एक नियमित भाषा को देखते हुए , कुछ DFA को L स्वीकार करते हैं , A को इसका स्थानांतरण मैट्रिक्स मानें ( A i j , राज्य i से राज्य j की ओर जाने वाले किनारों की संख्या है ), x को प्रारंभिक अवस्था का चारित्रिक सदिश मानें, और y दें। स्वीकार किए जाते हैं राज्यों की विशेषता वेक्टर हो। तब
रों एल ( एन ) = एक्स टी ए एन वाई ।LLAAijijxy
sL(n)=xTAny.
जॉर्डन के प्रमेय में कहा गया है कि जटिल संख्याओं पर, एक प्रकार के ब्लॉक ( λ ) , ( λ 1 0 λ ) के मैट्रिक्स के समान है
, ( λ 1 0 0 λ 1 0 0 λ ) , ( λ 1 0 0) 0 λ 1 0 0 0 λ 1 0 0 0 λ ) , ...
यदि λ ≠ 0 , तो nA
(λ),(λ01λ),⎛⎝⎜λ001λ001λ⎞⎠⎟,⎛⎝⎜⎜⎜λ0001λ0001λ0001λ⎞⎠⎟⎟⎟,…
λ≠0nइन ब्लॉकों की शक्तियां हैं
यहाँ बताया गया है कि हमें ये सूत्र कैसे मिलते हैं: ब्लॉक को
B=λ+Nलिखें।
Nकी क्रमिक शक्तियांमैट्रिक्स की क्रमिक माध्यमिक विकर्ण हैं। द्विपद प्रमेय का उपयोग करना (तथ्य का उपयोग कर कि
λके साथ आवागमन
एन),
बीएन=(λ+एन)एन=λ(λn),(λn0nλn−1λn),⎛⎝⎜λn00nλn−1λn0(n2)λn−2nλn−1λn⎞⎠⎟,⎛⎝⎜⎜⎜⎜λn000nλn−1λn00(n2)λn−2nλn−1λn0(n3)λn−3(n2)λn−2nλn−1λn⎞⎠⎟⎟⎟⎟,…
B=λ+NNλएन
जब
λ=0, ब्लॉक nilpotent है, और हम निम्नलिखित मैट्रिक्स मिल (संकेतन
[n=कश्मीर]है
1यदि
n=कश्मीरऔर
0अन्यथा):
( [ n = 0 ] ),( [ n = 0 ] [ n = 1 ] 0 [ n = 0बीn= ( λ + n )एन= λn+ एन λएन - 1एन+ ( n)2) λएन - 2एन2+ ⋯ ।
λ = 0[ n = k ]1n = के0( [ एन = 0 ]) , ( [ एन = 0 ]0[ एन = १ ][ n = 0 ]) , ⎛⎝⎜[ n = 0 ]00[ एन = १ ][ n = 0 ]0[ एन = २ ][ एन = १ ][ n = 0 ]⎞⎠⎟,⎛⎝⎜⎜⎜⎜[ n = 0 ]000[ एन = १ ][ n = 0 ]00[ एन = २ ][ एन = १ ][ n = 0 ]0[n=3][n=2][n=1][n=0]⎞⎠⎟⎟⎟⎟
An(nk)λn−k[n=k]
sL(n)=∑ipi(n)λni+∑jcj[n=j],
λi,cjpinsL(n)=∑ipi(n)λni.
sL(n)λiλ1
sL(n)=p1(n)λn1(1+o(1)).
λdsLndλdp0,…,pd−1λ0,…,λd−1sL(n)=npn(modd)λnn(modd)(1+o(1)).