किसी नियमित भाषा में दी गई लंबाई के शब्दों की संख्या


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क्या एक नियमित भाषा में किसी दिए गए लंबाई के शब्दों की संख्या का बीजगणितीय लक्षण वर्णन है?

विकिपीडिया कुछ हद तक अभेद्य रूप से बताता है:

किसी भी नियमित भाषा L स्थिरांक λ 1 मौजूद है ,λ1,,λk और बहुपदp1(x),,pk(x) ऐसी है कि हर एक के लिएn संख्याsL(n) की लंबाई के शब्दों केn मेंL संतुष्ट समीकरण sL(n)=p1(n)λ1n++pk(n)λkn

यह नहीं बताया गया है कि किस स्थान पर λ का निवास है ( C , मुझे लगता है) और क्या सभी पर अप्रतिष्ठित पूर्णांक मान होना आवश्यक है N। मैं एक सटीक बयान, और सबूत के लिए एक स्केच या संदर्भ चाहूंगा।

बोनस प्रश्न: क्या यह सच है कि इस फॉर्म का एक फ़ंक्शन दिया गया है, क्या हमेशा एक नियमित भाषा होती है, जिसकी लंबाई प्रति शब्द इस फ़ंक्शन के बराबर होती है?

इस प्रश्न का सामान्यीकृत संख्या नियमित रूप से भाषा में शब्दों के (00)


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एक प्रमाण का एक स्केच यहाँ है
आर्टेम काज़नाचेव

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@ArtemKaznatcheev दिलचस्प, धन्यवाद। क्या आप इस प्रश्न पर अपने उत्तर को आगे बढ़ाने पर विचार करेंगे, जो यह बेहतर है?
गिल्स एसओ- बुराई को रोकना '

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मुझे लगता है कि यह सवाल थोड़ा बेमानी है (हालांकि अधिक सामान्य)। सबूत के लिए मेरे दृष्टिकोण को सामान्य करना थोड़ा बालों वाला है, लेकिन मैं रात के खाने के बाद देखूंगा।
आर्टेम काज़नाचेव

@ArtemKaznatcheev धन्यवाद। मुझे आपके उत्तर के दूसरे भाग से परेशानी थी, जो डीएएफए को कम करने के लिए था।
गिल्स एसओ- बुराई को रोकना '

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@vzn यह एक शास्त्रीय तथ्य है कि एक नियमित भाषा में शब्दों की संख्या का सृजन कार्य तर्कसंगत है, जो तुरंत ओपी के सूत्र (इसके सही रूप में) का अर्थ है। कठिन हिस्सा एसिम्पोटिक्स निकाल रहा है। विवरण के लिए आप मेरे उदाहरण में उल्लिखित पुस्तक एनालिटिक कॉम्बिनेटरिक्स की जाँच कर सकते हैं (उदाहरण के लिए) ।
युवल फिल्मस

जवाबों:


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एक नियमित भाषा को देखते हुए , कुछ DFA को L स्वीकार करते हैं , A को इसका स्थानांतरण मैट्रिक्स मानें ( A i j , राज्य i से राज्य j की ओर जाने वाले किनारों की संख्या है ), x को प्रारंभिक अवस्था का चारित्रिक सदिश मानें, और y दें। स्वीकार किए जाते हैं राज्यों की विशेषता वेक्टर हो। तब रों एल ( एन ) = एक्स टी एन वाई LLAAijijxy

sL(n)=xTAny.

जॉर्डन के प्रमेय में कहा गया है कि जटिल संख्याओं पर, एक प्रकार के ब्लॉक ( λ ) , ( λ 1 0 λ ) के मैट्रिक्स के समान है , ( λ 1 0 0 λ 1 0 0 λ ) , ( λ 1 0 0) 0 λ 1 0 0 0 λ 1 0 0 0 λ ) , ... यदि λ 0 , तो nA

(λ),(λ10λ),(λ100λ100λ),(λ1000λ1000λ1000λ),
λ0nइन ब्लॉकों की शक्तियां हैं यहाँ बताया गया है कि हमें ये सूत्र कैसे मिलते हैं: ब्लॉक कोB=λ+Nलिखें। Nकी क्रमिक शक्तियांमैट्रिक्स की क्रमिक माध्यमिक विकर्ण हैं। द्विपद प्रमेय का उपयोग करना (तथ्य का उपयोग कर किλके साथ आवागमनएन), बीएन=(λ+एन)एन=λ
(λn),(λnnλn10λn),(λnnλn1(n2)λn20λnnλn100λn),(λnnλn1(n2)λn2(n3)λn30λnnλn1(n2)λn200λnnλn1000λn),
B=λ+NNλएन जबλ=0, ब्लॉक nilpotent है, और हम निम्नलिखित मैट्रिक्स मिल (संकेतन[n=कश्मीर]है1यदिn=कश्मीरऔर0अन्यथा): ( [ n = 0 ] ),( [ n = 0 ] [ n = 1 ] 0 [ n = 0
बीn=(λ+n)एन=λn+nλn-1एन+(n2)λn-2एन2+
λ=0[n=]1n=0
([n=0]),([n=0][n=1]0[n=0]),([n=0][n=1][n=2]0[n=0][n=1]00[n=0]),([n=0][n=1][n=2][n=3]0[n=0][n=1][n=2]00[n=0][n=1]000[n=0])

An(nk)λnk[n=k]

sL(n)=ipi(n)λin+jcj[n=j],
λi,cjpin
sL(n)=ipi(n)λin.

sL(n)λiλ1

sL(n)=p1(n)λ1n(1+o(1)).
λdsLndλdp0,,pd1λ0,,λd1
sL(n)=npn(modd)λn(modd)n(1+o(1)).

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एलΣ*

एल(z)=Σn0|एलn|zn

एलn=एलΣn इसलिए |एलn|=रोंएल(n)

यह जाना जाता है कि एल(z)है तर्कसंगत , यानी

पी(z)क्यू(z)

साथ में पी,क्यूबहुआयामी पद; इसके लिए एक सही-रेखीय व्याकरण का अनुवाद करके इसे आसानी से देखा जा सकता हैएल जिसका एक रैखिक (रैखिक!) समीकरण प्रणाली में समाधान है एल(z)

की जड़ें क्यू अनिवार्य रूप से के लिए जिम्मेदार हैं |एलn|, विकिपीडिया पर बताए गए फॉर्म के लिए अग्रणी है। यह तुरंत आवर्ती (जो पुनरावृत्ति के माध्यम से वर्णन करता है) को हल करने के लिए विशेषता बहुपद की विधि से संबंधित है(|एलn|)nएन) का है।


यह स्पष्ट नहीं है कि आपका उत्तर प्रश्न का उत्तर कैसे देता है। इसके अलावा, क्या हैएलn?
डेव क्लार्क

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@ गिल्स एनालिटिक कॉम्बिनेटरिक्स , ईलेंबर्ग की किताबें , बर्नस्टेल
uli


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@ पैट्रिक87: 1) राइट, टाइपो; धन्यवाद! 2) परिमित भाषाओं के लिए, जनरेटिंग फ़ंक्शन एक बहुपद (और चिकित्सीय तर्कसंगत) है। जैसाक्यू(z)=1, यह दृष्टिकोण काम नहीं करेगा। जुड़ा हुआ प्रमेय एक रैखिक सजातीय पुनरावृत्ति के साथ शुरू होता है; मुझे नहीं लगता कि वे उन दृश्यों का वर्णन कर सकते हैं जो सभी के लिए शून्य हैंn0(और कम से कम एक मूल्य के लिए गैर-शून्य)। हालांकि यकीन नहीं हो रहा है। अगर मैं सही हूं, तो हम जिस बयान के बारे में बात कर रहे हैं वह वास्तव में केवल अनंत नियमित भाषाओं के लिए है; यह पूरी तरह से आश्चर्यजनक नहीं होगा क्योंकि परिमित भाषाओं में कोई संरचना नहीं होती है।
राफेल

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@ राफेल हाँ, मेरी सोच भी ऐसी ही थी ... जो प्रमेय की प्रस्तुति में काफी गंभीर कमी लगती है, अगर यह परिमित भाषाओं के लिए नहीं है, क्योंकि (ए) परिमित भाषा नियमित हैं, (ख) प्रमेय तात्पर्य परिमित भाषाएं नियमित नहीं हैं, और (ग) यह निर्धारित करना कि कोई भाषा परिमित है (सामान्य रूप में) अनिर्दिष्ट ... मेरा मतलब है, मिथाइल-नेरोड और पम्पिंग लेम्मा में वह समस्या नहीं है; वे परिमित भाषाओं के लिए काम करते हैं।
पैट्रिक87
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