} p_{i} (n) λ_{i}^{n} + \sum_{j} c_{j} [n = j],

$s_L(n) = \sum_i p_i(n) \lambda_i^n + \sum_j c_j [n=j],$

λ_{i}, c_{j}

$\lambda_i,c_j$

p_{i}

$p_i$ $n$

s_{L} (n) = \sum_{i} p_{i} (n) λ_{i}^{n} .

$s_L(n) = \sum_i p_i(n) \lambda_i^n.$

$s_L(n)$ $\lambda_i$ $\lambda_1$

s_{L} (n) = p_{1} (n) λ_{1}^{n} (1 + o (1)) .

$s_L(n) = p_1(n) \lambda_1^n (1 + o(1)).$

λ

$\lambda$

d

$d$

s_{L}

$s_L$

n

$n$

d

$d$

λ

$\lambda$

d

$d$

p_{0}, \dots, p_{d - 1}

$p_0,\ldots,p_{d-1}$

λ_{0}, \dots, λ_{d - 1}

$\lambda_0,\ldots,\lambda_{d-1}$

s_{L} (n) = n^{p_{n (\mod d)}} λ_{n (\mod d)}^{n} (1 + o (1)) .

$s_L(n) = n^{p_{n\pmod{d}}} \lambda_{n\pmod{d}}^n (1 + o(1)).$

— युवल फिल्मस
स्रोत

$L \subseteq \Sigma^*$

$\qquad \displaystyle L(z) = \sum\limits_{n \geq 0} |L_n|z^n$

$L_n = L \cap \Sigma^n$ इसलिए $|L_n|=s_L(n)$ ।

यह जाना जाता है कि $L(z)$ है तर्कसंगत , यानी

$\qquad \displaystyle \frac{P(z)}{Q(z)}$

साथ में $P,Q$ बहुआयामी पद; इसके लिए एक सही-रेखीय व्याकरण का अनुवाद करके इसे आसानी से देखा जा सकता है $L$ जिसका एक रैखिक (रैखिक!) समीकरण प्रणाली में समाधान है $L(z)$ ।

की जड़ें $Q$ अनिवार्य रूप से के लिए जिम्मेदार हैं $|L_n|$ , विकिपीडिया पर बताए गए फॉर्म के लिए अग्रणी है। यह तुरंत आवर्ती (जो पुनरावृत्ति के माध्यम से वर्णन करता है) को हल करने के लिए विशेषता बहुपद की विधि से संबंधित है $(|L_n|)_{n \in \mathbb{N}}$ ) का है।

— राफेल
स्रोत

यह स्पष्ट नहीं है कि आपका उत्तर प्रश्न का उत्तर कैसे देता है। इसके अलावा, क्या है

L_{n}

$L_n$ ?

— डेव क्लार्क

@ गिल्स एनालिटिक कॉम्बिनेटरिक्स , ईलेंबर्ग की किताबें , बर्नस्टेल

— uli

@ गिल्स ऑटोमैटिक -थ्योरेटिक आस्पेक्ट्स ऑफ फॉर्मल पावर सीरीज़।

— औली

@ पैट्रिक87: 1) राइट, टाइपो; धन्यवाद! 2) परिमित भाषाओं के लिए, जनरेटिंग फ़ंक्शन एक बहुपद (और चिकित्सीय तर्कसंगत) है। जैसा

Q (z) = 1

$Q(z)=1$ , यह दृष्टिकोण काम नहीं करेगा। जुड़ा हुआ प्रमेय एक रैखिक सजातीय पुनरावृत्ति के साथ शुरू होता है; मुझे नहीं लगता कि वे उन दृश्यों का वर्णन कर सकते हैं जो सभी के लिए शून्य हैं

k \geq n_{0}

$k \geq n_0$ (और कम से कम एक मूल्य के लिए गैर-शून्य)। हालांकि यकीन नहीं हो रहा है। अगर मैं सही हूं, तो हम जिस बयान के बारे में बात कर रहे हैं वह वास्तव में केवल अनंत नियमित भाषाओं के लिए है; यह पूरी तरह से आश्चर्यजनक नहीं होगा क्योंकि परिमित भाषाओं में कोई संरचना नहीं होती है।

— राफेल

@ राफेल हाँ, मेरी सोच भी ऐसी ही थी ... जो प्रमेय की प्रस्तुति में काफी गंभीर कमी लगती है, अगर यह परिमित भाषाओं के लिए नहीं है, क्योंकि (ए) परिमित भाषा नियमित हैं, (ख) प्रमेय तात्पर्य परिमित भाषाएं नियमित नहीं हैं, और (ग) यह निर्धारित करना कि कोई भाषा परिमित है (सामान्य रूप में) अनिर्दिष्ट ... मेरा मतलब है, मिथाइल-नेरोड और पम्पिंग लेम्मा में वह समस्या नहीं है; वे परिमित भाषाओं के लिए काम करते हैं।

— पैट्रिक87